2021 Mundarija

ayirmali sxema qurish. Faraz qilaylik , G sohakvadrat bo’lib , shu sohada ushbu
Δu = + = f (x₁ , x₂ ) ^(1.2.17)
Puasson tenglamasiuchun ayirmali sxema qurishtalab qilinsin.

3



2

4 1
1.2-chizma. Tugunnuqtalar.
Bunday sxemani ikki xil to’r ustida bajaramiz. Avvalo, qadami h ga teng bo’lgan kvadrat to’rni qaraymiz, 1.2-chizmada ko’rsatilganidek, 0 tugun atrofida ^1,2,3,4 bilan belgilangan tugunlarni olamiz. Bu yerda x₁ va x₂ teng huquqli bo’lganligi hamda tugunlar simmetrik ravishda joylashganligi sababli
ayirmali approksimatsiyani quyidagiko’rinishdaizlash mumkin:
L_hu₀ = c₀ u₀ + c₁ (u₁ + u₂ + u₃ + u₄ ). (1.2.18)

^L_h^u₀ ^{= c}₀ ^u₀ ^{+ 4c}₁^u₀ ^{+ c}₁ ^{h - u + -} 2 ^{u + -} 3 ^{u +}
Qaralayotgan sohada (1.2.17) tenglamaning yechimi to’rtinchi tartibli uzluksiz
hosilalarga ega deb faraz qilib (1.2.18) ifoda uchun quyidagiga egabo’lamiz:
^{h + u + +} 2 ^{u - +} 3 ^u 0 <sup>+
+ +</sup> 4 ^u (ξ1 ,η1 ) ⁺
| 0 | ₊ ^{h 4 δ} _- ^δ _)||4 _{u +} ^{4! |L(δx1 δx2 ) 」|(ξ}_{2 ,η2 )} ^{+ h(||（- + u + - +} 2 ^{u + - +} 3 ^u 0
Bunda
x₁₀ - h < ξ_j < x₁₀ + h, x₂₀ - h <η_j < x₂₀ + h, j = 1,2,3,4.
Bu ifodani soddalashtirib quyidagini olamiz:
^L_h^u₀ ^{= (c}₀ ^{+ 4c}₁ ^)u₀ ^{+ 4c}₁ ⁺ 0 ^{+ R(h), (1.2.19)}
Bunda R(h)- qoldiq had. (1.2.19) ifoda (1.2.17) tenglamani approksimatsiya qilishi
uchun
^с0 ^{+ 4с}1 ^{= 0,2c}1^h2 ^{= 1}
shartlar bajarilishikerak. Bulardan esa
_{c0 = - , c1 =}
h 2h
kelib chiqadi. Shunday qilib, natijada quyidagiga egabo’ldik:
L_hu₀ = (u₁ + u₂ + u₃ + u₄ - 4u₀ ⁾ = ⁽Δu)₀ + R^(h) (1.2.20)
^{Agar M4 orqali to’rtinchi hosilalarning G dagi maksimumi modulini}
belgilasak , u holda R(h) qoldiq had uchun ushbu bahoga egabo’lamiz:
R(h) < 4 c ₁ 2⁴ M₄ = M₄ (1.2.21)
Yuqoridagi (1.2.20) ifodada (Δu)₀ ni f ₀ orqali almashtirib , R(h) qoldiq
^{hadnitashlabyuborsak , natijada} uj ^{ning to’rdagitaqribiy qiymati} yj ^{uchun ushbu}
y₁ + y₂ + y₃ + y₄ - 4y₀ = 2h² f₀
ayirmali tenglamaga ega bo’lamiz. Bundan approksimatsiyaning xatoligi h 2 M4
dan oshmaydi.
Izoh. (1.2.10) va (1.2.21) baholarni solishtirish shuni ko’rsatadiki , (1.2.10)
baho (1.2.21) ganisbatan 8 marta kichik.
Ayirmali sxemaning turg’unligi. Biz yozuvni qisqaroq qilish maqsadida ayirmali sxemaning turg’unligini Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini
yechishmisolida ko’rib chiqamiz.
Faraz qilaylik, G soha to’g’ri burchakli to’rtburchak G {0 < x₁ < a,0 < x₂ < b} bo’lib , Γ uning chegarasi bo’lsin. Shunday u(x₁ , x₂ )
funksiyanitopishkerakki , u G da
+ = f (x₁ , x₂ ) ^(1.2.22)
Tenglamani qanoatlantirib, Γ chegarada Dirixle shartini qanoatlantirsin:
u _Γ = Q(x₁ , x₂ ) (1.2.23)
Bunda Q(x₁ , x₂ ) ma’lum funksiya. Faraz qilaylik, (1.2.22)- (1.2.23) chegaraviy

masala G = GUГ sohadayagona yechimga egava buyechim G da ₄ va ₄
δ ⁴ u δ ⁴ u
δx₁ δx₂
uzluksiz hosilalarga egabo’lsin.
^{Biz quyidagi to’g’ri burchakli to’rtburchaklardan iborat bo’lgan to’rni}
qaraymiz:
^x
.x2k ^{= kh}2 ^{, k = 0,1,...., N, Nh}2 ^{= b.}_J
^{1i = ih1 , i = 0,1,....., M , Mh1 = a; )}_{〉 (1.2.24)}


^{Endi G da yotuvchibarcha tugunlarni G}_h ^{deb olib chegaraviy nuqtalar Γ}_h
sifatida Γ dayotuvchitugunlarni olamiz. Keyin
_δ ² _{u δ} ² _u
^{Δu =} ₂ ⁺ ₂
δx₁ δx₂
^{Laplas operatorini G}_h ^{ga tegishli nuqtalarda 3-chizmadagi besh nuqtali andaza}

yordamida
_{Δ hyik = + = fik} i = 1,2,...., M - 1, k = 1,2,......, N - 1
^{Ayirmali sxema bilan approksimatsiya qilamiz. Agar}
bo’lsa,u holda (1.2.26) approksimatsiyaningxatoligi
^{Rik (h) <} ₁₂ ^{(1 + c}2 ^)M4
daniborat. (1.2.23) shartni quyidagilarga almashtiramiz:
^y_{ik Γh} ^{= Q(ih}₁ ^{, kh}₂ ^{), (ih}₁ ^{, kh}₂ ^{)e Γ}_h


(1.2.25)


h₁ = h, h₂ = ch, (c= const)


^(1.2.26)

Qaralayotgan soha to’g’ri burchakli to’rtburchak bo’lganligi tufayli (1.2.26)approksimatsiyaning xatoligi nolga teng. Chegaradagi (1.2.26) qiymatlar ma’lum bo’lganligi uchunularni (1.2.25) tenglamaga qo’yib, keyin ma’lum hadlarni o’ng tomonga o’tqazib, quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar
sistemasiga egabo’lamiz:
L_hy_ik = f_ik , i = 1,2,...., M - 1; k = 1,2,....., N - 1. (1.2.27)
Ravshanki , (1.2.27) tenglamalar faqat chegara yaqinidagi tugunlarda (1.2.25) tenglamalardan farq qiladi. Masalan , (i,1) ko’rinishdagi tugunlarda
(1.2.27) tenglama quyidagiko’rinishga egabo’ladi:
_{+ = fi1 - =Ψi1}
(1.2.27) sistemada tenglamalarning soni noma’lumlarning soniga teng. Shuning uchun ham (1.2.25) sistemaning matritsasini G_h to’r ustidagi funksiyani o’ziga
akslantiradigan chiziqli operatordek qarash mumkin.

Endi (1.2.25), (1.2.26) tenglamalar
mavjudliginiko’rsatamiz.
^{1-lemma. Faraz qilaylik ,} 9(h) ^{= {9}ik ^}
aniqlangan qandaydir funksiya bo’lsin. Agar


sistemasining yagona yechimi

^{miqdorlar G}_h ^{= G}_h^UΓ_h ^{to’r ustida
G}_h ^{sohaning tugunlarida Δ} _h^{9(h) 之 0}

^{shart bajarilsa , u holda} 9(h) ^{o’zining eng katta qiymatini G}h ^{ning chegarasida ,}
yani Γ_h daqabul qiladi.
^{Isboti. Teskarisini faraz qilamiz. Aytaylik ,} 9(h) ^{o’zining eng katta}
qiymatini ichki nuqtada qabul qilsin. Umuman aytganda , shunday nuqtalar ko’p
^{bo’lishi mumkin. Ular orasida shunday (i, k)eG}_h ^{tugunni tanlaymizki,}
9_i+1,k ,9_i-1,k ,9_i,k+1 ,9_i,k-1 qiymatlarning birortasida 9_ik dan qat’iyan kichik , masalan,
9_i+1,k < 9_ik bo’lsin. U holda (i, k) tugunda quyidagiga egabo’lamiz:
^Δ _h⁹⁺_ik ^{= (9}_i-1,k ^{- 29}_ik ⁺⁹_i+1,k ^{)+ (9}_i,k+1 ^{- 29}_ik ⁺⁹_i,k-1 ^{)=
= [(9}_i-1,k ^{- 9}_ik ^{)+ (9}_i+1,k⁹_ik ^{)]+ (}1.2.28<sup>)
+ [(9</sup>_i,k+1 ^{- 9}_ik ^{)+ (9}_i,k-1 ^{- 9}_ik ^{)]< 0,}
chunki 9_i+1,k -9_ik < 0 bo’lib, qolgan kichik qavslar ichidagi ifoda musbat emas, (1.2.28) tengsizlik esa lemma shartiga ziddir. Demak , bizning farazimiz noto’g’ri
ekan. Shu bilan lemma isbotlandi.