7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

3-ta’rif. Agar tartibli differensial tenglama noma’lum funksiya uning hosilalariga nisbatan birinchi darajali bo’lsa, bunday tenglama chiziqli differensial tenglama, ya’ni (1) ko’rinishda bo’ladi. Bu erda va lar ning ma’lum funksiyalari yoki o’zgarmas sonlar, bunda (1) tenglamani qaysi sohada qarayotgan bo’lsak, ning o’sha sohadagi barcha qiymatlari uchun .

Bundan keyin va lar ning barcha qiymatlarida uzluksiz funksiya va teng deb faraz qilamiz.

Agar bo’lsa, u holda tenglama bir jinslimas chiziqli differensial tenglama deyiladi. Agar bo’lsa, u holda tenglama bir jinslimas chiziqli differensial tenglama deyiladi.(chunki bu differensial tenglamaning chap tomoni larga nisbatan birinchi darajali bir jinsli funksiyadir.)

2-teorema. Agar va ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli (3) differensial tenglamaning ikkita hususiy yechimi bo’lsa, u holda ham bu tenglamaning yechimi bo’ladi.

Isboti. va tenglamaning yechimi bo’lgani uchun

(4)

(3) tenglamaga yig’indini qo’yib, (4) ayniyatni e’tiborga olsak

,

ya’ni ham yechim bo’ladi.

3-teorema. Agar (3) tenglamaning yechimi bo’lib, ixtiyoriy o’zgarmas miqdor bo’lsa, u holda ham (3) yechimi bo’ladi.

`Isboti. (3) tenglamaga ifodani qo’yamiz:

.

4-ta’rif. Agar kesmada (3) tenglama ikkita va yechimining nisbati o’zgarmas miqdorga teng bo’lmasa, ya’ni bo’lsa, va yechimlar kesmada chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlar deyiladi. (Aks holda chiziqli bog’liq yechim deyiladi.)

Masalan. tenglama berilgan bo’lsin. funksiyalar bu tenglamaning yechimlari bo’lishini tekshirish oson. Bunda va funksiyalar har qanday kesmada chiziqli bog’liqmas(erkli), chunki nisbat o’zgarganda o’zgarib boradi. hamda funksiyalar esa chiziqli bog’liq, chunki .