7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

Bernulli tenglamasi¹.

Ushbu

(9)

ko‘rinishdagi tenglamaga Bernulli tenglamasi deyiladi.

Bernulli tenglamasini almashtirishni qo‘llab yoki Lagranj usuli bilan bevosita yechish mumkin. Shuningdek, almashtirish yordamida (9) tenglama chiziqli differensial tenglamaga keltiriladi.

4-misol. tenglamani yeching.

Tenglamani x ga bo‘lgandan keyin

tenglamani hosil qilamiz. Yechimni ko‘rinishda izlaymiz. U holda

tenglamaga kelib,

,

,

,

;

,

,

,

;

umumiy yechimi bo‘ladi.

5-misol. tenglamaning umumiy integralini toping.

Bu tenglamaning chap va o‘ng qismlarni ga bo‘lgandan keyin

(10)

Bernulli tenglamasiga ega bo‘lamiz. Bu tenglamani Lagranj usuli yordamida yechamiz.

Oldin bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

Endi deb olib:

(11)

funksiyani va uning hosilasini bir jinsli bo‘lmagan (1.18) tenglamaga qo‘yamiz:

.

(11) ifodada deb olib,

umumiy yechimini topamiz.