7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

6-misol. tenglamaning umumiy integrali topilsin.

Berilgan tenglamada ni argument va ni funksiya deb olib, quyidagi

tenglamalarga ega bo‘lamiz. Oxirgi tenglama Bernulli tenglamasidir. Unda

, ,

Shuning uchun

;

bo‘ladi. Tenglamani avval ab o‘lib, so‘ngra bu ifodalardan foydalansak, yuqorida ko‘rilgan

chiziqli differensial tenglamani hosil qilamiz. Uning yechimi

ekanligi ma’lum. o‘zgaruvchidan o‘zgaruvchiga qaytsak,

yoki

umumiy integralni topamiz.

To‘la differensialli differensial tenglamalar¹.

(12)

ko‘rinishdagi tenglamada

ifoda biror funksiyaning to‘liq differensiali bo‘lsa, (12) tenglama to‘liq differensialli tenglama deyiladi.

Quyida to‘liq differensialli tenglamaning umumiy yechimini topish bilan shug‘ullanamiz.

Modomiki, (12) to‘liq differensialli tenglama bo‘lar ekan, unda

bo‘lib, (12) tenglama ushbu

(13)

ko‘rinishga keladi.

(13) tenglamadan

(14)

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu berilgan to‘liq differensialli tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.

Haqiqatdan ham, aytaylik, (14) tenglik ga nisbatan yechilgan deylik:

Unda, ravshanki,

bo‘ladi. Bu ayniyatni differensiallab topamiz:

(15)

Ayni paytda bo‘lgani uchun

bo‘ladi. Natijada (15) ayniyat quyidagi

ko‘rinishga keladi. Demak, berilgan (12) tenglamaning umumiy yechimi, ya’ni tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.

Masala,  funksiyani topishdan iborat. Bu funksiyani topishda

lar uchun bajariladigan quyidagi

(16)

tenglikdan foydalaniladi. ((16) tenglik,

ifoda funksiyaning to‘liq differensiali bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti bo‘ladi).