2021 Mundarija

Download 0.78 Mb.

bet	4/10
Sana	05.01.2023
Hajmi	0.78 Mb.
	#1079323

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bog'liq
327798 (1)

Ayirmali tenglama hosil qilish uchun aniqmas koeff isientlar metodi.
Puasson

1.2. Elliptik tenglamalarni to’r metodi bilan yechish
Quyidagi
^L⁽^u⁾⁼^a⁺^c⁺^d⁺^e⁺^gu⁼^f⁽^1.2.1⁾
Elliptik tenglamani (1.1.7) ayirmali tenglama bilan almashtirganda hosil
bo’ladigan xatoliknibaholashniko’rib chiqamiz. Bu yerda hisoblashlar soda
bo’lishi uchun aralash hosilaningoldidagikoeffisientni b(x₁, x₂) = 0 deb
oldik. (1.2.1) differensialtenglamaning u(x,y) yechimini to’rtinchitartiblixususiy
hosilalarga ega deb faraz qilib va Teylor formulasidan foydalanib, (1.1.3)- (1.1.6)

taqribiy tengliklar o’rnida quyidagilarni hosil qilamiz:
⁼₍_x1i _,_x2 k ₎⁺₍_ξ_,_x2 k ₎
^y
²^h₂^|(^δ^x₂₎^|₍_x₁_j_,_x₂_k₎⁶^|(^δ^x₂₎^|₍_ξ1 _,_x2 k ₎
_i_,_k₊₁^-^y_i_,_k^-₁,i ^uξ < x1, 1 ₁⁾_|
(
2,k-1 2, +1

< x
x < η _k)
⁼₍_x1j ,_x2 k ₎⁺₍_ξ1 _,_x2 k ₎
⁼₍_x1j ,_x2 k ₎⁺₍_x1j _,_η1 ₎

(1.2.2)
(1.2.3)

(1.2.4)

(1.2.5)

Endi (1.2.2)- (1.2.5) lardan foydalanib, (1.1.7) dan quyidagiga egabo’lamiz:

^L
⁽?²u ?²u ?u ?u ⁾
_h^y_ik=〈a_ik₂⁺^c_ik₂⁺^d_ik⁺^l_ik⁺^g_iku 〉 ⁺
_l^?^x₁^?^x₂^?^x₁^?^x₂_J₍_i_,_k₎
⁺₁₂^〈^aik ^(||（_?_x(ξ1 ,x2 k ) ⁺^a2 ^cik ^(||（_?_x(x1i ,η1 ) ⁺²^dik ^(||（_?_x(ξ,x2 k ) ⁺²^a^lik ^(||（_?_x(x1i ,η) ⁼
= [L(u)]₍_i_,_k₎+ Ri, k,
Bunda h = h₁,a = _h1bo’lib, R_ik-qoldiq had. Agarushbu
m

? ⁴u	? ⁴u
^?^x₁^,	^?^x₂

?³u	?³u
^?^x₁^,	^?^x₂

^M₃⁼〈〉^,^M⁼〈〉
ax (| )| max (| )|
^G|l J| 4 ^G|l J|
Belgilashlarni kritsak, qoldiq had uchun

^R^ik^<₁₂^{(^a^ik⁺^a2 ^b^ik⁾^M⁴⁺²⁽^d^ik⁺^a^l^ik⁾^M³^}

(1.2.6)

Baho o’rinli bo’ladi. Demak ,
^L_h^y_ik^-^f_ik⁼^{^L⁽^u⁾^-^f^}₍_i_,_k₎⁺^R_ik⁼^R_ik
Bundanko’ramizki, (1.2.1) differensialtenglamani (1.1.7) ayirmali
^tenglama^bilan^{almashtirganda}^Rik ^{xatolikhosilbo}^’^lib^,^uning^h^{qadamganisbata}ⁿ
tartibi h ²dir. Agar R_ikqoldiq hadnitashlasak, to’rustidagi y_ikfunksiyauchun
^L_h^y_ik⁼^f_ik(1.2.7)
Tenglamalar sistemasiga egabo’lamiz. Xususiy holda ushbu
+ = f (x₁, x₂) ⁽^1.2.8⁾
Puasson tenglamasiuchun h₁= h₂= h kvadrat to’rniqarasak , u holda (1.2.7)
tenglamalar sistemasi

^y_i₊_1,_k⁺^y_i_-_1,_k⁺^y_i_,_k₊₁⁺^y_i_,_k_-₁^-⁴^y_ik⁼^h²^f_ik
Ko’rinishga egabo’lib, (1.2.6) dan qoldiq had uchun
R_ik< M₄
bahoga egabo’lamiz.

(1.2.9)
(1.2.10)

Ayirmali tenglama hosil qilish uchun aniqmas koeffisientlar metodi.
Yuqoridagi differensialtenglamani (i, k) nuqtada ayirmali tenglama bilan
^{almashtirganda}^har^bir^xususiy^hosilali^alohida^-^alo^hida^bo’lingan^ayirmalar^bilan
almashtirgan edik. Differensialtenglamani to’laligicha ayirmali tenglama bilan
^almashtirish^mumkin^.^{Hozirqaraladigan}^metodda^to^’^r^sohato^’g’^rito^’^rtburchakdan
iborat bo’lishi shart emas, to’ruchburchaklar , parallelogramlardan iborat yoki
umuman notekis bo’lishi ham mumkin. Differensialtenglamani (i, k) tugunda ayirmalisxema bilan almashtirish uchun (i, k) tugunatrofinima’lumtartibda
joylashgan r tatugunniqaraymiz. Qulay bo’lishi uchun (i, k) tugunni 0 orqali
^belgilab^,^{qolgantugunlarni}^1,2,.......,^P^{orqalibelgilaymiz}^.^Endi^сi ^aniqmas
koeffisientlarbilan ushbu
^c_j^u_j⁽^1.2.11⁾
chiziqli kombinatsiyanituzamiz, bunda u_jmiqdor u ning j tugundagi qiymati. Faraz qilaylik , u funksiya (n +1) tartibli hosilalarga egabo’lsin, u holda u_jlarni
0 tugun atrofida Teylor qatorigayoyamiz:

_u
k₁+k₂=n ₁
_j₌_u₍_x₁_j_,_x₂_j₎₌_Σ

_-_-0 ₊_R(j)_,
⁽^1.2.12⁾

j = 1,2,.....,... .
Bu ifodalarni (1.2.11) ga qo’yib , u funksoyaning bir xil hosilalari
oldidagi koeffisientlarni qo’shib chiqamiz, natijada
^c_j^u_j⁼0< n^a_ik0 ⁺^c_j^R⁽^j⁾⁽^1.2.13⁾
Bu yerda a_ikkoeffisientlar c_jlar orqalichiziqli ravishda ifodalanadi.
^Qoldiq^hadesa^θ^hn+1^KMn+1 ^ko^’^rinishga^egabo^’^ladi^,^bunda^θ^<^{1 ,}^K^qandaydir^son
bo’lib, h bog’liq emas; h ningo’zi esa 0 tugun va j(j = 1,2,....., P) tugunlar
koordinatalari ayirmalarining moduli bo’yicha eng kichigi hamda

_M₌
n-1

max max

_i₊_k₌_n₊₁_G

_δⁱ⁺^k_u

^δ^x^δ^x₁₂

Endi G sohada (n +1) tartibli uzluksizhosilaga egabo’lgan har qanday
u(x₁, x₂) funksiyauchun
i< n_ik0 ⁼^[^L⁽^u⁾^]₀⁽^1.2.14⁾
tenglikningbajarilishinitalab qilamiz. Buninguchun c_jkoeffisientlarni shunday
tanlashimiz kerakki , 0 < i + k < nshartni qanoatlantiruvchibarcha i va k uchun
(1.2.14) tenglikning chap va o’ng tomonlarida 0 oldidagi koeffisientlar
^ustma^-^ust^tushsin^.^Bu^esac1 , c2 ,..., cp ^nom^a’lum^{koeffisientlarga}^nisbatan^quyidagi
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga olib keladi:
a₀₀= g₀(i + k = 0),
a₁₀= d₀,a₀₁= l₀(i + k = 1),
a₂₀= a₀,a₀₂= c₀,a₁₁= 0(i + k = 2),
a₃₀= a₂₁= a₁₂= a₀₃= 0(i + k = 3),

a_n₀= a_n_-_1,1= ...a_1,_n_-₁= a₀_n= 0⁽ⁱ⁺^k= ⁿ⁾.
Agar bu sistema yechimgaega bo’lib, yechim c_j(j=0,1,….,P) bo’lsa, u
holda
c_ju_j= [L(u)]₀+ θKhⁿ⁺¹M_n₊₁(1.2.15)
^Endiqoldiq^{hadnitashlabyuborib}^,uj ^ning^to^{’rustidagitaqribiy qiymati}yj
uchun ushbu
^c_j^y_j⁼^f₀⁽^1.2.16⁾
Ayirmalitenglamaga egabo’lamiz. Bu tenglama (1.2.1) differensialtenglamani 0
_tugunda_O₍_hⁿ⁺¹₎_{aniqlikdaalmashtiradi}_.

Chegaradan uzoqroq ichkitugunlaruchun ayirmali tenglamanituzishda
qatnashadigantugunlarining joylanishini (1.2.16) dagideksaqlashmaqsadga
^muvofiq^bo^’^ladi^.^{Chegaragayaqin}^tugunla^ruchun^buholatni^saqlash^har^doim^ham
mumkin bo’lavermaydi. Ammo qaralayotgametoddatugunlarni biroz boshqacha
joylashtirib , differensialtenglamanikerakli aniqlikda ayirmali tenglama bilan almashtirish mumkin. Bu metod chegaraviy shartlarni approksimatsiya qilish
uchun yaxshinatujaga olib keladi.
^Puasson^tenglamasi^uchun^aniqmas^{koeffisientlar}^metodi^asosida

Download 0.78 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10