2021 Mundarija

dasturida qo’llash.
Ax=f chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish talab qilingan bo'lsin. Bu yerda А>0 -nxn o'lchovli simmetrik kvadratmatritsa ; f - n o'lchovli
berilgan vektor; x - topilishilozim bo'lgann- o'lchovlinoma'lum vektor;

_{一 2}
^Yechimni ε := 10 ^{aniqlik bilan topishtalab qilingan bo'lsin. Soddalikuchun A}
matrirsava f vektor sifatida

berilgan bo'lsin. Chebishev parametrlarmajmuasinihisoblaymiz.
^{Λ := eigenvals (A)} _{A matritsaningxossonlari vektori ;}

^{λmax:= max(Λ}_{) A matritsaningeng kattaxos soni ;}

^{λmin := min(Λ} _{) A matritsaningeng kichik xos soni ;}


^{τ0 :=} _{λmax λmin} ^{ξ :=} _λmax ^{p0 :=} _{1 ξ} ^{p1 :=} ₁
ε aniqlikkacha yechimni topishuchun lozim bo'ladigan iteratsiyalar sonini esa

n0 := ceil


formula yordamida hisoblaymiz. Bu yerda ceil(r) - r sonining

r - dankichikbo'lmagan eng kichik butun son. Hisoblash natijalariga ko'ra
k := 1.. n0
Chebishevparametrlarmajmuasi; Boshlang'ich yaqinlashish vektori sifatida
vektorni olamiz. Navbatdagiyaqinlashishlarni topishuchun
iteratsiyausuli
^x〈k^{〉 := (E 一 τ k . A) . x〈}k一 1^{〉 + τ k . f} _{rekurrrent formulalarda bajarib}
yechimni aniqlikda topadi.

^{2.3 chizma. Ildizlarning yaqinlashish grafigi.}
x-absissa o'qi - iteratsiyalartartibi;
^{y-ordinata o'qi - yaqinlashish qiymati;}
harbirildiz alohida rangda berilgan.
2.3. Parabolik tenglamalarni Mathcad dasturiyordamida taqribiy yechish.
Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini sonli yechish.
Faraz qilamiz :


du d ^2
= ₂ ^{u + f (x, t) 0 < x < L o < t < T}
dt dx

issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi berilgan bo’lib

u(x,0) = u₀ (x) boshlang’ich shart va


u(0, t) = μ₁ (t) u(L, t) = μ₂ (t) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi
yechimni topish talab qilingan bo’lsin.

Bu masalani sonli yechishning ko’pgina usullari mavjud.

^{Bu erda biz bu masalani sof oshkormas ayirmali sxema bilan yechishni}
ko’rib chiqamiz.
Oshkormas sxema quyidagi ko’rinishda yoziladi :


^(yn ⁾m+ ^(yn ⁾m ₌ ^(yn+1 ⁾m+1 ^{一 2 )}m+1^(yn 一1 ⁾m+1 _{+ f (x}n _{, t}n _{) (2.3.1)}
munosobat o’rinli ekanligi ma’lum .
^{(2.3.1) sistema m ning har bir qiymati uchun uch diagonalli sistemalardan}
iborat. Bu sistema uchun progonka usulini qo’llash mumkin .
Barcha qatlamlar uchun (2.3.1) sitsemaning matristasi bir xil bo’ladi .


^{Bu matristani A bilan belgilaymiz . A matristani yaratish quyidagicha}
programma yordamida amalga oshiriladi .





Barcha qatlamlardagi yechim qiymatini topish programmasi quyidagidan iborat :





Endi bitta masalani yechib ko’ramiz :


L:= 1 T := 1 f (x, t) := 2(t 一 1) + (x 一 t² )e^tx N := 50 M := 50 u₀ (x) := x² +1
n:= 0...N m:= 0...M μ₁ (t) := t² +1

τ := 0.02 h:= 0.02 yn ,m = (yn )m = y(xn , tn )

to’rni aniqlaymiz :


_{n:= 0..N — 2 m:= 0..M — 2}

μ2 (t) := t2 + et +1τ := h :=

kabi belgilab x_n := nh t_m


L


N


:= τm

N
M := 50
i := 0..N
:= 50
j := 0..M

g(x, t) := t2 + x2 + ext
n := 0,1...N


u_{i ,j} := g(x_i ,t_j )

^{j := FRAME}

2.4 chizma. Qatlamlardagi yechim
2.4. Giperbolik tenglamalarni Mathcad dasturiyordamida taqribiy yechish.

Faraz qilamiz:


u(x,0) = μ₁ (x)



du(x,0)
^=μ₂ ^(x)
dt
boshlang’ich shartlar va
u(0, t) = u₀ (t)
u(L, t) = u_L (t)
chegaraviy shartlar bilan
_d ² _d ²

dt² dt
u = ₂ u + f (x, t) t > 0,0 < x < L


^{tenglamani yechish talab qilingan bo’lsin.}
(2.4.3) tenglamani
^负h,τ ^{= [(ih, j,τ), i = 0...N, j = 0,1..M]}
to’rda ayirmali sxema bilan apraksimastiyalaymiz :


(2.4.1)
(2.4.2)


(2.4.3)

^y_{i ,j__1} ^{_ 2y}_{i ,j} ^{+ y}_{i ,j+1} ^y_{i__1,j} ^{_ 2y}_{i ,j} ^{+ y}_i+1,j
2 ^__ ₂ ^{= f (x}_i ^{, t}_j ⁾
_{h τ}


(2.4.4)

i = 1...N _ 1, j = 1..M _ 1
y_{i ,j} = y(x_i , t_j ) = u(x_i , t_j ) + o(h₁² + h₂² )

ekanligi ma’lum.
h = τ =
(2.4.4) tenglama beshnuqtali ayirmali sxemadan iborat bo’lib bu sxemani yechish uchun yechimni qatlamma-qatlamusulini qo’llash lozim. Xarbirtenglamadauchta
qatlamdan noma’lum qiymatlar qatnashadi. Shu sababli, agar biz ikki oldingi
^{qatlamdagi qiymatlarni bilsak keyingi qatlamdagi yechim qiymatlarini topamiz.}
Nolinchiva birinchi qatlamlardagi yechim qiymatlarini boshlang’ich shartlardan

foydalanib topamiz:
(2.4.1) shartlardan


va

^yi ,1 ^-^yi ,0	= μ2 (xi )	i = 0...N
τ

^y_{i , 0} ^{= μ}₁ ^(x_i ⁾ i = 0...N


y_{i ,1} = y_{i ,0} +τμ₂ (x_i ) i = 0...N

^{Bu tengliklardan nolinchiva birinchi qatlamlardagi yechim qiymatini}
aniqlanadi. Chap va o’ng, (2.4.2) chegaraviy shartlardan
y_0,j = u₀ (t_j ) ^{j = 0...M}
yN,j = uL (tj ) j = 0...M
Qiymatlarni aniqlanadi. (2.4.4) sistemadan
^y_{i ,j+1} ^{= 2y}_{i ,j} ^{- y}_{i ,j-1} ⁺ 2 ^(y_i-1,j ^{- 2y}_{i ,j} ^{+ y}_i+1,j ^{)+τ2 f (x}_i ^{, t}_i ⁾
i = 1..N - 1 j = 1..M - 1


^{tengliklarni hosil qilamiz. Bu tengliklardan qolgan qatlamlardagi}
yechim qiymatlari topiladilar.
Endi (2.4.1)- (2.4.3) masalaning konkret holdayechishtartibini qarab chiqamiz.
_d ² _d ²
₂ ^{u(x, t) -} ₂ ^{u(x, t) = 0 o < x < L 0 < t < π}
dt dt
^{Tenglamani μ}₁ ^{(x) = sin(x) μ}₂ ^{(x) = cos(x) boshlang’ich shartlarva}

^u0 ^{(t) = sin(t) u}L ^{(t) = cos(t) chegaraviy shartlarbilan echamiz.}
Mathcad dagi programma quyidagichabo’ladi:
L:= π T := π N := 4 M := 5 u(x, t) := sin(x + t) h := τ := i:= 0...N
j := 0...M x_i := ih t_j := jτ f (x, t) := 0 μ₁ (x) := sin(x) μ₂ (x) := cos(x) u₀ (t) := sin(t)
u_L (t) := cos(t) y_0,i := μ₁ (x_i ) y_1,i := y_0,i +τμ₂ (x_i ) y_{j ,0} := u₀ (t_j ) y_{j ,N} := u_L (t_j )

w:= solve(y) u_{j ,i} := u(x_i , t_j )



2.5 chizma. Taqribiy yechim grafigi. 2.6 chizma. Aniq yechim grafigi.

Taqribiy va aniq yechimlar jadvallari quyidagicha:

II bobning qisqacha xulosasi.
^{II bobdaxususiy hosilali differensialtenglamalarni Mathcad muhitida sonli yechishmetodlari}
ko’rsatilgan.
Xulosa
Xususiy hosilali differensial tenglamalar fan va texnikaning turli sohalarida uchraydi, ammo ularning yechimini oshkor ko’rinishda chekli formula shaklida toppish kamdan-kam hollarda mumkin.Shu munosabat bilan matematik fizika masalalari deb ataluvchi har xil xususiy hosilali differensial tenglamalarni, xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasi va integral tenglamalarni
taqribiy yechishmetodlari muhim ahamiyatga egadir.
Ushbukurs ishimda matematik fizika tenglamalarinitaqribiy yechish
metodlari yoritib berildi. Matematik fizika tenglamalarini taqribiy yechishning bir qanchausullari o’rganildi. To’r metodi, turg’unlik, approksimatsiyayaqinlashish ,
elliptik tenglamalarni to’r metodi bilan yechish, Chebishevning optimal oshkor
iteratsion metodiva uning ayirmali elliptik tenglamalarga tadbiqi, parabolitik
^{tenglamalaruchun ayirmali sxemalar, giperbolik tenglamalarni ayirmalimetodlar}
bilan yechisho’rganildi. Buusullarningbarchasiuchun Mathcad muhitida
natijalar olindi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI


1. Karimov I. A. “Yuksakma`naviyat –yengilmaskuch”: -T: Ma`naviyat, 2008y. - 176b.


2. Исроилов М.И. «Ҳисоблаш методлари»: -Т:Ўқитувчи, 2000 й. 172-
230 bet.
3. Самарский А.А. «Введение в численные методы»: –М: Наука, 1987 й .
4. Алоев Р.Д. “Сонли усуллар фанидан маърузалар матни”: I қисм, Бухоро Давлат Университети, 2005й.
5. Алоев Р.Д. “Сонли усуллар фанидан маърузалар матни”: II қисм, Бухоро Давлат Ууниверситети , 2005й.
6. Абдухамидов А ., Худойназаров С . «Ҳисоблаш методлари»: -Т: Ўзбекистон, 1995 й.
7. В.Копченова, И.А.Марон. «Вычилительная математика в примерах и задачах»: -М: Наука, 1972 й .
8. Бахвалов Н.С. «Численные методы»: -М: Наука.1987 й .
9. Самарский А.А ., Гулин А.В. «Численные методы»: –М: Наука. 1989 й .
10. Б.П. Демидович, И.А. Марсен, Э.З. Шувалова “Численные методы анализа”: -М: Наука, 1970й. 12-78 bet.
11. Назарова Л.И, С.Б.Дарибазарон. “Лабораторные работы по численным методам для студентов специальности прикладная математика”. “ВСГТУ”. 2005й.
12. Ч.С. Березен, Н.П. Жидков “Методы вычислений”: –М: Наука, 1987й . 322-332 bet.

1