7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

7-teorema. Agar (2) tenglamaning va yechimlari kesmada chiziqli erkli bo‘lsa, bu yechimlardan tuzilgan W Vronskiy determinanti ko‘rsatilgan kesmaning hech bir nuqtasida nolga aylanmaydi.

8-teorema. (2) tеnglаmаning yechimlаri chiziqli erkli bo‘lishi uchun ulаrdаn tuzilgаn Vrоnskiy dеtеrminаnti nоldаn fаrqli bo‘lishi zаrur vа yеtаrlidir.

Nаtijа. Аgаr ning bittа nuqtаsidа yechimlаri uchun bo‘lsа, ulаr dа chiziqli erkli sistеmаni tаshkil etаdi.

10-ta’rif. (a,b) intervalda ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamaning ixtiyoriy chiziqli erkli va yechimlari ushbu tenglama yechimlarining fundamental sistemasi deyiladi.

9-teorema. Agar va funksiyalar chiziqli bog‘liq bo‘lmagan bo‘lib, ular (2) tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda

(8)

funksiya (2) tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi, bunda va – ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.

Isboti. Aytaylik, va lar

tenglamaning yechimlari bo‘lsin. Unda 1 va 2-tasdiqlarga ko‘ra va lar ham shu tenglama yechimidir.

Endi

boshlang‘ich shartlar har qanday bo‘lganda ham, va o‘zgarmas miqdorlar qiymatini, bu qiymatlarga mos bo‘lgan xususiy yechim berilgan boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan qilib tanlash mumkinligini isbotlaymiz. Boshlang‘ich shartlarni (8) tenglikka qo‘yib,

(9)

sistemaga ega bo‘lamiz, bunda:

,

deb belgilangan. (9) sistemadan, bu sistemaning

determinanti bo‘lganda Vronskiy determinanti bo‘lgani uchun va, demak, u nolga teng bo‘lmagani uchun ( va yechimlar chizigli erkli bo‘lganidan), va larni aniqlash mumkin. va ning topilgan qiymatlarida (8) oiladan hosil bo‘ladigan xususiy yechim berilgan boshlang‘ich shartlarni qanotlantiradi. Shunday qilib, teorema isbotlangan.