2021 Mundarija

1-ta’rif. Agar X 仁 Y bo’lib , 9 funksiya Y da aniqlangan bo’lsa , u holda 9 ning to’plamdagi izi deb shunday funksiyaga aytiladiki , y X to’plamda
aniqlangava buyerda 9 bilan ustma-ust tushadi.
^{Agar 9 funksiya G}h ^{ni o’z ichiga olgan to’plamda aniqlangan bo’lsa, u}
holda 9 ning G_h dagi izini [9]_h orqalibelgilaymiz.
Faraz qilaylik , u (1.1.8) va (1.1.9) chegaraviy masala yechimlarining fazosi, Γ (1.1.8) tenglamaning o’ng tomonidagi f funksiyalarning fazosi, Ф_j esa
Γ_j daaniqlangan funksiyalarningfazosi bo’lsin.

2-ta’rif. Faraz qilaylik, U, U_h , F, F_h , Ф_j , Ф_jh fazolarda

_U ^, U_h ^, F ^, F_nh ^, Ф_о ^, Ф_ор
. . . . . .
^{Normalar aniqlangan bo’lsin. Bu normalar moslangan deyiladi, agar h 喻 0 da har}
qandayyetarlichasilliq ueU, f e F,Q_j eФ_j funksiyalaruchun quyidagi
^[u] h Uh ^{喻 u} U ^{,
[f ]} _{h Fh} ^{喻 f} _F ^,
Qij _h Ф_jh ^{喻 Q} ij _Фj
munosabatlaro’rinli bo’lsa.
3-ta’rif. Agar h 喻 0 da
[u_h - [u]_h ] _Uh 喻 0
^{bo’lsa,uholda u}h ^{to’r funksiyasi (1.1.8) , (1.1.9) chegaraviy masalaning yechimiga}
yaqinlashadi deyiladi.
^{Agar h ga bog’liq bo’lmagan C > 0 va σ > 0 o’zgarmas sonlaruchun}
[u_h - [u]_h ] _Uh < Ch^σ
tengsizlik bajarilsa , u holda yaqinlashishning tartibi h ga nisbatan σ ga teng

deyiladi.
To’rustida ushbu
L_h (u_h ) = f_h
R_jh (u_h ) =Q_jh (j = 1,2,...., m)
masalasiniqaraymiz, buyerda L_h va R_jh chi,ziqli operatorlar.
Endi quyidagibelgilashnikiritamiz:
W
h h
(h) = L_h ([u]_h )- [L(u)]_{h F} + f _h - [f ]_{h F} +
⁺ 〈 R _jh ^([u]_h ^{)- [R}_j ^(u)]_{h Ф}jh ^{+ Q} _jh ^{- [Q}_j ^]_{h Ф}jh _〉
(1.1.10)
(1.1.11)
(1.1.12)

4-ta’rif. Agar ixtiyoriy silliq u, f ,Q_j funksiyalar uchun h 喻 0 da
W(h) 喻 0 bo’lsa , u holda (1.1.8) , (1.1.9) chegaraviy masalani (1.1.10), (1.1.11) to’r
ustidagi masala approksimatsiya qiladi deyiladi.
Agar (1.1.10) tenglamaningo’ng tomonini
^f_{h (i ,k)} ^{= f (x}_1i ^{, x}_2k ^{)
deb olsak, u holda W(h) ning ta’rifiga kirgan f}h ^{- [f ]}h Fh ^{miqdor nolga teng}
bo’ladi. Ammo ayrim hollarda aniqlikni oshirish uchun (1.1.8) tenglamaning o’ng

tomoni (i, k) nuqtada f (x_1i , x_2k + 0.5h₂ ) debolinadi.
5-ta’rif. To’r ustidagi (1.1.10), (1.1.11)
^{deyiladi,agar} h < h0 ^uchun h ^{ga bog’liq bo’lmagan}
topilib, ularuchun ushbutengsizlik bajarilsa:


masala turg’un(korrekt)
M
j
₀ va M o’zgarmaslar

^u_{h U}h ^{< M}₀ ^L_n ^(u_h ⁾ _Fn ^{+ M}_j ^R_jh ^(u_h ⁾ _Фjh ^{(1.1.13)
Bu ta’rifdan ko’ramizki, chiziqli masala uchun turg’unlik} f h ^{va Q}jh
funksiyalar bog’liq emas.
Bu ta’rifning ma’nosini tushuntirishga harakat qilamiz. Chiziqli masala uchun (1.1.10), (1.1.11) ayirmali sxema chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat. Shuning uchun ham (1.1.13) tengsizlikdan f_h = 0,Q_jh = 0 bo’lganda (1.1.10)- (1.1.11) tenglamalar sistemasi faqat trivial yechimga ega. Bundan esa Kroneker-Kenelli teoremasiga ko’ra (1.1.10), (1.1.11) masala o’ng tomonidagi ixtiyoriy f_h ,Q_jh uchun yagona yechimga ega. Demak , chiziqli masala turg’unlik shartidan ayirmali tenglamalar sistemasining o’ng tomoni ixtiyoriy funksiyalar
bo’lgandahamyagonayechikga egaligikelib chiqadi.
^{Agar u}_h ^{, u}_h ^{funksiyalar quyidagi}
L_hu _h = f_h¹ , R_jhu _h = Q_jh , j = 1,2,......, m;
^L_h^u _h ^{= f}_h^{2 , R}_jh^u _h ^{= Q}_jh ^{, j = 1,2,......, m;}

^{ayirmali masalalarning yechimi bo’lsa , u holda L}h ^{va R}jh ^{operatorlar chiziqli}
bo’lganda (1.1.13) tengsizlikka ko’ra quyidagiega bo’lamiz:
^u _h ^{- u} _h ^{< M}₀ ^L_h^u _h ^{- L}_h^u_{u Fh} ^{+ M}_j ^R_jh^u _h ^{- R}_jh^u _{h Фjh} ⁼
j =1 (1.1.14)
^{= M}₀ ^f_h^{1 - f}_h² _Fh ^{+ M}_j ^Q _jh ^-Q_{jh Фjh}
Shunday qilib , agar tenglama va chegaraviy shartlarning o’ng tomoni bir- biridan kam farq qilsa, u holda turg’unlik sharti bajarilganda to’rdagi masalaning
yechimi bir-biridankam farq qiladi.
Yuqorida keltirilgan yaqinlashish, approksimatsiya va turg’unlikning ta’rifidagi U_h , F_h , Ф_jh fazolarda aniqlangan normalar muhim ahamiyatga ega. Shunday hollar bo’lishi mumkinki, (1.1.13) tengsizlik ayrim normalar uchun bajarilib, boshqalari uchun bajarilmaydi. Har gal (1.1.13) tengsizlik nima sabadan
bajarilmasliginitekshirish kerak.
Agar normalarnoqulay olinganligi sababli (1.1.13) tengsizlik bajarilmagan bo’lsa , u holda U_h , F_h , Ф_jh fazolarda normalarni boshqacha tanlab, (1.1.13) tengsizlikning bajarilishini ta’minlash kerak. Agar (1.1.13) tengsizlik normaning hech biri uchun ham bajarilmasa , u holda bu ayirmali sxemaning noturg’unligini bildiradi. To’rdagi normalar moslangan bo’lishi kerak. Masalani tekshirishda
ko’pincha . _Uh va . _U larningmoslanish normalarisifatida quyidagilarolinadi:

uh Uh _s u ny₎
(1.1.15)

yoki

M ² )

〉
_{uh U}h _{= h umn ,}
^u_{h U} ^{= ,}
Bu normalarh=(b-a)/M (M-butunson) , N = [T / h₂ ]
^{Faraz qilaylik u=U bo’lsin. r}_h^{0 = L}_h ^[u]_h ^{- f}_h


(1.1.16)


miqdor masalaning

yechimidagi tenglama approksimatsiyasiningxatoligi deyiladi.
^rhj ^{= R}jh ^[u]h ^-Qjh ^{(j=1,2,…..,m) miqdorlar esa masalaning yechimidagi chegaraviy}
shartlarapproksimatsiyaningxatoligi deyiladi. Ushbu
p0 (h) = Lh ^[u^]h - fh Fh , pj ⁽h⁾ = Rjh ^[u^]h -Qjh Фjh
belgilashnikiritamiz.
Agar u funksiya (1.1.8), (1.1.9) masalaning yechimi bo’lsa , u holda
^{p(h) = p}_j ^(h)
miqdor (1.1.8), (1.1.9) differensial masalani (1.1.10), (1.1.11) ayirmali sxema bilan approksimatsiyalashdayechimdagixatoningo’lchovi deyiladi. Agar h 喻 0 da p(h)
ning tartibi yechimdagi approksimatsiyaning tartibi deyiladi.
^{Ayirmali sxemalarni qurish va ularni tekshirish to’g’risida ayrim mulohazalarni}
aytish mumkin:
1. Avvalo , to’rni tanlash, yani G soha va Γ konturni qandaydir to’r soha bilan almashtirish qoidasi ko’rsatiladi.
2. Keyin konkret ravishda bitta yoki bir nechta ayirmali sxema quriladi; approksimatsiya shartlarining bajarilishi tekshiriladi va approksimatsiyaning tartibi aniqlanadi.
3. Qurilgan ayirmali sxemaning turg’unligi tekshiriladi.Bu esa eng muhim va og’ir masala hisoblanadi. Agar ayirmali masala approksimatsiya va turg’unlikka egabo’lsa, yuqoridagiteoremaga ko’rau yaqinlashadi.

4. Ayirmali sxematenglamalarini sonli yechish masalasi qaraladi. Odatda , tenglamalarning soniko’pbo’lib, bunday sistemani yechish ko’pmehnat talab qiladi. Shuning uchun ham to’r metodida hosil bo’ladigan
sistemalarni yechishuchunmaxsus metodlar yaratilganva yaratilmoqda.