Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

2-masala.  Vertikal  yuqoriga  otilgan  M  nuqta  qarshiliksiz  muhitda  quyidagi 
tenglamaga muvofiq harakatlanadi: 

 
304 
 
   
 
,
2
2
0
gt
t
x



    
 
 
 
 
                    (a) 
bu yerda 
0

 va g-o’zgarmas koeffisientlar. 
 
Nuqtaning  tezligi,  eng  katta  ko’tarilish  balandligi  va  eng  katta  balandlikka 
ko’tarilishga ketgan vaqt topilsin. 
 
Yechish. Tezlikning vertikal o’qdagi proyeksiyasini topamiz: 
 
   
 
gt
dt
dx
x



0


. 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
(b)  tenglamadan  ko’rish  mumkinki,  t=0, 
0

 
x
.  Demak 
0

  tezlikning 
boshlang’ich paytdagi proyeksiyasini qiymatini ifodalar ekan. 
 
Nuqta  eng  katta  balandlikka  chiqqan  paytda  uning  tezligi  nolga  teng  bo’ladi, 
ya’ni 
0
0



gt
x


. 
Bundan 
g
Т
0


. 
 
Eng  katta  balandlikni  topish  uchun  T  ning  topilgan  qiymatini  nuqtaning 
berilgan harakat tenglamasiga qo’yamiz: 
g
g
g
g
H
2
2
2
0
2
2
0
0
0







. 
 
3-masala.  M  moddiy  nuqta 
0

  boshlang’ich  tezlik  bilan  vertikal  yuqoriga 
otildi.  M  nuqta  eng  katta  balandlikka  ko’tarilib,  qaytishda  yo’lning  o’rtasida 
uchrashishi uchun birinchi nuqta otilgan joydan ikkinchi M
1
 nuqtani qanday 
0
1

 
 
boshlang’ich tezlik bilan otilish kerak. 
 
Yechish.  Vertikal  yuqoriga  otilgan  nuqta  qarshiliksiz  muhitda  quyidagi 
tenglamaga muvofiq harakat qiladi: 
2
2
0
gt
t
x



, 
bu yerda 
0

 nuqtaning boshlang’ich tezligi,  g-erkin tushish tezlanishi. 
 
Oldingi masalada birinchi nuqtaning eng katta balandligi topilgan edi, ya’ni 

 
305 
g
Н
2
2
0


 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
Yuqoridan pastga  vertikal  harakatlanadigan birinchi  nuqta  uchun  boshlang’ich 
tezlik nolga teng, ya’ni 
.
0
0


 Uning harakat tenglamasi quyidagicha bo’ladi: 
 
   
2
2
1
1
t
g
x 
.                
 
 
                         (b) 
1

  boshlang’ich  tezlik  bilan  yuqoriga  vertikal  otilgan  nuqtaning  qarshiliksiz 
muhitdagi harakat tenglamasi quyidagicha bo’ladi: 
.
2
2
2
2
1
2
dt
t
x



 
Masalaning shartiga ko’ra  
  
   
 
 
 
(c) 
(b) va  (c) tenglamalarga asosan: 
.
2
2
2
2
2
1
2
1
gt
t
gt



   
 
 
 
 
(d) 
(b) tenglamadan:                
2
2
4
0
1
2
1
2
0
g
t
gt
g





   
 
 
 
(e) 
Masalaning shartiga ko’ra t
1
=t
2
.
 
Bunga asosan (e) ni (d) ga qo’yamiz: 
;
4
2
4
2
0
0
1
2
0
g
g
g






 
Bundan: 
.
2
0
1

 
 
 
4-masala  (И.В.Мешчерский  11.4).  OA  krivoship 

  o’zgarmas  burchak 
tezlik  bilan  aylanadi.  Krivoship-polzunli  mexanizm  shatuni  o’rtasidagi    M 
nuqtaning tezligi va polzunning tezligi vaqt funksiyasi sifatida topilsin; OA=AB=a. 
 
Yechish. M nuqtaning  va B polzunning  koordinatalarini topamiz. ∆OAB teng 
yonli bo’lgani uchun


B
, CD=DB. 
Shaklga asosan: 
,
cos
2
cos


OA
AO
x
M


 
y 
A 
M 
B 
O 
C 
138-shakl 


 
306 

sin
2
OA
y
m

 
yoki  
.
sin
2
1
,
cos
2
3
t
a
y
t
a
x
M
M




  
 
 
 
 
(a) 
(a) tenglamalardan: 
.
,
sin
2
3
t
a
x
M
Mx





 
     
.
cos
2
1
t
a
y
M
My




 
 
 
Endi tezlikning modulini topamiz: 
.
1
sin
8
2
2
2
2




t
a
My
Mx
M





 
 
Xuddi shunday  
 
 
 
0
cos
2


B
B
y
t
a
x


 
0
sin
2




By
B
Bx
t
a
x





 
B nuqta tezligining moduli 
t
a
Вy
Вx
В





sin
2
2
2



. 
 
5-masala  (И.В.Мешчерский  11.9).  Radiusi  R=1m  bo’lgan  elektrovoz 
g’ildiragining  o’qidan    a=0,5m  narida  yotuvchi  nuqtasining  harakat  tenglamalari 
va  trayektoriyasi  aniqlansin.  G’ildirak  gorizontal  va  to’g’ri  chiziqli  yo’lda 
sirganmasdan g’ildirab boradi; g’ildirak o’qinig tezligi 
s
m /
10


. Ox o’q rels bilan 
ustma-ust  tushadi,  Oy
 
o’q  nuqtaning  boshlang’ich  pastki  holatidagi  radiusga  mos 
keladi.  Shuningdek,  g’ildirakning  shu  nuqta  yotgan  diametri  gorizotal  va  vertikal 
holatni egallagan paytlarda nuqta tezligining qancha bo’lishi aniqlansin. 
 
Yechish.  Boshlang’ich  paytda  g’ildirak  bilan  relsning  urinish  nuqtasining 
koordinatalar  boshi  deb  olib,  x  o’qni  rels  bo’ylab,  y  o’qini  vertikal  bo’ylab 
yo’naltiramiz.  G’ildirak  Q  nuqtasining  ixtiyoriy  t  paytdagi  holatini  aniqlaymiz. 
G’ildirak markazi gorizantal to’g’ri chiziq bo’ylab tekis harakat qilgani uchun 
t
t
С
С
10
0
0



 
 
CA||C
0
O bo’lganligidan t vaqt ichida g’ildirakning o’z o’qi atrofida aylanishdan 
hosil bo’lgan burchakni 


QCA
 bilan belgilaymiz. 

 
307 
 
Q nuqtaning koordinatalarini topamiz: 
x
Q
=OB,         
       y
Q
=QB 
bo’ladi. 
OB=OA-BA=S
0
S-SE,     QB=QE+EB, 
yoki 
,
10
CE
t
x
Q


  
 
.
QE
R
y
Q


 
QEC

 dan: 


cos
)
90
sin(
0
a
a
QE




,  


sin
)
90
cos(
0
a
a
EC



 
Bularga asosan 


cos
,
sin
10
a
R
y
a
t
x
Q
Q




                      (a) 
 
Endi 

  burchakni  t  ning 
funksiyasi  ko’rinishida  topamiz.  G’ildirak  yo’lda  sirganmasdan  yumalagani 
sababli. 

R
A
O 

 OA=C
0
C=10t. Natijada 
t
R
t
t
R
10
10
10






. 
 
Buni (a) tenglamalariga qo’yib, nuqtaning harakat tenglamalarini topamiz: 
x
Q
=10t-0,5sin10t, 
y
Q
=1-0,5cos10t. 
 
 Endi  nuqta  gorizontal  va  vertikal  diametrda   yotgan  holatlar  uchun tezliklarni 
topamiz:  
 
1. Nuqta gorizontal diametrlarda yotgan holda: 
;
2



    
2
3



 
bo’ladi.  (b)  tenglamalardan  vaqt  bo’yicha  hosilalarni  olib,  tezlikning  koordinata 
o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz, ya’ni  
.
10
sin
5
,
10
cos
5
10
t
y
t
x
Q
y
Q
x









 
2
10




t
 bo’lgan paytda 
y 
0
C
 
O 
Q 
C 
E 

 
B  A 
X 
139-shakl 

 
308 
s
m
x
/
10


, 
s
m
y
/
5


. 
 
Tezlikning moduli 
s
m
y
x
/
18
,
11
2
2






 
ga teng ekani kelib chiqadi. 
2
3



 bo’lgan paytda 
s
m
x
/
10


,   
s
m
y
/
5



 
va 
s
m
y
x
/
18
,
11
2
2






. 
 
2) Nuqta vertikal diametrda yotgan holda: 
 
;
0


 



  bo’ladi.  
 
0


  bo’lgan paytda: 
s
m
x
/
5


,  
,
0

y

  
s
m
y
x
/
5
2
2






. 
 



  bo’lgan paytda: 
s
m
x
/
15


, 
0

y

   va 
s
m /
15


. 
 
6-masala 
(И.В.Мешчерский 
11.12). 
Nuqta  bir 
vaqtning  o’zida
)
cos(




kt
Aye
x
ht
, 
)
sin(




kt
Ae
y
ht
tenglamalarga  asosan  o’zaro  perpendikulyar 
so’nuvchi  tebranishlarda  ishtirok  etadi.  Nuqta  tezligining  dekart  va  qutb 
koordinatalaridagi  proyeksiyalari  va  shuningdek,  nuqta  tezligining  moduli 
aniqlansin.  
 
Yechish.  Nuqta  tezligining  dekart  koordinatalari  o’qlaridagi  proyeksiyalarini 
topamiz: 
)),
sin(
)
cos(
(
)
sin(
)
cos(




















kt
k
kt
h
Ae
kt
Ake
kt
Ahe
x
ht
ht
ht
x

      
      
)).
sin(
)
cos(
(
)
cos(
)
sin(



















kt
h
kt
k
Ae
kt
Ake
kt
Ahe
y
ht
ht
ht
y

 
Berilgan tenglamalardan: 
,
2
2
ht
Ae
y
x
r




 



 kt
 
 
Endi tezlikning qutb koordinatalaridagi proyeksiyalarini topamiz:  

 
309 
ht
r
Ahe
r






, 
ht
Ake
r







. 
 
Tezlikning moduli:
.
2
2
2
2
2
2
2
k
h
r
Ae
k
h
r
r
hz











 
3.Darsda mustaqil yechish uchun  masala va topshiriqlar 
1.  Nuqta 
t
x
cos
2

, 
t
y
2
cos
4

  (x,  y-santimetrlar,  t-sekundlar  hisobida) 
tenglamalarga  muvofiq  lissaju  figurasini  chizadi.  Nuqta  Oy  o’qda  bo’lganida 
tezlikning miqdori bilan yo’nalishi topilsin. 
2.  OA  krivoship 

  o’zgarmas  burchak  tezlik  bilan  aylanadi.  Krivoship-
polzunli  mexanizm  shatunining  o’rtasidagi  M  nuqta  va  polzunning  tezligi  vaqt 
funksiyasi sifatida topilsin; 
a
AB
OA


. 
3.  O’qi  gorizont  bilan  30
0
  burchak  tashkil 
qilgan to’pdan 500 m/s tezlik bilan snaryad otiladi. 
Snaryad  faqat  g=9,81  m/s
2
  og’irlik  kuchi 
tezlanishiga  ega  deb  faraz  qilib,  uning  tezlik 
godografi  va  godograf  chizuvchi  nuqtaning  tezligi 
topilsin. 
4.   M  nuqtaning  harakat  tenglamalari  silindrik  koordinatalar  sistemasida 
vt
z
kt
a
r



,
,

  ko’rinishga  ega.  M  nuqta  tezligining  silindrik  koordinatalar 
sistemasidagi  proyeksiyalari,  tezlik  godografini  chizuvchi  M
1
  nuqtaning  harakat 
tenglamalari va M
1
 nuqta tezligining proyeksiyalari topilsin. 
5.   M  nuqta  aylana  bo’ylab 
2
,
2
cos
2
kt
kt
a
r



  tenglamalarga  asosan 
harakatlanadi  (

,
r
-qutb  koordinatalri).  M  nuqta  tezligining  qutb  koordinatalar 
sistemasi o’qlaridagi proyeksiyalari, tezlik godografini chizuvchi M
1
 nuqta harakat 
tenglamalari va M
1
 nuqta tezligining proyeksiyalari topilsin. 
6.  Nuqtaning to’la tezligi 20 m/s, radial tezligi 10 m/s bo’lsa, uning transversal 
tezligini toping. 
7.  Nuqtaning  harakat  tenglamalari 
2
,
t
r
t



ko’rinishda  berilgan. 
0
180


 
bo’lgan paytda nuqtaning qutb radiusini toping. 
y 
M 

 

 
B 
x 
2-masala 
A

 
310 
8.  Nuqtaning  harakati  qutb  koordinatalarida  berilgan: 
2
2
5
,
0
,
t
r
t



.  Qutb 
burchagi 
25
,
2


 rad. bo’lgan paytda nuqtaning radial tezligini toping. 
9.  Nuqtaning  harakati 
3
,
2
t
r
t



tenglamalar  bilan  berilgan.  t=2c  bo’lgan 
paytda nuqta tezligining modulini toping. 
10. 
 Nuqta 
tekislikda 
harakatlanadi. 
Nuqtaning 
qutb 
burchagi 
s
m
dt
dr
t
/
4
,
0
.
3
,
0



  va 
0
,
0
0
0


r
t
  bo’lsa,  qutb  burchagi  3  rad.  ga  yetgan  paytda 
qutb radiusini toping. 
11. 
Nuqtaning 
harakat 
tenglamalari 
,
2
t
x 
,
sin
t
y


t
z

cos

 
ko’rinishida berilgan. 
c
t
1

 bo’lgan paytda nuqta tezligining moduli topilsin. 
12. 
Nuqtaning  tezligi 
t
2
,
0


  tenglama  bilan  berilgan. 
0
0

t
da 
0
0

S
 
bo’lsa, nuqtaning t=10c  bo’lgan paytdagi S egri chiziqli koordinatasini toping. 
13. 
Nuqtaning harakati 
2
2
4
,
3
t
y
t
x


 tenglamalar bilan berilgan. 
0
0

t
da 
0
0

S
  bo’lib,  nuqta  koordinataning  musbat  yo’nalishi  bo’ylab  harakatlanadi  deb 
olib, egri chiziqli koordinata 
110

S
m bo’ladigan t vaqtni toping. 
14. 
Nuqtaning  harakati 
t
x
cos
3

, 
t
y
sin
3

  tenglamalar  bilan  berilgan. 
0
0

t
da 
0
0

S
  deb  olib,  nuqtaning  egri  chiziqli  koordinatasi 
7

S
m  bo’ladigan  t 
vaqtni toping. 
15. 
Nuqtaning  harakat  tenglamalari 
,
2t
x 
,
3t
y 
 
t
z
5

ko’rinishda 
berilgan. 
0
0

t
da 
14
0

S
  m  deb  olib, 
c
t
10

  bo’lgan  paytda  nuqtaning  S  egri 
chiziqli koordinatasini va tezligini toping. 
 

 
311 
4. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
 
1. Nuqta tezligi qanday aniqlanadi? 
 
2.  Nuqta  tezligining    dekart  koordinatalari  sistemasi  o’qlaridagi    preksiyalari, 
yo’nalishi va moduli qanday  topiladi? 
 
3. Tabiiy koordinatalar sistemasida nuqta tezligi qanday topiladi? 
 
4. Qutb koordinatalar  sistemasida  nuqta tezligining  proyeksiyalari va moduli 
qanday topiladi? 
 
5. Nuqtaning sektorial  tezligi  deganda  nimani tushunasiz? 
       6. [  ]dan 11.2, 11.6, 11.8, 11.10, 11.14, 11.16, 11.18, 11.20 masalarni 
yeching.  
Topshiriq   D-2.   variant-11 
 
 
Mavzu: O`zaruvchan kuchlar ta`siri ostida bo`lgan moddiy nuqta harakati 
differensial tenglamalarni integrallash: 
 
Masala: 
 
             Ushbu      
K
Z
j
Y
i
X
P







   
ko`rinishdagi o`zgaruvchan kuchlar ta`siri ostida bo`lgan moddiy nuqtaning 
harakat qonunini aniqlang? 
 
Bu yerda  
  
  X,Y,Z-    
P

 kuchning o`qlardagi proeksiyasi. 
      
   

k
j
i



,
,
  ortlar, ya`ni birlik vektorlar. 
 
   x, y, z-  nuqtaning koordinatalari. 
 
   g-  erkin tushish tezlanishi. 
 
   f-   ishqalanish koeffesienti. 
 
 

 
312 
 
  
Q
~
-  jism og`irligi  
 
 
 
1.3. “Nuqtaning tezlanishi” mavzusidagi amaliyot  
mashg`ulotining texnologik modeli.  
 
 
 
    6-amaliy       
mashg`ulot 
 
“Nuqtaning tezlanishi” 
 
 
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni: 25 ta 
O’quv mashg’ulot shakli  Individual tipshiriqlarni bajarishga asoslangan amaliy 
mashg`lot 
Amaliyot  
rejasi  
1.Nuqtaning 
tezlanishimavzusiga 
doir 
asosiy 
tushunchalarni takrorlash.  
2.Mavzuga doir namunaviy masalalar yechish 
3.Darsda mustaqil yechish uchun masalalar. 
4.Mustaqil ish uchun savol va topshiriqlar. 
5.  Adabiyotlar 
O`quv mashg`ulotning 
 maqsadi: 
Mavzuga doir masalalar yechishda mavjud uslubiy 
tavsiyalardan samarali foydalanish va kerakli 
ko`nikmalarni hosil qilish. 
 
Pedagagik vazifalari: 
O’quv faoliyati natijalari: 
 Nuqtaning tezlanishini topishga doir 
asosiy tushunchalarni takrorlash. 
Masalalar yechish bo`yicha uslubiy 
tavsiyalarni o`rganish. 
Nuqta tezlanishini topishga doir 
bilimlarni mustahkamlash. 
Normal va urinma tezlanishlarni topish, 
ko`nikmalarni hosil qilish. 
 Qo`yilgan savollarga javob beradilar. 
Nuqtaning tezlanishini topishga doir 
asosiy formulalarni biladilar. 
Masalalar yechish bo`yicha tegishli 
uslubiy tavsiyalardan yaxshi foydalana 
oladilar. 
Nuqta tezlanishining tabiiy 
koordinatalardagi ifodasi haqida 

 
313