7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

Nazorat savollari

1. 
   Chiziqli differensial tenglama nima?
   
2. 
   Chiziqli differensial tenglama qanday yechiladi?
   
3. 
   Bernulli tenglamasi nima?
   
4. 
   To‘la differensialli differensial tenglama nima?
   
5. 
   Integral ko‘paytuvchi nima?
   

Foydalangan adabiyotlar:

1. 
   Gerd Baumann,Mathematics for Engineers.II.
   
2. 
   Соатов Ё.У.Олий математика 1-2 қисм 1995й.
   
3. 
   G‘aniev I. G‘. va boshq. Oliy matematika. Toshkent, 2013
   

8-mavzu. Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli tenglamalarning ba’zi bir tiplari. O’zarmas koeffitsiyentli bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar
Tayanch iboralar: Tartibi pasayuvchi tenglamalar, umumiy integral, zanjir chizik tenglamasi.
a) Ushbu

u=f (x,y )

kurinishdagi tenglama noma’lum u funksiyani oshkor xolda uz ichiga olmaydi.

Umumiy echimni topish uchun

u = r (x)

belgi kiritamiz. Bu xolda

u= r

buladi.

u va u larni dastlabki tenglamaga kuyib x ning noma’lum r funksiyaga nisbatan birinchi tartibli

r= f (x,,r)

tenglamani xosil kilamiz. Bu tenglamani integrallab, uning

r=r(x,S₁)

umumiy echimni topamiz, undan keyin u=r munosobatdan

u=

umumiy echimni topamiz.

M i s o l : Zanjir chizikning

u =

differensial tenglamasini karaymiz.

u = r

deb olamiz, u xolda

u =r

demak, x ning yordamchi P funksiyasiga nisbatan birinchi tartibli

r =

differensial tenglama xosil buladi.

Uzgaruvchilarini ajratsak,

Ammo u = r bulgani uchun , keyingi munosobat izlanayotgan u funksiyaga nisbatan differensial tenglamani ifodalaydi. Uni integrallasak, zanjir chizikning tenglamasi xosil buladi:

u=

Ushbu

u_x=0=a, u _x=0=0

boshlangich shartlarni kanoatlantiruvchi xususiy echimni topamiz. Birinchi shart S₂=0 va birinchi shart S₁=0 ni beradi.

Natijada

u= a

ifodani xosil kilamiz.

I z o x : SHunday usul bilan

f (x,y^(n-1))

tenglamani xam integrallash mumkin.

y^(n-1)= r deb olib r ni aniklash uchun

r= f (x,,r)

tenglamani xosil kilamiz.

Bundan p ni x ning funksiyasi kabi aniklab, y^(n-1)= r munosobatdan u ni topamiz.

b) x erkla uzgaruvchini oshkor xolda uz ichiga olmagan

u=f (y ; y )

kurinishdagi tenglamani karaymiz. Bu tenglamani echish uchun yana

u=p(u)

deb olamiz. Ammo endi p ni u ning funksiyasi deb xisoblaymiz. Bu xolda

u=

u va u xosilalarning ifodalarini

u= f (y ; y )

tenglamaga kuyib, yordamchi p funksiyaga nisbatan birinchi tartibli

pp = f (y,p)

tenglamani xosil kilamiz. Bunda r ni u va ixtiyoriy S₁ uzgarmas mikdorning funksiyasi kabi aniklaymiz:

p=p(u,S₁)

Bu kiymatni

u=p

munosobatga kuysak, x ning u funksiyasi uchun

u=p(u,S₁)

differensial tenglama xosil buladi. Uzgaruvchilarni ajratib,

tenglamani xosil kilamiz.

Oxirgi tenglamani integrallab, dastlabki tenglamaning

F(x,u,S₁,S₂)=0

umumiy integralni topamiz.

M i s o l : Ushbu

3u=

tenglamaning umumiy integralini toping.
Echimi. p ni u ning funksiyasi ekanini bilgan xolda u=p deb olamiz. Bu xolda u=pp buladi va biz yordamchi p funksiya uchun birinchi tartibli tenglama xosil kilamiz:

3pp=

Bu tenglamani integrallaymiz:

p²=S₁^--, p=

Ammo u=p , demak, u ni aniklash uchun

,
tenglamani xosil kilamiz, bundan

keyingi integralni xisoblash uchun

almashtirish bajaramiz. Bu xolda

Demak



.

Oxirgi natija

ekanini topamiz.