7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

Teorema: i₁+ i₂+ i₃+… + i_n +… (20)

va V₁+ V₂ + …+ V_n +… (21)

musbat xadli sonli qatorlar bulsin. (20) – qatorning xadlari (21)-qatorning mos xadlardan ortik bulmasin :

i₁  V₁ , i₂  V₂ , …, i_n  V_n ,…

va (21)- qator yaqinlashuvchi bulsin. Bunday xolda (20) qator xam yaqinlashuvchi buladi va uning yigindisi (21) qator yigindisidan ortmaydi.

TEOREMA: Agar (20) – qatorning xadlari (21) – qatorning mos xadlaridan kichik bulmasa :

i₁  V₁ , i₂  V₂ , …, i_n  V_n ,…

va (21) – qator uzoklashuvchi bulsin. Bu xolda (20) qator xam uzoklashuvchi buladi. Bu teoremalarni isbotsiz kabul kilamiz.

M i s o l : qatorni tekshiring.

Echimi: YOrdamchi qatorni karaymiz.

Bu qator geometrik progressiya xadlaridan tuzilgan (q=¹/₂) qator va u yaqinlashuvchidir.

Demak qator yaqinlashuvchi ekan.

4.Qator yakinlashishining zaruriy sharti.

TEOREMA. Agar i₁+ i₂+ i₃+… + i_n +… qator yaqinlashuvchi bulsa, u xolda n da uning i_n umumiy xadi nolga intiladi.
Isbot. S_n= i₁+ i₂+ i₃+… + i_n va S_n-1= i₁+ i₂+ i₃+… + i_n-1 n – xususiy yigindilarni karaymiz.
Demak,
=-_-1 = 0
Teorema isbotlandi.

Musbat xadli sonli qatorlar yakinlashinining yetarli shartlari.
Tayanch iboralar: Sonli qatorlar yakinlashishining etarli shartlari, Dalamber alomati, Koshi alomati, integral alomati.
Agar sonli qator uchun yakinlashishning zaruriy sharti bajarilsa, uning yakinlashuvchanligiga shubxa xosil, paydo buladi. Bunday xolda qatorning tekshirilishi davom ettiriladi.
TEOREMA:(Dalamber alomati)

Agar musbat xadli i₁+ i₂+ i₃+… + i_n +… (22)

qator (n+1) - xadining n – xadiga nisbati n l chekli limitga ega bulsa, ya’ni

bulsa, u vaktda:

1. 
   l<1 bulganda qator yakinlashadi;
   
2. 
   l>1 bulganda qator uzoklashadi;
   
3. 
   l=1 bulganda qator tekshirilishini davom ettirish kerak.
   

Teorema isbotsiz kabul kilinadi.

M i s o l : qatorni tekshiring.
Echimi: u_n=¹/4ⁿ , u_n+1=¹/4ⁿ⁺¹

Qator yaqinlashuvchi ekan.

TEOREMA: (Koshi alomati) Agar musbat xadli (22) – qator uchun mikdor n l chekli limitga ega , ya’ni

bulsa,

4. 
   l<1 bulganda qator yakinlashadi;
   
5. 
   l>1 bulganda qator uzoklashadi;
   
6. 
   l=1 bulganda qator tekshirilishi davom etiladi.
   

Teorema isbotsiz kabul kilinadi.

M i s o l : qatorni tekshiring.

Echimi: Koshi alomatiga kura

qator yaqinlashuvchi.

TEOREMA: (Qator yakinlashishining integral alomati).

Ushbu i₁+ i₂+ i₃+… + i_n +… (22)

qatorning xadlari musbat, lekin usuvchi bulmasin, ya’ni

i₁  i₂  …  i_n  …

va f (x) shunday usmaydigan uzluksiz funksiya bulib,

f(1) = i₁, f(2) = i_2, … , f(n) = i_n,…_.

bulsin. Bu xolda kuydagilar urinlidir :

a ) agar xosmas integral yakinlashsa, (22) qator xam yakinlashadi;

b) agar bu xosmas integral uzoklashsa, (22) qator xam uzoklashuvchi buladi.

Isbot: Teoremaning shartlariga asosan u = f(x) mavjud bulsin.

8- rasm

₀

9- rasm

0

₀

8- rasmga asosan S_n> (23)

9- rasmga kura S_n+1 < (24)

g) - yakinlashsa, u xolda

buladi.

(24) tenglikdan

S_n+1 < S_n <

Lekin yaqinlashuvchi, shuning uchun

tenglikdan berilgan (22) qatorning yakinlashuvchanligi kelib chikadi.

d) uzoklashsin, u xolda (23) tenglikdan

S_n >

>

kelib chikadi.

Bundan berilgan (22) qatorning uzoklashuvchanligi kelib chikadi.

Teorema isbotlandi.

M i s o l :

Echimi: Integral belgisiga asosan

f (x)=

Xosmas integral uzoklashuvchi, demak qator xam uzoklashuvchi buladi.

S a v o l l a r :

1.Musbat xadli sonli qatorlar yakinlashishining etarli shartlarini keltiring:

a)Dalamber alomati.

b)Koshi alomati.

v)Integral alomati.

Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar.
TA’RIF : u₁, u₂ ,…,u_n , …musbat xadli sonli ketma-ketlik xadlaridan

tuzilgan
qatorga ishoralari navbatlashuvchi qator deb aytiladi.

TEOREMA: (Leybnits ). Agar (25) – ishorali navbatlashuvchi

qatorning xadlari

u₁>u₂>u₂>…u_n>… (26)

va

(27)

bulsa,(25) qator yakinlashadi,uning yigindisi musbat buladi va birinchi xaddan katta bulmaydi.

Teorema isbotsiz kabul kilinadi.

M i s o l : qatorni tekshiring.

Echimi. Qator xadlarini yoyib yozamiz :

Ishoralari navbatlanuvchi qator ekan .

Leybnits teoremasidagi shartlarni tekshiramiz:

a) (26) – shart bajarildi.

b) (27) – shart bajarildi.