6-ma’ruza Tekislik va fazodagi to’g’ri chiziqning, hamda tekislikning turli ko’rinishdagi tenglamalari Ma’ruza rejasi

Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa. Berilgan 
nuqtadan to„g„ri 
chiziqqacha bo„lgan masofani turli usullar bilan hisoblash mumkin. Masalan, agar
to„g„ri chiziqdan ixtiyoriy
nuqtani olsak, 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektorning to„g„ri chiziq normal 
vektori yo„nalishidagi ortogonal proyeksiyasini aniqlash mumkin. Bu proyeksiyaning 
absolyut qiymati kerakli masofaga teng bo„ladi. 
Nuqtadan to„g„ri chiziqqacha bo„lgan masofani aniqlashning boshqa usuli to„g„ri 
chiziqning normal tenglamasidan foydalanishga asoslangan. 
to„g„ri chiziq (9) normal 
tenglama bilan berilgan bo„lsin. Agar ( 
) nuqta to„g„ri chiziqda yotmasa, u 
holda 
nuqta radius-vektorining to„g„ri chiziq ⃗ normal birlik vektori yo„nalishidagi 
⃗ 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ proyeksiyasi
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ va ⃗ vektorlarning skalyar ko„paytmasiga, ya‟ni
ga teng. Bu masofa yana koordinatalar boshidan to„g„ri chiziqqacha bo„lgan
masofa bilan qandaydir 
miqdorning yigindisiga teng (6-rasm). miqdor absolyut 
qiymati bo„yicha nuqtadan to„g„ri chiziqqacha bo„lgan masofaga teng. Bunda agar 
va nuqtalar to„g„ri chiziqning turli tomonlarida yotsa va bir tomonda yotsa 
va bir tomonda yotsa bo„ladi. miqdor nuqtaning to‘g‘ri chiziqdan 
chetlanishi deb ataladi. 
( 
) nuqtaning to„g„ri chiziqdan
chetlanishi 
⃗ 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ proyeksiya bilan to„gri chiziqdan 
koordinatalar boshigacha bo„lgan masofaning 
ayirmasi sifatida hisoblanadi (5-rasm), ya‟ni 
. 
( 
) nuqtaning to„g„ri chiziqdan
chetlanishi
⃗ 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ proyeksiya bilan to„gri 
chiziqdan koordinatalar boshigacha bo„lgan
masofaning ayirmasi sifatida hisoblanadi (5-
rasmga qarang), ya‟ni
.
Bu formulaga ko„ra ( 
) nuqtadan normal tenglama bilan berilgan to„g„ri 
chiziqqacha bo„lgan ( ) masofani ham hisoblash mumkin: 
( ) | | | 
|
To„g„ri chiziqning umumiy tenglamasidan normal tenglamaga o„tkazish 
almashtirishini inobatga olsak, 
nuqtadan umumiy tenglama bilan berilgan to„g„ri 
chiziqqacha bo„lgan masofa uchun 
( )
|
|
√ 
(10) 
formulani hosil qilamiz. 
4-Misol. Uchlari 
( ) ( ) ( ) nuqtalarda bo„lgan uchburchak
uchidan chiqqan 
balandlik, mediana va bissektrisa tenglamasini tuzing. 
𝑂 
𝑄 
𝐿 
𝜑
𝑥 
𝑦 
𝑝 
𝛿
5-rasm 

---

►Dastlab masalaning shartiga aniqlik kiritaylik: ko„rsatilgan tenglamalar deganda
uchburchakning 
balandligi, medianasi va bissektrisasi yotgan
, 
, 
to„g„ri chiziqlar nazarda tutilgan. 
to„g„ri chiziq tenglamasini tuzish uchun, mediana qarama-qarshi tomonni 
teng ikkiga bo„lishidan foydalanamiz. kesma o„rtasining ( 
) koordinatalarini 
( )
( ) topib,
uchun ikki nuqtadan o„tuvchi 
to„g„ri chiziq tenglamasi ko„rinishida tuzamiz: 
Uni soddalashtirib 
mediana tenglamasini hosil qilamiz. 
balandlik tenglamasini tuzish uchun balandlik uchburchak qarama-qarshi 
tomoniga perpendikulyrligidan foydalanamiz. Demak, 
⃗⃗⃗⃗⃗ * + vektor
balandlikka perpendikulyar bo„ladi va uni
to„g„ri chiziqning normali sifatida olish 
mumkin. Bu to„g„ri chiziqning tenglamasini (1) formulaga ko„ra tuzamiz: 
( )( ) ( )
Uni soddalashtirib 
balandlikning 
tenglamasiga ega bo„lamiz. 
bissektrisaning tenglamasini topish uchun 
bissektrisaning barcha ( ) 
nuqtalari 
va 
to„g„ri chiziqlardan teng uzoqlikda joylashganligidan 
foydalanamiz. Demak, bu to„g„ri chiziq tenglamasi 
(
) (
) (11) 
ko„rinishda bo„ladi va u nuqtadan o„tuvchi va
va 
to„g„ri chiziqlar orasidagi 
burchaklarni ikkiga bo„luvchi ikkita to„g„ri chiziqni aniqlaydi. Ikki nuqtadan o„tuvchi 
to„g„ri chiziq tenglamasidan foydalanib
va 
to„g„ri chiziqlar tenglamalarini 
tuzamiz: 
Ularni soddalashtirib 
9
umumiy tenglamalrni hosil qilamiz. (11) tenglamani nuqtadan to„g„ri chiziqqacha 
bo„lgan masofani hisoblash (10) formulasi yordamida 
| 9|
√ 
( )
| |
√ 
( )
ko„rinishda yozamiz. Modulni ochib uni soddalashtiramiz: 
9
√
Natijada ikkita to„g„ri chiziqning 
(
√
) (
√
) ( 9
√
)

---

umumiy tenglamalarini hosil qilamiz. Ulardan bissektrisa tenglamasini tanlash uchun, 
va 
uchlar qidirilayotgan to„g„ri chiziqning turli tomonlarida yotishini hisobga olamiz 
va shuning uchun ularning koordinatalarini 
to„g„ri chiziqning tenglamasiga 
qo„yilganda turli ishorali qiymatlar hosil bo„lishi kerak. Dastlab yuqori ishoraga mos 
keluvchi tenglamani olamiz: 
(
√
) (
√
) ( 9
√
)
nuqtaning koordinatalarini qo„yamiz: 
(
√
) (
√
) ( 9
√
)
9
√
√
Xuddi shu singari 
nuqtaning koordianatalarini qo„yamiz: 
(
√
) (
√
) ( 9
√
)
9
√
Demak, 
va nuqtalar tanlangan tenglama to„g„ri chizig„ining bir tomonida 
joylashgan, shuning uchun bissektrisaning tenglamasi 
(
√
) (
√
) ( 9
√
)
bo„ladi.◄