2021 Mundarija

2-lemma. Faraz qilaylik, ^9(h) miqdorlar G_h to’r ustida aniqlangan
^{qandaydir funksiya bo’lsin. Agar G}_h ^{ning tugunlarida Δ}_h^{9h < 0 shart bajarilsa , u
holda 9}(h) ^{o’zining eng kichik qiymatini G}h ^{ning chegarasida , yani Γ}h ^{da qabul}
qiladi.
Teorema.(maksimum prinsipi). Faraz qilaylik , ^9(h) = {9_ik } miqdorlar

^G
h
^{da aniqlangan bo’lib, G}_h ^{tugunlarda
Δ} _h⁹_ik <sup>= 0, i = 1,2,...., M - 1; k = 1,2,..., N - 1

Tenglamalarni qanoatlantirsin. U holda 9</sup>(h) ^{o’zining modul bo’yicha eng katta}
qiymatini Γ_h chegarada qabul qiladi.
Teoremaning isboti 1- va 2- lemmalardankelib chiqadi.
Boshqa chegaraviy shartlarda (1.2.1) tenglama uchun to’r metodining turg’unlik
masalasini [3,8,9] da ko’rish mumkin.
^{1.3. Chebishevning optimal oshkor iteratsion metodiva uning ayirmali elliptik}
tenglamalarga tadbiqi
Biz bu yerda Chebishev ko’phadi ildizlarining xossalaridan foydalanib, oshkor iteratsion metodning yaqinlashishini tezlashtirish masalasini ko’ramiz va uni elliptik tipdagi tenglamalarni approksimatsiyalashda hosil bo’ladigan ayirmali
sistemani yechishda qo’llaymiz.
Buyerda
T_n (x) = 2^1-n cos(narccosx) (1.3.1)
^{Chebishev ko’phadlari. Bu ko’phadningbosh koeffisienti 1 ga teng bo’lib, u}
[- 1,1] kesmadaeng kamog’uvchi ko’phaddir. Ixtiyoriy [a, b] kesmauchun
^t
2x - a - b
^{= , - 1 < t < 1, a < x < b}
b - a
almashtirish vositasida (1.3.1) ko’phad quyidagiko’rinishga egabo’ladi:
_Tn^{[a ,b]}_{(x) = cos narccos (1.3.2)}
Bu ko’phadning maksimal og’ishi
T_n^{[a ,b]}(x) =
Bo’lib, uning ildizlari quyidagilardan iborat:
_{xk = + cos , k = 0,1,......, n - 1 (1.3.3)}
^{Endi quyidagi masalani yechamiz: x = 0 nuqtada 1 qiymatni qabul}
qiladigan ko’phadlar orasida [a, b] kesmadanoldan eng kamog’adigan n - darajali

a 1 - ξ
^Pn ^{(x) ko’phad topilsin. Ravshanki , izlanayotgan ko’phad (1.3.2) ko’phaddan}
o’zgarmas ko’payuvchi bilan farq qilishikerak, ya’ni

P_n (x) =

^Tn^[^a^,^b^]^(^x^)

^Tn^[^a^,^b^]^(^0^)

(1.3.4)

Biz keyinchalik T_n^{[a ,b]}(0) 丰 0 debqaraymiz.
Agar T_n^{[a ,b]}(0) = 0 bo’lsa , u holda qaralayotgan masala darajasi aniq n bo’lgan ko’phadlar sinfida yechimga ega emas. Masalan , birinchi darajali ko’phad
P₁ (x) = ax+1 uchun
^{max P}₁ ^{(x) = a +1}
-1<x<1
va u a = 0 bo’lganda minimumgaerishadi. Ammo bu holda P₁ (x) birinchidarajali
ko’phad bo’lmay qoladi.

Agar b > a > 0 bo’lsa (1.3.2) va (1.3.4)
P_n (x) = P_n cos narccos ,
bunda
^P_n ⁼ _(||（^{cos narccos} -1
Endi

ξ = , p₀ = b 1 + ξ

lardan quyidagini hosil qilamiz:

(1.3.5)


(1.3.6)


(1.3.7)

belgilash kiritsak,
^P_n ^{= cos narccos}_(||（ ^- -1
hosilbo’ladi.
Quyidagi
cos(narccos(- z)) = (- 1)ⁿ cos(narccosz) =
^{= (- 1)}n ^{0.5(|（(z + )}n ^{+ (z - )}n


(1.3.8)
(1.3.9)

Ayniyatlar ixtiyoriy haqiqiy yoki kompleks z sonlar uchun o’rinli ekanligi
ma’lum.
A
p₀
gar (1.3.9) da z = ¹ debolsak, unda
₁

1

^p0

- 1 =

z ² - 1
^{1 - 1 - p}₀
^z
₌
^-
p₀ ^p₀
bo’lib, bunda p₀ ning (1.3.7) dagiqiymatini qo’ysak,
_{z - =} ^{1 -} ₌ ^{1 + ξ- 2} ₌ ^{1 -} _,
(1 - ξ)/(1 + ξ) 1 - ξ _{1 + ξ}
z
1 +
+ =
1 - ξ
larni hosil qilamiz. Bu ifodalarni (1.3.9) ga qo’ysak , (1.3.8) quyidagi ko’rinishga
egabo’ladi:
P_n = 2(- 1)ⁿ (pⁿ + p^-n )-1 = (- 1)^{n
B unda p= (}1 ^{- )}_{(1 + )}^{. Shunday qilib, x = 0 nuqtada 1 qiymatniqabul qiladigan}
ko’phadlar orasida [a, b] kesmada noldan eng kam og’adigan n - darajali ko’phad

quyidagiko’rinishga ega:
P_n (x) = (- 1)ⁿq_n cos narccos
bunda
^{qn = , p=} ₁ ^{, ξ = (b > a > 0)}
Bu ko’phadningildizlari (1.3.3) formula bilan topiladi.
Endiikkinchi masalagao’tamiz. Ushbu
F_n (λ) = (1 -τ₁λ)(1 -τ₂λ) (1 -τ_nλ)


(1.3.10)


(1.3.11)
(1.3.12)

Ko’phaduchun τ₁ ,τ₂ ,.....,τ_n parametrlarni shunday tanlash kerakki,
max
^{0 < Y}₁ ^{< λ < Y}₂ ^F_n ^(x)

miqdor o’zining minimal qiymatiga erishsin.
^{Qaralayotgan ko’phad F}n ^{(0) = 1 shartni qanoatlantiradi. Shuning uchun}
ham qaralayotgan bu masala Chebishevning (1.3.10) ko’phadiyordamidayechiladi.

(1.3.12) ning ildizlari
λ_k = τ ¹ , k = 1,2,....., n
ushbu
P_n (λ) = (- 1)ⁿ q_n cos_(||（narccos
ko’phadning
_{λk = + cos , k = 1,2,...., n}
ildizlar bilan ustma-ust tushishikerak, bunda
_{2 p}ⁿ 1 - y₁
q
1 + p ⁿ _{1 + ξ} y_2
n = ₂ , p = , ξ =


Demak,
_τ ¹ _{= + cos , k = 1,2,...., n}
debolsak, u holda F_n (λ) ning noldanog’ishi minimal bo’lib,
m
y₁ <λ2
ax F _n (λ) = q_n
bo’ladi, bunda q_n miqdor (1.3.15) tengliklarbilan aniqlanadi.


(1.3.13)


(1.3.14)


(1.3.15)


(1.3.16)

^{Parametrlarning (1.3.16) tengliklar bilan aniqlanadigan {τ} 1 ^}_{k =1}
to’plamini optimal deyishtabiiydir.
^{Shunihamta’kidlash kerakki, {τ}_k ^}_{k =1} ^{parametrlarning to’plami optimal}
bo’lishi uchun τ_k ni (1.3.16) tengliklarda ko’rsatilgan tartibda olish shart emas.
^{Buninguchun {τ} 1 ^}_{k =1} ^{to’plam Chebishev ko’phadlari ildizlarining {λk }}_{k =1} ^to’plami
bilan ustma-ust tushishi yetarlidir.