3-мавзу. “Молиявий математика” фанининг асослари. Фоизлар фоизлар. Тўловлар оқими. Ренталар

3-МАВЗУ. “МОЛИЯВИЙ МАТЕМАТИКА”
ФАНИНИНГ АСОСЛАРИ. ФОИЗЛАР


1. Фоизлар.
2.Тўловлар оқими. Ренталар
3. Ўзгармас узлуксиз ренталар. Ренталар конверсияси


Фоизлар
Бизнеснинг олтин қоидаси: Бугун олинган пул миқдори, эртанги олинадиган пул миқдоридан кўп. Бунинг сабаби ҳар қандай пуп миқдори бугун инвестиция қилинса, келажакда у фойда келтиради. Ўз навбатида олинган фойда эса реинвестирланади ва ҳоказо.
“Вақт бу пулдир” (Time is money) афоризми ҳозирги молиявий миқдорлар таҳлилининг мазмунини ташкил этади.
Ҳар қандай молиявий операция, инвестицион лойиҳа ёки тижорат келишувлaри бир қанча шартлар бажарилишини талаб қилади ва бу операцияда қатнашувчи томонларнинг розилиги билан амалга оширилади. Бу шартларга қуйидаги миқдорий катталиклар киради: пул маблағлари, вақт параметрлари, процент ставкалари, ҳисоб ставкалари ва бошқа қўшимча катталиклар. Санаб ўтилган ҳар бир катталик турли кўринишларда тасаввур қилиниши мумкин. Масалан, тўловлар бир маротабали ёки кўп маротабали, вақт бўйича ўзгармас ёки ўзгарувчи бўлиши мумкин. Процент ставкаларининг турли кўринишлари ва устама процент тўлашнинг ўнлаб методлари мавжуд. Вақт тўловларнинг фиксирланган (тайинланган) муддат кўринишида, даромадларнинг келиб тушиш интерваллари, қарзларнинг тўлаш моментлари кўринишида ва ҳ.к. каби белгиланади. Битта молиявий операция рамкасида санаб ўтилган кўрсаткичлар қандайдир мантиққа бўйсунувчи ўзаро боғлиқ системани ташкил этади. Бу системанинг параметрлари кўп бўлганлиги учун чекли аниқ натижалари баъзан маълум бўлмайди. Системада битта катталик қийматининг катта ёки кичик ҳажмда ўзгариши бу операция натижасига таъсир кўрсатади. Бундан кўринадики, бундай системалар миқдорий молиявий таҳлилнинг объекти бўлиши шарт.
Бу таҳлилнинг амалиётда текширилган методлари молиявий математиканинг предметини ташкил этади.
Миқдорий молиявий таҳлил турли масалаларни ечишга қаратилган. Бу масалаларни иккита катта гуруҳга ажратиш мумкин: анъанавий ёки “классик” ва янги ноанъанавий, уларнинг қўйилиши ва узлуксиз ишлаб чиқилиши кейинги икки-уч ўн йилликларда кузатилмоқда.
Миқдорий молиявий таҳлил аниқлик ва ноаниқлик шартларида қўлланилади. Биринчи ҳолда таҳлил учун берилганлар олдиндан маълум ва фиксирланган деб ҳисобланади. Масалан, одатдаги облигацияни чиқаришда барча параметрлар – муддат, купонли даромадлилик, сотиб олиш тартиби каби параметрлар келишиб олинади. Пул ўсиши, процент ставкасининг даражаси, валюта курси тебранишининг ноаниқлиги таҳлилни қийинлаштиради.
Молиявий математика қандай предмет эканлигини осон англаш мақсадида қуйидаги оддий масаланинг қўйилишига доир мисол келтирамиз.
Фараз қилайлик, Д млн. сўм миқдоридаги инвестициядан қуйидагича маблағ келадиган бўлсин: 3 ойдан сўнг А млн. сўм, 8 ойдан сўнг В млн. сўм ва икки йил мобайнида ҳар ойда С млн. сўм. Инвестициянинг даромадлилиги йиллик мураккаб процент ставкаси бўйича қандай бўлади?
Молиявий математика рамкаси етарли даражада кенг – элементар процент ҳисобидан тортиб, мураккаб ҳисобларгача, масалан, облигацияни самарали чиқаришда турли омилларга таъсирини баҳолаш ёки молиявий инвестиция саватини диверсификациялаш (инвестицияларни объектлар бўйича тақсимлаш) билан таваккалчилик методларини қисқартириш ва ҳ.к.
Молиявий математиканинг асосий масалаларига қуйидагилар киради:
ҳар бир молиявий операцияда иштирок этувчи томонлар учун охирги молиявий операция натижаларини ўлчаш;
қарзларни тўлаш, молиявий операцияларнинг бажарилиш режаларини ишлаб чиқиш;
молиявий операциялар асосий параметрларининг операциянинг охирги натижаларига боғлиқлигини ўлчаш;
Молиявий операцияларда пул миқдори вақтнинг аниқ моментларига боғлиқ бўлади. Шунинг учун шартномаларда тўловларнинг муддатлари кўрсатилади. Вақт фактори асосан узоқ муддатли операцияларда катта рол ўйнайди. Вақт фактори баъзан пул миқдоридан ҳам юқори баҳоланади.
Масалан, 5 йилдан сўнг 1000 сўм пулни олиш вақтнинг қанчалик муҳимлигини билдиради. Ҳозирги 1000 сўм билан 5 йилдан кейинги 1000 сўм тенг кучли бўлмайди.
Иқтисoдиётдa биз кўп ўзгaришлaр, яъни мaълум вaқт дaвoмидa ўсувчи ёки кaмaювчи миқдoрлaр билaн дуч кeлaмиз. Пул миқдoри, сaрмoя дeпoзит ҳисoбининг ўсиб бoриши унгa тўлaнгaн фoизлaрнинг йиғилишидaн ибoрaтдир. Кўп йиллар давомида ишлаб чиқариш давом этаверса, у ҳолда нефт заҳирасининг миқдори камайиб боради. Бу бобда вақт бўйича ўзгаришлар билан боғлиқ бўлгaн муаммoни ҳaл қилишдa мaтeмaтикa қaндaй ёрдам бериши тушунтирилади. Молиялаштириш тадбиқ этишларнинг асосий соҳаси бўлиб, унда баҳолаш методлари, инвестициянинг турли кўринишлари ўрганилади. Бундан бошқа қўшимча қилиб айтиш мумкинки, йилдан йилга тезлик билин камайиб кетаётган табиий ресурсларни бошқариш ҳам молиялаштиришга боғлиқ.
Депозит ҳисобига қўйилган пулга одатда белгиланган вақт оралиқларида фоиз тўланади. Шундай қилиб, қўйилган пулни қайтариш аниқ вақт оралиқларида амалга ошади.

1-расм.

Мисол учун, 7.1 (а) расмда иxтиёрий берилган вақт моментида депозитга қўйилган £1000 пулни йиллик 10% ставкадаги жамғарилган пул миқдори кўрсатилган. Депозит ҳисобида вақт ва умумий жамғарма орасида ўзгармас боғлиқлик мавжуд эмас. Бунинг ўрнига ҳисобга пул тушганда ҳар бир йил оxирида “сакраш” ҳолати юз беради. Фоизлар қўшилаётган даврлар орасида ҳеч қандай ўзгариш бўлмайди. Дискрет функциялар, бундан келиб чиқадики, нарx эркли ўзгарувчининг аниқ қийматларида ўзгарувчига боғлиқ равишда аниқланиши мумкин. Бундан, бир ўзгарувчи бир қатор қийматларни қабул қилади, аммо континиум қийматларни эмас. Фаразий масштабларга кўра xизмат даврининг муддати ва маош орасидаги боғлиқлик қуйидагича бўлиши мумкин:

0 йиллaр=£20,000, 1 йил=£21,800, 2 йил=£23,600, 3 йил=£25,400

Ўқитувчининг маоши ва xизмат қилиш даври орасидаги муносабат дискрет функция. Вақтнинг ҳар қандай моментида маош қанча бўлиши маълум, аммо вақт ва маош орасида боғлиқлик узлуксиз эмас. Узлуксиз функцияга мисол 7(б) расмда кўрсатилган. Бу нефт мавжуд бўлган жойдан йилига 5 млн. баррел нефт қaзилмaси олинадиган нефтнинг умумий миқдорини кўрсатади. Олинадиган нефт миқдори ва вақт даврлари орасидаги боғлиқликни кўрсатувчи узлуксиз силлиқ функция мавжуд.¹

Агар бирор Р сармоя n йилга қарзга берилиб катта S жамғарма пул маблағи бўлиб қайтса, у ҳолда берилган муддатдаги фоиз ставка i қуйидаги формула билан аниқланади
,
n – қарз муддати.
Йиллик ҳисоб фоиз ставкаси d қуйидаги формуладан топилади
.
Бу кўрсаткичларнинг бирортасини билсак, бошқасини юқоридаги формулалардан фойдаланиб аниқлашимиз мумкин
.
Булар дисконт-фактор (discount factor) дейилади.
Молиявий амалиётда шартномада иккита вақт бирлиги кўрсатилади, кредитни берилиш вақти ва кредитни тугалланиш вақти, яъни t_o ва t_o + Т.
Мисол. Мижоз банкка 500 минг сумни 16% йиллик фоиз ставка билан бир йилга қўйди. Бу молиявий операциянинг даромадини аниқланг.
Ечиш. Масала шартига асосан: P= 500 , i=0,16.
Молиявий операция асосида олинган D даромад қуйидагича аниқланади D=500 0,16=80 минг сум.
Мисол. Январ ойида товар 8% га, феврал ойида 5% га ўсди, мартда эса 3% га камайди. Товар 1 – кварталда неча фоизга ўзгарган?
Ечиш. Товарнинг бошланғич нархини С ҳарфи билан белгилаймиз. Январ ойида товар 8% га ошди, яъни 1,08 мартага ошди, феврал ойида 5% га ўсди, яъни 1,05 мартага ошди, ва бу ики ой натижасида товар нархи 1,08С 1,05=1,134С бўлади. Март ойида эса товар нархи 5% га камайди, яъни 1,134С(1-0,03)= 1,134С 0,97=1,1С.
Биринчи кварталда товар нархи 10% га ошган экан.
Мисол. Кичик корхона 500 минг сумни, 815 минг сум қилиб қайтариш шарти билан уч йилга кредитга олди. Йиллик фоиз ставка ва йиллик ҳисоб фоиз ставкани аниқланг.
Ечиш. Масала шартига асосан: P= 500, n=3.

1. 
   Йиллик фоиз ставка ҳисоблаймиз:
   

.

2. 
   Йиллик ҳисоб фоиз ставкани ҳисоблаймиз:
   

,
ёки
.