7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

TA’RIF: (13)-qatorning n ta chekli xadlarining yigindisi

S_n= i₁+ i₂+ i₃+… + i_n +…=

qatorning n – xususiy yigindisi deyiladi.

n – xususiy yigindilar ketma-ketligini tuzamiz:

S₁= i₁

S₂= i₁+ i₂

……………..

S_n= i₁+ i₂+ i₃+… + i_n
TA’RIF: Agar mavjud bulsa, unga (13) qatorning yigindisi deb aytiladi va qator yakinlashadi deyiladi., (S chegaralangan son)

Agar mavjud bulmasa, yoki ga teng bulsa (13) qator uzoklashuvchi deb aytiladi.

M i s o l : qatorning yigindisini toping.

Echimi: =

S_n==, S==()=1

qator yigindisi 1 ga teng, u yaqinlashuvchi ekan.

M i s o l : Ushbu a+aq²+…+aq^n-1+… (14)

qatorni tekshiring.

Echimi: (14) – qator geometrik progressiya xadlaridan tuzilgan qatordir a birinchi xadi, q uning maxraji. Geometrik progressiyaning oldingi n ta xadining yigindisi

(q1), S_n=

1) Agar |q|<1 bulsa, =() =

Demak, |q|<1 da qator yaqinlashuvchi.

g) Agar |q|>1 bulsa, =() = 

Demak, |q|>1 da qator uzoklashuvchi.

3) Agar q=1 bulsa, (14) – dan

a+a+…+a+…

qator xosil buladi.

S_n = na, n a = 

bulib, qatorning uzoklashuvchanligi kelib chikadi.

4) q=-1 bulsa, (14) –dan kichik a-a+a-a+… qator xosil buladi.

Bu xolda n juft bulganda S_n= 0

n tok bulganda S_n= a buladi.
Demak, S_n ning limiti mavjud bulmaydi qator uzoklashuvchidir.

2.Sonli qatorning xossalari.

Kuyidagi teoremani isbotsiz kabul kilamiz.

TEOREMA: Agar berilgan (14) qatorning bir kancha xadlarini tashlash bilanxosil kilinganqator yakinlashsa, berilgan qatorning uzi xam yakinlashadi. Aksincha, agar berilgan qator yakinlashsa, uning bir kancha xadlarini tashlash bilan xosil kilingan qator xam yakinlashadi.

TEOREMA: Agar a₁+ a₂+…+a_n+… (15)

qator yakinlashsa va yigindisi S ga teng bulsa,

sa₁+sa₂+…+sa_n+… (16)

qator xam yakinlashadi va yigindisi sS ga teng buladi, bunda s uzgarmas son.

Isbot: Agar (15) qatorning n- xususiy yigindisi S_n bulsa, (16) qatorning n – xususiy yigindisi s S_n buladi.

Demak,

Teorema isbotlandi.

TEOREMA: Agar a₁+ a₂+…+a_n+… (17)

v₁+ v₂+…+v_n+… (18)

qatorlar yakinlashsa va ularning yigindilari mos ravishda S₁ va S₂

bulsa, u xolda

a₁ v₁ + a₂  v₂+…+a_n  v_n+… (19)

qator yaqinlashuvchi buladi va yigindisi S₁ S₂ ga teng buladi.

Isbot: S_n (19) –qatorning n- xususiy yigindisi bulsin. Demak,

=(

Bu erda mos ravishda (17) va (18) qatorlarning n-xususiy yigindilari.

3.Sonli qatorlarni taqqoslash alomatlari.