7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

Misol. Ushbu

(10)

differensial tenglamaning umumiy yechimi topilsin.

Yechish. Ravshanki,

va

lar uchun (10) tenglamaning chap tomonidagi ifoda aynan nolga teng:

Demak, funksiyalar (10) tenglamaning yechimlari. Ayni paytda

bo‘lgani uchun bu yechimlar chiziqli erkli bo‘ladi. Yuqoridagi teoremaga ko‘ra berilgan tenglamaning umumiy yechimi ni topamiz, bunda va ixtiyoriy o‘zgarmas.

Misol. Agar funksiya ushbu

(11)

tenglamaning yechimi bo‘lsa, (11) tenglamaning umumiy yechimi topilsin.

Yechish. Berilgan tenglamada

almashtirib bajaramiz, bunda noma’lum funksiya. Bu funksiyaning hosilalarini hisoblaymiz:

Bu qiymatlarni (11) tenglamadagi larning o‘rniga qo‘yib topamiz:



Ohirgi tenglikning chap tomonidagi o‘xshash hadlarni ixchamlash natijasida

ifoda hosil bo‘ladi. Demak,

Bu birinchi tartibli differensial tenglamani yechib, ni topamiz.



,

.

Endi

ekanini e’tiborga olsak, unda

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, (9) tenglamaning umumiy yechimi

.
Nazorat savollari

1. 
   O‘zgarmas koeffitsientli yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar nima?
   
2. 
   Umumiy echimni topish qanday topiladi?
   
3. 
   Xarakteristik tenglama nima?
   

4.Tartibi pasayuvchi ikkinchi tartibli differensial tenglamalar turlarini keltiring. Ularning umumiy echimlari kanday aniklanadi.


9-mavzu. Sonli qatorlar va ularning asosiy xossalari. Musbat xadli sonli qatorlar yaqinlashinining yetarli shartlari. Funksional qatorlar.

Tayanch iboralar: Sonli qatorlar, xususiy yigindi, yaqinlashuvchi qator, uzoklashuvchi qator, yakinlashishining zaruriy sharti.
I. Conli qator ta’rifi. n- xususiy yig’indi.
TA’RIF: i₁, i₂, i₃,… i_n ,… cheksiz sonli ketma – ketligi berilgan bulsin. Ushbu

i₁+ i₂+ i₃+… + i_n +…= (13)

ifoda sonli qator deyiladi. (i₁ birinchi, i_n n-chi xadlari)