2021 Mundarija

Download 0.78 Mb.

bet	2/10
Sana	05.01.2023
Hajmi	0.78 Mb.
	#1079323

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bog'liq
327798 (1)

To’r metodining g’oyasi.
Turg ’ unlik , approksimatsiya vayaqinlashish .

1.1.To’r metodi, turg’unlik, approksimatsiyayaqinlashish
^To^’^r^metodi⁽^chekli^-^ayirmali^metod⁾^xusu^siy^hosilali^differensial^{tenglamalarni}
yechishning keng tarqalganmetodlaridandir.
To’r metodining g’oyasi. To’r metodining g’oyasi bilan
^L⁽^u⁾⁼^a_δ_x⁺²^b_δ_x₁_x₂⁺^c_δ_x⁺^d_δ_x₁⁺^e_δ_x₂⁺^gu⁼^f⁽^1.1.1⁾
^Tenglama^uchun^Dirixle^masalasini^yechis^h^misolida^{tanishamiz.Bunda}
a, b, c, d, e, g koeffisientlar va f ozod had chegarasi Γ dan iborat bo’lgan chekli
D sohada aniqlangan ikki x₁va x₂o’zgaruvchilarning funksiyalaridir.Bu

^funksiyalar^G⁼^GU^Γ^yopiq^sohada^aniqlangan^hamda^G^da^a^>^0,^c^>⁰^va^g^<⁰
shartlarni qanoatlantiradi, deb faraz qilamiz.
Faraz qilaylik, (1.1.1) tenglamaning G da uzluksiz va Γ da berilgan

^qiymatlarni^qabul^qiladigan,^ya’ni
u _Γ= Q
Yechiminitoppishtalab qilinsin, bunda Q = Q(x₁, x₂)eΓ
(1.1.2)
uzluksiz funksiyadir.

^Taqribiy^yechimning^sonlⁱ^{qiymatlarinitoppishuchun}⁰^x¹^x²^tekisligida
x₁_i= x₁₀+ ih₁, x₂_k= x₂₀+ kh₂, (i, k = 0,土1,土2,...)

bilan belgilangan)

x₁

X₂

h₂

0
Parallel to’g’ri chiziqlarning ikkita oilasini o’tkazamiz.Bunda h₁va h₂mos ravishda absissa va ordinata yo’nalishlaridagi qadamlar deyiladi.Bu to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqtalari tugunlar deyiladi, tugunlar to’plami esa to’rni tashkil etadi.Odatda, h₁va h₂qadamlar bir-biriga bog’liq ravishda tanlanadi,
masalan, h₁= h . Ah^a( A va a qandaydir sonlar), xususiy holda h₁= h₂= h
^Shuning^uchun^ham^qaralayotgan^to^’^r^bitta^h^parametrga^bog’liq^bo’lib,^qadam
kichrayganda h 0,
Agar ikki tugun 0x₁o’qi yoki 0x₂o’qi bo’ylab to’rning shu yo’nalishi bo’yicha bir-biridan bir qadam uzoqlikda joylashgan bo’lsa, ularni qo’shni
tugunlardeymiz.
Faqat G da yotgan tugunlar to’plamini qaraymiz.Agar biror tugunning to’rtala qo’shni tugunlari to’plamda yotsa , u hoilda bu tugunni ichki tugun deymiz.Ichki tugunlar to’plamini to’r soha deymiz va G_horqali belgilaymiz.Agar tugunning hech bo’lmaganda birorta qo’shnisi G_hda yotmasa , u holda bu tugun chegaraviy tugun, ularning to’plamini esa to’r sohaning chegarasi deymiz va Γ
orqali belgilaymiz(1.1-chizmada ichki tugunlar 0 bilan va chegaraviy tugunlar

^.







		h ₁

1.1-chizma. Ichkiva chegaraviy tugunlar
Agar G_hto’r soha Γ_hchegarsi bilan birgalikda qaralsa, u holda u yopiq to’r

^soha^deyiladiva^Gh ⁼^Ch^U^Γh ^{orqalibelgilanadi.}
Biz G_hto’r ustida aniqlangan y(x₁, x₂)
^belgilash^kiritamiz^va^har^bir⁽ⁱ^,^k⁾⁼⁽^x₁_i^,^x₂_k⁾

^funksiya^uchun^yik ⁼^y⁽^x1i ^,^x2k ⁾
tugun uchun (1.1.1)tenglamada

qatnashadigan barcha hosilalarni bo’lingan ayirmalar bilan quyidagicha
almashtiramiz:
(i ,k) ^~^,(i ,k) ^~⁽^1.1.3⁾
₍_i_,_k₎^~⁽^1.1.4⁾
₍_i_,_k₎^~⁽^1.1.5⁾
(i ,k) ^~⁽^1.1.6⁾
^bunda^yik ^miqdorlar^u⁽^x1 ^,^x2 ⁾^yechimning^to’rning⁽ⁱ^,^k⁾⁼⁽^x1i ^,^x2i ⁾^tugunidagi
taqribiy qiymatlaridir. Tenglamakoeffisientlarining (i,k) tugundagi qiymatini
a_ik, b_ik, c_ik, d_ik, e_ik, g_ik, f_ik, orqali belgilaymiz.Hosilalar o’rniga (1.1.3)- (1.1.6)taqribiy qiymatlarni qo’yib, natijada (1.1.1) differensialtenglamagamos keladigan quyidagi
ayirmalitenglamaga egabo’lamiz:
^L
(1.1.7)
^h^y^ik⁼_h₁²^a^ik⁽^yⁱ⁺^1,^k^-²^y^ik⁺^yⁱ^-^1,^k⁾⁺₄_h₁_h₂⁽^yⁱ⁺^1,^k⁺¹^-^yⁱ^-^1,^k⁺¹^-^yⁱ⁺^1,^k⁺^yⁱ^-^1,^k^-¹⁾⁺
₊
h₂^,^,2h₁^,^,2h₂^,^,
_yi k+1 _-₂_yik ₊_yi k-₁₎₊^d^ik₍_yi+1 k _-_yi-1 k ₎₊^e^ik₍_yi k+1 _-_yi k-₁₎₊_gik_yik ₌_fik

Bunday tenglamani har bir ichki tugun uchun yozish mumkin.Agar (i , k) chegaraviy tugun bo’lsa, u holda y_ikni bu tugunga yaqinroq bo’lgan Q ning Γ ustidagi qiymatiga teng deb olamiz (chegaraviy tugunlarda y_iklarning qiymatini boshqacha yo’l bilan topishni biz keyinroq ko’rib chiqamiz). Shunday qilib,
yechimning ichki tugunlaridagi y_ikqiymatini topish uchun algebraik tenglamalar

^sistemasiga^ega^bo’lamiz.^Bu^sistemada^{tenglamalarning}^soni^{noma’lumlar}^soniga
teng. Agar bu sistema yechimga ega bo’lsa , u holda uni yechib, ichki tugunlarda

qidirilayotgan yechimning taqribiy qiymatiga egabo’lamiz.
Turg’unlik, approksimatsiya vayaqinlashish.
^Faraz^qilaylik,^chegarasi^Γ⁼^u^Γ^j^bo^’^lgan^sohada^ushbu
i=1
L(u) = f
^R⁽^u⁾_j⁼^Rj ⁽^u⁾⁼^Qj ^,^j⁼^1,2,.^...,^m

(1.1.8)
⁽^1.1.9⁾

chegaraviy masala berilgan bo’lsin.Bu yerda L -ixtiyoriy ikkinchi tartibli chiziqli differensial operator, R_j-birinchitartibli differensial operator yoki chekli algebraik
ifoda , xususiy holda R_ju = u va f ,Q₁,Q₂,......., Q_m-berilgan funksiyalar.

^Endi^G^da^yotuvchi^qandaydir^Gh ^to’r^sohani^{quramiz,keyin}^Uh ^orqali^Gh
ning nuqtalarida (tugunlarida) aniqlangan u_hfunksiyalarning fazosini belgilaymiz,

L_hoperator U_hdagi funksiyalarni biror

0
_G_h^仁^G_h

to’r sohada aniqlangan

0
funksiyalarga o’tkazsin; _G_hda aniqlangan funksiyalar to’plamini F_horqali belgilaymiz. Chegaraviy shartlarni approksimatsiyalash uchun G sohaning Γ_jchegarasiga mos keladigan Γ_jhto’r chegarasini tanlab, Ф_jhorqali Γ_jhda
aniqlangan funksiyalar to’plamini belgilaymiz.

Download 0.78 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10