7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

O‘zgarmas koeffitsientli yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.

Ushbu ko’rinishdagi differensial tenglama

o‘zgarmas koeffitsientli yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi.

1-ta’rif. dagi ning barcha qiymatlari uchun tenglik o’rinli bo’lsa, va lar bir vaqtda nol bo’lmagan o’zgarmas sonlar bo’lsa, u holda funksiya orqali chiziqli ifodalanadi deyiladi.

2-ta’rif. ta funksiyalarni hech biri qolganlari orqali chiziqli ifoda etilmasa u funksiyalar chiziqli erkli funksiyalar deb ataladi.

1-misol. funksiyalar chiziqli bo’gliq, chunki

bo’lganda

.

2-misol. funksiyalar chiziqli erkli,

chunki faqat bo’lsagina aynan nolga teng bo’ladi.

1-teorema². .Agar funksiyalar (1) tenglamani chiziqli erkli yechimlari bo’lsa, u holda

(1)

ning umumiy yechimi bo’ladi, ihtiyoriy o’zgarmas sonlar.

Agar o’zgarmas sonlar bo’lsa uni 2-chi tartibli differensial tenglamalardek yechiladi.

1. 
   Xarakteristik tenglama tuzamiz:
   
2. 
   Xarakteristik tenglamani ildizlarini topamiz.
   
3. 
   a) Har bir karrali haqiqiy - ildizga hususiy yechim mos keladi;
   

b) Har bir juft qo’shma kompleks bir karrali ildizga va hususiy yechim mos keladi;

c) Har bir karrali haqiqiy - ildizga ta chiziqli hususiy yechim mos keladi;

d) Har bir karrali juft qo’shma kompleks ildizga ta

hususiy yechim to’gri keladi;

Bu hususiy yechimlar soni tenglamaning darajasiga teng bo’ladi;

(1)