2021 Mundarija

Download 0.78 Mb.

bet	7/10
Sana	05.01.2023
Hajmi	0.78 Mb.
	#1079323

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bog'liq
327798 (1)

Chiziqli bo ’ lmagan issiqlik o ’ tkazuvch anlik tenglamasini yechish.

1.4. Parabolitik tenglamalar uchun ayirmali sxemalar

^G⁼^{⁰^<^x^<^l^,⁰^<^t^<^T^}^sohada^ushbu
= + f (x, t)

(1.4.1)

Parabolitik tenglamaning (issiqliko’tkazuvchanlik tenglamasining)

^u⁽^x^,0⁾⁼^u0 ⁽^x⁾
Dastlabki shart va
u(0, t) = μ₁(t), u(l) = μ₂(t)

(1.4.2)

(1.4.3)

Chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan u(x, t) yechimini topish talab qilinsin. Bu yerda u₀(x), μ₁(t), μ₂(t) -berilgan funksiyalar. Ma’lumki (1.4.1) - (1.4.3) masalaning yechimi mavjud va yagona. u(x, t) barcha kerakli hosilalarga ega deb
faraz qilamiz.
^O’^zgaruvchan^{koeffisisentli}^issiql^ik^{o’tkazuvchanlik}^tenglamasini
yechish. Koeffisientlari o’zgaruvchan bo’lgan quyidagi issiqlik o’tkazuvchanlik

tenglamasiuchun birinchi chegaraviy masalani qaraylik:
^p⁽^x^,^t⁾⁼^p⁽^x^,^t⁾⁺^f⁽^x^,^t⁾^,⁰^<^x^<^l,⁰^<^t^<^T,
u(x,0) = u₀(x), u(0, t) = μ₁(t), u(l, t) = μ₂(t)
Bunda p(x, t), p(x, t), f(x, t) yetarlichasilliq funksiyalar bo’lib,
C₁> p(x, t) > C₂> 0, p(x, t) > C₃> 0

(1.4.4)

(1.4.5)

Shartlarni qanoatlantirsin. Har bir belgilangan t
Lu = p(x, t) ^{differensialifodani}
^₁(t)y_i= a(x_i₊₁, ^t⁾^y- a(x_i, ^t⁾^y
Ayirmali nisbat bilan approksimatsiya qilamiz. Bunda

uchun (x_i, t) nuqtada
(1.4.6)
a(x_i, t) koeffisient balans

metodidagidek ikkinchitartibli approksimatsiya shartlarini qanoatlantirishikerak:

^a⁽^xi+1 ^,^t⁾⁺^a⁽^xi ^,^t⁾
2
^a⁽^xi+1 ^,^t⁾⁺^a⁽^xi ^,^t⁾
2

= p(x_i, t)+ o(h ²),
_〉
⁼^p^'⁽^x_i^,^t⁾⁺^o⁽^h²⁾

(1.4.7)

Balans metodida ko’rganimizdek, a(x_i, t) ni quyidagi
^a⁽^xⁱ^,^t⁾⁼^,^a⁽^xⁱ^,^t⁾⁼^{p x}ⁱ^-^,^t^,
^a⁽^x_i^,^t⁾⁼
Formulalarning birortasi bilan hisoblasak, (1.4.7)munosabatlar o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, (1.4.4) differensial tenglamaga ushbu vazniy ayirmali
masala mos keladi:
^p⁽^xⁱ^,^t⁾^y^{= Δ}⁽^t⁾⁽^σ^yⁱ+1 ⁺⁽¹^-^σ⁾^yⁱ⁾⁺^f⁽^xⁱ^,^t⁾^,
i = 1,2,......., M - 1, (1.4.8)
^y_i⁼^u₀⁽^x_i⁾^,^y_o⁼^μ₁⁽^t_k⁾^,^y_M⁼^μ₂⁽^t_k⁾
Bunda t = t_k+ 0.5τ va σ = 0.5 bo’lsa , u holda (1.4.8) sxema
approksimatsiyaning xatoligi r = 0(τ²+ h²) bo’lib, σ丰 0.5 bo’lganda r = 0(τ + h²) bo’ladi. Shunday qilib , biz oshkormas sxemaga ega bo’ldik. Bu sistemani yechish uchun haydash metodini qo’llash mumkin. Ayirmali sxemaning turg’unligini tekshirishda , oldingi bandlarda qaraganlarimizdan tashqari, koeffisientlarni muzlatish prinsipi ham ishlatiladi. Bu prinsip o’zgaruvchan koeffisientli masalani o’zgarmas koeffisientli masalaga keltiradi. Misol uchun (1.4.8) sxemada
δ = 0 va f(x_i, t) = 0 deb olib, quyidagioshkor sxemaniqaraymiz:
_p₍_x_i_,^t⁾^y₌_a₍_x_i₊₁_,^t⁾^y_-_a₍_x_i_,^t⁾^y₍_1.4.₉₎
Faraz qilaylik , p(x_i, t), a(x_i, t) koeffisientlar o’zgarmas bo’lsin, yani
p(x_i, t) = p= const, a(x_i, t) = a = const . U holda (1.4.9) tenglamani quyidagicha
yozish mumkin:

^p⁼⁽^y¹^-²^yⁱ⁺^yⁱk^-¹⁾
Yoki
₌₌_,_τ₁₌

Ma’lumki, bu oshkor sxema τ₁< h ²
τ
<
a h²
p 2
Bo’lganda turg’un bo’ladi.

bo’lganda, yani
(1.4.10)

^{Koeffisientlarni}^muzlatish^prinsipi^shuni^{tasdiqlaydiki,}^agar^barcha
x_iva t = t_k+ 0.5τ laruchun
< (1.4.13)
Tengsizlik bajarilsa, u holda (1.4.9) sxema turg’un bo’ladi. Agar
C₁之 a(x_i, t) 之 C₂> 0, p(x_i, t) > C₃> 0 munosabatlar ma’lum bo’lsa, u holda
^<
Bajarilganda (1.4.13) tengsizlik o’rinli bo’ladi. (1.4.9) sxemaning turg’unligini
qat’iy ravishdaasoslashni [47] dan qarash mumkin.
Agar σ 之 0,5 bo’lsa u holda koeffisientlarnimuzlatish prinsipidan (1.4.8)
sxemaning absolyut turg’unligikelib chiqadi.
Chiziqli bo’lmagan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini yechish.
Quyidagi chegaraviy masalani qaraymiz:
⁼^p⁽^u⁾⁺^f⁽^u⁾^,⁰^<^x^<^l,0^<^t^<^T,₍_1.4.14₎
u(x,0) = u₀(x), u(0, t) = μ₁(t), u(1, t) = μ₂(t)
Odatda , chiziqli bo’lmagan tenglamalarda p(u) funksiyaning o’zgarish
sohasi oldindan ma’lum bo’lmasa, oshkor sxemalar ishlatilmaydi.

^Sof^oshkormas^sxema^y_i⁺¹⁽ⁱ⁼^1,^M^-¹⁾^noma^’^lumlarga^nisbatan^chiziqli
^sistemani^ham^,^chiziqli^bo’lmagan^sistemani^ham^tashkilk^etish^mumkin.^Ushbu
sxema

₌_a_i₊₁_.

^-^aⁱ^.⁺^f⁽^yⁱ⁾

(1.4.15)

^Da^aⁱ⁼^[^p⁽^yⁱ⁾⁺^p⁽^yⁱ^-¹⁾^]^deb^olsak,^u^holda^yⁱ+1⁽ⁱ⁼¹^,^M^-¹⁾^noma^’lumlarg^a

^nisbatan^chiziqli^,^absoly^ut^turg’un^bo’lib,^{approksimatsiya}^xatoligi
bo’ladi. Bu sistemaning yechimi haydash metodi bilan topiladi.
Ko’pincha (1.4.4) tenglamauchun ushbu

r = 0(τ + h²)

(1.4.16)
⁼^a⁽^y1 ⁾^-^a⁽^yⁱ+1 ⁾⁺^f⁽^yⁱ+1 ⁾^,
a
2

^y_i
( ^k⁺¹)= ^p⁽^yⁱ+1 ⁾⁺^p⁽^y1 ⁾
^sof^oshkormas^sxema^ishlatiladi.^Bu^sxemani^qo’llash^uchun^u^yoki^bu^iteratsion
metod qo’llaniladi. Masalan, iteratsion jarayonni quyidagicha olib borish mumkin:

^y^S⁺¹⁾^-^y_i

₌_a₍_y₁⁾₎_-_a₍_y^S⁾₎₊_f₍_y^S⁾₎_,

(1.4.17)

_S₌_0,1,.......,_L_-_1,_y⁰⁾

⁼^y_i^,^y^L⁾

⁼^y_i⁺¹^,

Bu yerda S -iteratsiya nomeri. Bu iteratsion jarayondan ko’ramizki, chiziqli
^bo^’^lmagan^{koeffisientlar}^oldingi^ite^ratsiyada^,^yani^y_i⁺¹^da^hisoblanadi,^y_i⁺¹^ning
^{dastlabkiyaqinlashishisifatida}^y_i^olinadi^.^Agar^τ^qadam^q^{anchakichikbo’lsa}^,^bu
^dastlabki^yaqinlashish^shuncha^yaxshi^bo^’^ladi^.^A^gar^{koeffisientlar}^silliq^bo’lib,
p(u)之 C₂> 0 shart bajarilsa, odtda, ikki-ucgta iteratsiya qoniqarli natijaga olib
keladi. Harbiryangi iteratsiyada y ^s⁺¹⁾ning qiymatlari (1.4.17) sistemadan haydash
metodi bilan aniqlanadi. Shuningdek, (1.4.17)sistemani yechish uchun ikkinchi tartibli aniqlikka ega bo’lgan prediktor-korrektor sxemasi ham ishlatiladi. Bunda k -qatlamdan (k +1)-qatlamga o’tish ikki bosqichda bajariladi. Birinchi bosqichda
haydash metodi bilan oshkormas chiziqli sistema

₌_a₍_y₁₎_-_a₍_y_i₎₊
⁺^f⁽^y_i⁾^,ⁱ⁼^1,2,......,^M^-^1,
_y₀+ ₌_μ₁₍_t_k₊_0.5_τ₎_,_y_M₌_y₂₍_t_k₊_0.5_τ₎
Yechilib, oradagi y_i+ (i = 0,1,2,....., M) qiymatlar topiladi. Ikkinchi bosqichda esa
a(y), f(y) chiziqli bo’lmagan koeffisientlar y = y _i+ hisoblanib, y_i⁺¹larni topish
quyidagi oltinuqtali simmetrik sxema
= a y - a y_(||（_i+ +
+ f _(||（y_i+ , i = 1,2,...., M - 1, y₀⁺¹= μ₁(t_k₊₁), y _M¹= μ₂(t_k₊₁)
asosida olibboriladi.

Download 0.78 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10