Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

2.  Nuqtaning traektoriya bo’ylab harakat qonuniga doir namunaviy 
masalalarni yechish. Uslubiy tavsiyalar.  
z 
M(x,y,z) 
r

 
y 
x 
128-shakl 

 
295 
 
  Nuqtaning  harakat  tenglamalariga  doir  masalalarni  qo’yidagi  tartibda  yechish 
tavsiya etiladi: 
 
1. Masalani yechish uchun tegishli koordinatalar sistemasini tanlash kerak. 
 
2.  Berilgan  shartlardan  foydalanib,  tanlangan  koordinalar  sistemasiga  nisbatan 
nuqtaning harakat tenglamalari tuziladi. 
    3.  Nuqtaning  tuzilgan  harakat  tenglamalariga  qarab,  ya’ni  (6.2.4)  va  (6.2.8) 
tenglamalaridan foydalanib, (6.2.4) trayektoriya tenglamalari topiladi. 
 
1-masala (И.В. Мешчерский 10.4). Nuqta harakatining berilgan  x=3sin t, 
y=3cos t tenglamalariga qarab uning trayektoriya tenglamasi topilsin; shuningdek, 
masofani  nuqtaning  boshlang’ich  holatidan  hisoblab,  uning  trayektoriya  bo’ylab 
harakatlanish qonuni ko’rsatilsin. 
 
  Yechish.  Nuqtaning  berilgan  harakat  tenglamalaridan  t  parametrlarini 
yo’qotib, uning trayektoriya tenglamasini topamiz, ya’ni 
x
2
+y
2
=9. 
 
Demak,  nuqta  trayektoriyasi  markazi  koordinatalar 
boshida  va  radiusi  3  ga  teng  bo’lgan  aylana  bo’lar  ekan 
(129-shakl). 
 
Endi  nuqtaning  trayektoriya  bo’ylab  harakatlanish 
qonunini  topamiz.  Buning  uchun  (6.2.8)  formuladan 
foydalanamiz. Berilgan harakat tenglamalariga asosan: 
,
cos
3
t
x 

 
t
y
sin
3



. 
Buni (6.2.8) formulaga qo’yamiz: 





t
C
t
dt
t
t
S
0
2
2
3
)
sin
(cos
9
, 
bu  yerda  С  berilgan  boshlang’ich  shartlardan  topiladi.  Masalan:  t=0  bo’lganda 
S
0
=0  deb  olinsa,  С=0  bo’ladi,  natijada  nuqtaning  trayektoriya  bo’ylab 
harakatlanish tenglamasi qo’yidagi ko’rinishga keladi: 
S=3t. 
y 
S 
r

 
O 
x 
129-shakl 

 
296 
 
2-masala (И.В.Мешчерский 10.14). Snaryadning harakati 
2
sin
,
cos
2
0
0
gt
t
y
t
x









      tenglamalar bilan berilgan, bu yerda 
0

-
snaryadning boshlang’ich tezligi, α- x   o’qi bilan  
0


  orasidagi burchak, g-og’irlik 
kuchining tezlanishi. Snaryadning harakat trayektoriyasi, H-balandlik, L-uchish 
uzoqligi va T uchish vaqti aniqlansin. 
 
Yechish.  Nuqtaning  berilgan  harakat  tenglamalaridan  t  ni  yo’qotib,  uning 
trayektoriya tenglamasini topamiz. Tenglamalarning birinchisidan: 


cos
0
x
t 
. 
Buni tenglamalarning ikkinchisiga qo’yamiz: 
2
2
2
0
cos
2
x
g
x
tg
y






. 
 
Demak, snaryadning harakat trayektoriyasi paraboladan iborat ekan. 
 
Endi  H  balandlikni  topamiz.  Nuqta  parabola    bo’ylab  eng  katta  balandlikka 
ko’tarilganda  y  koordinata  o’zining  eng  katta  qiymatiga  erishadi.  Harakat 
tenglamalarning  ikkinchisining  birinchi  tartibli 
hosilasini nolga tenglashtiramiz:  
0
sin
0



gt
y



. 
Bundan: 


sin
0
g
t 
. 
Shoxlari pastga qaragan parabolada y faqat eng katta qiymatga ega, shuning uchun 
 


2
2
0
max
sin
2g
y
H


. 
 
Endi  uchish  masofasini  topamiz.  Nuqta  Yerga  kelib  tushganda  uning  y 
koordinatasi nolga teng bo’ladi, ya’ni 
0
2
sin
2
0




gt
t
y


. 
Bundan 


sin
2
;
0
0
2
1
g
t
t


. 
y 
H 
0


 
α 
O 
L 
x 
130-shakl 

 
297 
t
1
-nuqtaning boshlang’ich holatiga, t
2
-nuqtaning uchish vaqtini ifodalaydi. Demak, 


sin
2
0
g
T 
. 
 
T  ning  bu  qiymatini  harakat  tenglamalarining  birinchisiga  qo’yib,  nuqtaning 
uchish masofasini topamiz, ya’ni 





2
sin
sin
cos
2
2
0
2
0
max
g
g
х
L



. 
 
3-masala  (И.В.  Мешчерский  10.21).  Nuqtaning  dekart  koordinatalari 
sistemasida berilgan 
,
2
cos
2
kt
R
x 
 
,
sin
2
kt
R
y 
 
2
sin
kt
R
z 
 
harakat  tenglamalariga  asosan  uning  trayektoriyasi  va  sferik  kordinatalar 
sistemasidagi harakat tenglamalari topilsin. 
 
Yechish. 
Nuqtaning 
trayektoriya 
tenglamasini 
topamiz. 
Harakat 
tenglamalarining birinchi va ikkitasidan: 










kt
R
y
kt
R
R
x
sin
2
cos
2
2
4
2
2
2
2
R
y
R
x










. 
 
Harakat tenglamalarining uchinchisidan:  
R
z
kt

2
sin
. 
Buni birinchi ikkita tenglamaga qo’yamiz: 
R
z
R
kt
R
x
2
2
2
2
sin
1










,     
R
z
R
z
kt
kt
R
y
2
2
2
cos
2
sin



. 
Bu tenglamalarning ikkala tomonini kvadratga ko’tarib qo’shamiz, natijada  
2
2
2
2
R
z
y
x



 
tenglamani hosil qilamiz. Demak nuqta traektoriyasi  
2
2
2
2
R
z
y
x



 sfera va 
4
2
2
2
2
R
y
R
x









 
silindrlarning  kesishish chizig’idan iborat bo’lar ekan. 
 
Nuqtaning berilgan harakat tenglamalarini qo’yidagi ko’rinishda yozamiz: 

 
298 
,
2
cos
2
cos
kt
kt
R
x 
 
,
2
sin
2
cos
kt
kt
R
y 
 
2
sin
kt
R
z 
. 
Bu  tenglamalarni  nuqtaning  sferik  koordinatalari  bilan  dekart  koordinatalari 
orasidagi  bog’lanish  tenglamalari  bilan  solishtirib,  qo’yidagi  tenglamalarga 
kelamiz: 
,
R
r 
 


2
kt
,  
2
kt


. 
3.Darsda mustaqil yechish uchun  masala va topshiriqlar 
 
1.Nuqtaning  harakat  tenglamasi
j
t
i
t
r



4
3 

  ko’rinishida  berilgan. 
m
r 5

  bo’lgan 
paytda nuqtaning y koordinatasi topilsin. 
 
2.  Nuqtaning  harakat  tenglamalari  x=3t,  y=t
2   
ko’rinishida  berilgan.  t=2c 
bo’lgan paytda koordinatalar boshidan  nuqtagacha bo’lgan masofa topilsin.  
 
3. Nuqtaning harakat tenglamalari x=cost, y=2sint ko’rinishida berilgan. t=2,5c 
bo’lgan paytda nuqtadan koordinatalar boshigacha bo’lgan masofa topilsin. 
 
4.  Nuqtaning  harakat  tenglamalari  x=2t,  y=t  ko’rinishida  berilgan. 
Koordinatalar boshidan nuqtagacha bo’lgan masofa 10 m ga yetgan vaqt t topilsin.
 
 
 
5.  A  nuqtaning  harakat  tenglamalari  x=2cost,  y=3sint  ko’rinishida  berilgan. 
t=1,5c  bo’lgan  paytda  nuqtaning  radius-vektori  OA  bilan  Ox  o’qi  orasidagi 
burchak topilsin. 
 
6.  Nuqtaning  harakati  x=5cos5t
2
,  y=5sin5t
2
  tenglamalar  bilan  berilgan. 
Nuqtaning  trayektoriya  tenglamasi  shuningdek,  masofani  nuqtaning  boshlang’ich 
holatidan hisoblab, uning trayektoriya bo’ylab harakatlanish qonuni topilsin. 
 
7.  Nuqtaning  turli  chastotali  o’zaro  perpendikulyar  tebranishlari  x=asin2ωt, 
t
a
y

sin

 tenglamalar bilan berilgan. Trayektoriya tenglamasi topilsin. 
 
8.  Nuqta  x=acoskt,  y=asinkt,  z=vt  vint  chizig’i  bo’ylab  harakatlanadi.  Nuqta 
harakatining tenglamalari silindrik koordinatalarda aniqlansin. 
 
4. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
1. 
 Kinematikaning asosiy tushunchalari  nimalar? 
2. 
 Nuqta kinematikasining asosiy masalasi nimalardan iborat? 

 
299 
3. 
 Nuqtaning harakati qanday usullar bilan berilishi mumkin? 
4. 
 Bir koordinatalar sistemasidan boshqasiga qanday o’tiladi? 
5. [ ] dan 10.2, 10.4,10.6, 10.8, 10.10, 10.12, 10.16, 10.18, 10.20 masalani 
yeching 
Nuqtaning tezligi 
1. Egri chiziqli harakatdagi nuqtaning tezligi 
 
 Agar  nuqtaning  harakat  trayektoriyasi  egri  chiziqdan  iborat  bo’lsa,  uning 
bunday  harakatiga  egri  chiziqli  harakat  deyiladi.  Nuqta  harakatining  asosiy 
xarateristikalaridan  biri  uning  tezligi  hisoblanadi.  Harakatlanuvchi  nuqtaning 
qaralayotgan  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  t  paytdagi  M  holati 
r

  radius-
vektor  bilan,  t+∆t  paytdagi  holati 
1
r

  radius-vektor  bilan 
aniqlansin (131-shakl). ∆t vaqt oralig’ida harakatlanuvchi 
nuqtaning  radius-vektori 
r
r
r






1
  ga  o’zgarsin  (131-
shakl). 
t
r





*

 
nisbatga nuqtaning ∆t vaqt oralig’idagi o’rtacha tezlik deyiladi.  
 
Demak,  nuqtaning  o’rtacha  tezligi 
r


  vector  yo’nalishidagi,  ya’ni  harakat 
yo’nalishidagi vektor bo’lar ekan.  
 
O’rtacha  tezlikning  ∆t  vaqt  oralig’i  nolga  intilgandagi  (ba’zan  oniy  tezlik  deb 
ham ataladi) limitik holati nuqtaning ixtiyoriy t paytidagi tezlikni ifodalaydi, ya’ni 
dt
r
d
t
r
t









0
lim

. 
 
 
 
 
(6.4.1) 
 
Shunday  qilib,  nuqtaning  ixtiyoriy  paytidagi  tezligi  vektor  kattalik  bo’lib, 
nuqtaning  radius-vektoridan  vaqt  bo’yicha  olingan  birinchi  tartibli  hosilaga  teng. 
t
r



 vektorning 
0

t
dagi limitik holati trayektoriyaning urinmasi bilan ustma-ust 
tushadi,  demak,  tezlik  vektori  trayektoriyaning  urinmasi  bo’ylab,  harakat 
yo’nalishi  tomonga  qarab  yo’nalgan  vektordir.  Tezlik  vektorini  quyidagicha 
almashtiramiz:  
z 
M 
M
1
 
r

1
r

 
O 
x 
y 
131-shakl 



 
300 
S
ds
r
d
dt
ds
ds
r
d
dr
r
d










. 
 
 
 
(6.4.2) 
 
(6.4.2)  tenglikning  o’ng  tomonidagi 
ds
r
d

  ko’paytmani 
qaraymiz. 
S

  va 
r


  miqdorlar  bir  xil  tartibli  kichik 
miqdorlar ekanligidan  
1
lim



S
r

 
bo’ladi (132-shakl). Demak, 
s
r 
 /

  miqdorning 
0

S
 
(yoki) 
0

t
dagi  limitik  holati  nuqtaning  urinmasi  bo’ylab  yo’nalgan  birlik 
vektorni ifodalaydi, ya’ni  
0
0
0
lim










S
r
t
S
, 
bu  yerda 
0


-urinmaning  musbat  yo’nalishi  bo’ylab  yo’nalgan  birlik  vektor. 
Shunday qilib, (6.4.2) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:  
0





S

. 
 
 
 
 
(6.4.3) 
dt
dS


  miqdor  tezlikning  algebraik  qiymati  modulini  bildiradi,  yoki  tezlik 
trayektoriyaning  M  nuqtasida  o’tkazilgan  urinmadagi  proyeksiyasini  bildiradi, 
ya’ni 
dt
dS





. 
   
(6.4.4) 
 
Nuqtaning radius-vektorini uning proyeksiyalari orqali yozamiz: 
k
z
j
y
i
x
r







 
 
Tezlikning ta’rifiga asosan: 
k
z
j
y
i
x
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
r
d



















.   
 
(6.4.5) 
 
Tezlik vektorini kordinata o’qlaridagi proyeksiyalari orqali yozamiz: 
k
j
i
z
y
x











. 
 
 
 
(6.4.6) 
 
(6.4.5)  va  (6.4.6)  ifodalarni  solishtirib,  tezlikning  proyeksiyalari  uchun 
quyidagi formulalarni hosil qilamiz: 
M 
0



 
S

 
r


 
r

M
1
 
1
r

O 
132-shakl 

 
301 
 
x
dt
dx
x




,     
y
dt
dy
y




,    
z
dt
dz
z



.     
    
 (6.4.7) 
 
Shunday  qilib,  tezlikning  koordinata  o’qlaridagi  proyeksiyalari  nuqtaning  mos 
koordinatalaridan  vaqt  bo’yicha  olingan  birinchi  tartibli  hosilalarga  teng    bo’lar 
ekan.  
 
Tezlik  vektorining  koordinata  o’qlaridagi  proyeksiyalari  ma’lum  bo’lsa,  uning 
moduli va yo’nalishini topish mumkin: 
2
2
2
2
2
2
z
y
x
z
y
x
















; 




x
x
x




)
^
,
cos(
,  
y
y
y
y
y








)
^
cos(
,   
 
      (6.4.8) 




z
z
z




)
^
,
cos(
. 
 
Agar  nuqtaning  harakat  trayektoriyasi  to’g’ri  chiziqdan  iborat  bo’lsa,  bunday 
harakatga to’g’ri chiziqli  harakat deyiladi.  Nuqta to’g’ri chiziqli  harakatda bo’lsa, 
koordinatalar o’qlaridan bittasini masalan, Ox o’qini harakat to’g’ri chizigi bo’ylab 
yo’naltiramiz.  U  holda  tezlikning  qolgan  o’qlaridagi  proyeksiyalari  aynan  nolga 
teng bo’ladi (133-shakl). Natijada nuqtaning tezligi uchun quyidagi formulani hosil 
qilamiz: 
x
dt
dx
x




 , 
x


. 
 
Shunday  qilib,  to’g’ri  chiziqli  harakatdagi  nuqtaning 
tezligi  masofadan  vaqt  bo’yicha  olingan  birinchi  tartibli 
hosilaga teng ekan. 
 
Agar harakatning berilgan qismida 
dt
dx


 tezlik va x koordinata bir xil ishoraga 
ega  bo’lsa,  nuqtaning  bu  holdagi  harakatiga  to’g’ri  harakat  deyiladi.  Agar 

  va  x 
lar har xil ishorali bo’lsa nuqtaning bunday harakatiga teskari harakat deyiladi.  
 
Agar  nuqtaning  tezligi  vaqtning  biror  paytida  nolga  teng  bo’lsa,  shu  paytda  x 
masofa  o’zining  statsionar  qiymatiga  ega  bo’ladi.  x  o’zining  maksimum  yoki 
minimum  qiymatiga erishgan paytda  nuqtaning tezligi  nolga  teng bo’lib, shu payt 
O 
M 


x 
x 
133-shakl 

 
302 
tezlik  o’zining  yo’nalishini  uzgartiradi  va  harakat  agar  teskari  bo’lsa,  to’g’ri 
harakatga o’tadi.  
 
Agar  nuqtaning  tezligi  qandaydir  vaqt  oralig’ida  nolga  teng  bo’lsa,  shu  vaqt 
oralig’ida x=const bo’lib, nuqta tinch holatda bo’ladi. 
 
Tezliknng  o’lchov  birligi: 
  



vaqt
uzunlik


.  Tezlikning  o’lchov  birligi  sifatida: 
sm/sek, m/sek, km/soat  olinadi. 
 
Agar butun harakat davomida nuqtaninig tezligi o’zgarmas, ya’ni 
const


0


 
bo’lsa, nuqtaning bunday harakatiga to’g’ri chiziqli tekis harakat deyiladi. 
0




dt
dx
. 
 
Bundan  
t
x
x
0
0



,   
 
 
 
 
(6.4.9) 
 
bu yerda x
0
-nuqtaning boshlang’ich koordinatasi. (6.4.9) tenglama to’g’ri 
chiziqli tekis harakat tenglamasini ifodalaydi. 
2. Aylana bo’ylab harakatlanayotgan nuqtaning tezligi 
 
Burchak  tezlik.  Nuqtaning  R  radiusli  aylana  bo’ylab 
harakatini qaraymiz. Bu holda M nuqta tezligining son qiymati 
quyidagiga teng bo’ladi: 
 
 
dt
d
R
dt
dS




, 
 
(6.4.10) 
bu yerda 

Rd
dS 
.  
 
 
dt
d



 
 
 
(6.4.11)  
miqdorga R radiusning aylanish burchak tezligi deyiladi. 
 
Shunday  qilib,  aylana  bo’ylab  harakatlanuvchi  nuqta  tezligining  miqdori 
quyidagicha topiladi: 


R

. 
 
 
 
 
 (6.4.12) 
 
Tezlik  vektori  aylana  urinmasi  bo’ylab,  harakat  yo’nalishi  tomonga  yo’nalgan 
bo’ladi. 
 
τ 


M 
ds 
ω 
dφ 
O 
134-shakl 

 
303 
 Nuqta tezligini topishga doir namunaviy  masalalarni yechish. Uslubiy 
tavsiyalar.   
 
Nuqta  tezligini  topishga  doir  masalalarni  quyidagi  tartibda  yechish  tavsiya 
etiladi: 
1.  Masalalarni yechish  uchun tegishli koordinatalar sistemasi tanlanadi. 
2.  Masalaning  berilgan    shartlaridan  foydalanib,  nuqtaning  harakat 
tenglamalari tuziladi. 
3.  Harakatning  berilish  usuliga  qarab,  tegishli  formulalardan  foydalanib, 
nuqtaning tezligi topiladi. 
 
1-masala.  (И.В.Мешчерский  11.3).  Nuqta  x=2cost,    y=4cos2t  (x,y-
santimetrlar,  t-sekundlar  hisobida)  tenglamalarga  muvofiq  lissaju  figurasini 
chizadi. Nuqta Oy
 
o’qida bo’lganida tezligining miqdori bilan yo’nalishi topilsin. 
Yechish.  Nuqta  Oy
 
o’qida  bo’lgan  paytda  x=0  bo’ladi.  Berilgan 
tenglamalardan: 
,
2
;
0
cos
n
t
t






 
n
ЄZ. 
Endi tezlikning  koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz: 
t
x
x
sin
2





,   
 
t
y
y
2
sin
8


 

;    
 
t
t
2
sin
64
sin
4
2
2



 
 
1)  
n
t


2
2


, 
Z
n
 bo’lgan paytlar uchun 
s
sm
x
2



,   
0

y

,     
s
sm
y
x
/
2
2
2






; 
,
1
2
2
)
^
,
cos(








x
x

   
0
)
^
,
cos(





y
y

. 
 
2) 
,
2
2
3
n
t




 
Z
n
 bo’lgan paytlar uchun 
s
sm
x
2


, 
 
 
,
0

y

 
 
s
sm
2


. 
,
1
2
2
)
^
,
cos(






x
x
 
 
0
)
^
,
cos(





y
y

.