7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

2-misol. Ushbu

(6)

differensial tenglamaning quyidagi

boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi, topilsin.

 Avvalo berilgan tenglamani yuqorida keltirilgan usul bo‘yicha umumiy yechimini topamiz.

Aytaylik, bo‘lsin. Unda  bo‘lib, ularni (6) tenglamaga qo‘yish natijasida

(7)

tenglama hosil bo‘ladi.

Endi funksiyaning shunday tanlaymizki,

(8)

bo‘lsin. Keyingi tenglamani yechamiz:

(8) munosabatni hamda  bo‘lishini e’tiborga olsak, unda (7) tenglama ushbu

ko‘rinishga kelishini topamiz. Bu tenglikni integrallasak, unda

kelib chiqadi.

Shunday qilib berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi.

Bu yechim boshlang‘ich shartda bo‘lib, undan ni topamiz.

Demak, berilgan differensial tenglamaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi

bo‘ladi.

Ba’zi tenglamalarda ni funksiya, ni argument deb qaralsa, birinchi tartibli chiziqli tenglamaga aylanadi. Buni quyidagi misolda ko‘rish mumkin.

3-misol. tenglamaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.

Bu tenglama uchun chiziqli tenglama bo‘lmaydi, lekin x uchun bu tenglama – chiziqli tenglamadir. Shuning uchun biz ni ning funksiyasi deb hisoblaymiz. Tenglamani quyidagi

ko‘rinishga keltiramiz. U holda

bir jinsli differensial tenglama umumiy yechimiga ega. O‘zgarmasni variatsiyalash usulini qo‘llab,

ni hosil qilamiz. Demak bu tenglamaning umumiy yechimi

formula bilan aniqlanadi. Bu yerda – qandaydir o‘zgarmas son. Endi boshlang‘ich shartni e’tiborga olsak, ni aniqlaymiz:

.

Natijada qidirilayotgan yechim bo‘ladi.