7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

Integral ko‘paytuvchi

Har doim

(22)

ko‘rinishdagi differensial tenglamalarda tenglikning chap tomonidagi ifoda biror funksiyaning to‘liq differensiali bo‘lavermaydi (bu holda tenglamani yuqoridagi usul bilan yechib bo‘lmaydi).

Ba’zi hollarda

funksiyani topish mumkinki, (1) tenglamani shu funksiyaga ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan

tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to‘liq differensialiga aylanadi va tenglama to‘liq differensialli tenglamaga keladi:

Odatda, bunday funksiya integrallovchi ko‘paytuvchi deyiladi.

Faraz qilaylik,

ko‘rinishdagi differensial tenglama berilgan bo‘lib, uning chap tomonidagi ifoda biror funksiyaning to‘liq differensiali bo‘lmasin. Masala, shu differensial tenglamaning integrallovchi ko‘paytuvchisini topishdan iborat. Bu ancha murakkab masala bo‘lib, biz quyida sodda holda, ya’ni integrallovchi, ko‘paytuvchi faqat x ga bog‘liq yoki faqat y ga bog‘liq bo‘lgan holda ularning mavjud bo‘lishi hamda topish formulalarini keltirish bilan kifoyalanamiz.

(22) tenglamaning faqat ga bog‘liq integrallovchi ko‘paytuvchining mavjud bo‘lishi uchun ushbu

funksiyaning faqat x ga bog‘liq bo‘lishi zarur va yetarli. Bunda

bo‘ladi.

(22) tenglamaning faqat y ga bog‘liq integrallovchi ko‘paytuvchining mavjud bo‘lishi uchun ushbu

funksiyaning faqat y ga bog‘liq bo‘lishi zarur va yetarli.

Bunda

bo‘ladi.

8-misol. Ushbu

tenglama yechilsin.

Bu tenglamada

bo‘lib,

bo‘ladi.  shu sababli berilgan tenglama to‘liq differensialli tenglama bo‘lmaydi. Yuqorida keltirilgan shartga ko‘ra

bo‘lgani uchun berilgan tenglamani integrallovchi ko‘paytuvchisi mavjud bo‘lib, u

bo‘ladi. Berilgan tenglamaning har ikki tomonini  ifodaga ko‘paytirib ushbu

to‘liq differensial tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning chap tomonidagi ifoda uchun

bo‘ladi. Demak,

Bu tenglama yechimi

Binobarin tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.