Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

MAVZU  7.  
NOMA’LUMLARNI YO’QOTISH. GAUSS METODI 
 
O’quv mashg’ulotida ta’lim texnologiyasi modeli 
 
Vaqt: 80 min.   
Talabalar soni 50 
O’quv 
mashg’ulotining 
shakli va turi 
Axborotli ma’ruza  
Ma’ruza 
rejasi 
/ 
o’quv 
mashg’ulotining 
tuzilishi   
6.  Gauss metodi. 
7.  Bosh elementlar metodi. 
8.  Optimal yo’qotish metodi. 
9.  Determinatni hisoblash. 
5.  Matrisalarning teskarisini topish. 
O’quv 
mashg’uloti 
maqsadi: 
Talabalarda  Gauss  metodi,  Bosh  elementlar 
metodi,  Optimal  yo’qotish  metodi,  Determinatni 
hisoblash, 
Matrisalarning 
teskarisini 
topish 
to’g’risidagi 
bilimlarni 
shakllantirish 
va 
Tenglamalar  sistemasining  taqribiy  yechimlarini 
hisoblash ishlarini bajarishni o’rgatish. 
Pedagogik vazifalar: 
Gauss metodi bilan tanishtirish; 
Bosh elementlar metodi tasnifini 
berish; 
Optimal 
yo’qotish 
metodini 
tushuntirish; 
Determinatni 
hisoblash, 
Matrisalarning 
teskarisini 
topishni o’rgatish 
O’quv faoliyati natijalari: 
Gauss,  Bosh  elementlar,  Optimal  yo’qotish 
metodilarini  qo’llash  algoritmini  tushuntirib 
beradilar  va  hisoblash  formulalarini  aytib 
beradilar; 
Determinatni 
hisoblash, 
Matrisalarning 
teskarisini 
topish 
algoritmini 
tushuntirib 
beradilar  
Ta’lim usullari 
Ma’ruza, aqliy hujum 
Ta’lim shakli 
Jamoaviy 
Ta’lim vositalari 
Ma’ruza 
matni, 
texnika 
vositalari, 
videoproyektor va kompyuter  
Ta’lim 
berish 
sharoiti 
Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona 
Monitoring 
va 
baholash 
Og’zaki so’rov: tezkor-so’rov 
 

 
186
O’quv mashg’ulotining texnologik xaritasi  
 
Ish 
bosqic
hlari 
va 
vaqti 
Faoliyat 
ta’lim beruvchi 
ta’lim 
oluvchilar 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’ulotig
a  kirish  (5 
daq.) 
1.1.  Mavzuning  nomi,  maqsad  va 
kutilayotgan 
natijalarni 
yetkazadi. 
Mashg’ulot rejasi bilan tanishtiradi. 
1.2. 
Mavzu 
bo’yicha 
asosiy 
tushunchalarni;  mustaqil  ishlash  uchun 
adabiyotlar ro’yxatini aytadi. 
1.3. 
O’quv 
mashg’ulotida 
o’quv 
ishlarini  baholash 
mezonlari  bilan 
tanishtiradi 
Tinglaydilar,  yozib 
oladilar. 
 
Aniqlashtiradilar, 
savollar beradilar. 
2-bosqich. 
Asosiy 
( 65 daq.)  
2.1.  Tezkor-so’rov  (savol-javob),  aqliy  hujum 
orqali bilimlarni faollashtiradi. 
2.2. 
Ma’ruza 
mashg’ulotning 
rejasi 
va 
tuzilishiga  muvofiq  ta’lim  jarayonini  tashkil 
etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi 
Yozadilar. 
Javob beradilar 
 
 
3-bosqich. 
 Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu bo’yicha yakunlaydi, qilingan 
ishlarni  kelgusida  kasbiy  faoliyatlarida 
ahamiyatga  ega  ekanligi  muhimligiga 
talabalar e’tiborini qaratadi. 
3.2.  Talabalar  ishini  baholaydilar,  o’quv 
mashg’ulotining 
maqsadga 
erishish 
darajasini tahlil qiladi. 
 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriq beradi 
va 
uning 
baholash 
mezonlarini 
yetkazadi . 
O’z-o’zini, 
o’zaro 
baholashni 
o’tkazadilar. 
Savol beradilar 
Topshiriqni 
yozadilar 
  
Ilova 7.1.  
Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 
 
6.  Chiziqli tenglamalar sistemasini tushuntiring? 
7.  Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi. 
8.  Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi. 
9.   Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi. 
10. Yakobi matrisasi. 
11. Modifikasiyalangan Nyuton metodi. 
12.  Vatarlar metodi. 
13. Chiziqli tenglamalar sistemasini aniq va taqribiy usullari deganda nimani tushunasiz? 
14. Matrisa elementlarini nima ? 
15. Kramer usulini bilasizmi? 
16. Teskari matrisani tushuntiring ? 
17. Teskari matrisa elementlari qanday hisoblanadi ? 
Monitoring va baholash 

 
187
O’tilgan  mavzu  bo’yicha  og’zaki  so’rov,  tezkor  savol  javob  bo’yicha  1-2  ballgacha 
baholanadi 
 Ilova 7.2.  
Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 
 
1.  Chiziqli tenglamalar sistemasini tushuntiring? 
2.  Chiziqli tenglamalar sistemasini aniq va taqribiy usullari deganda nimani tushunasiz? 
3.  Matrisa elementlarini nima ? 
4.  Kramer usulini bilasizmi? 
5.  Teskari matrisa deganda nimani tushunasiz? 
6.  Determinatni va uning qiymati qanday hisoblanadi? 
7.  Teskari matrisani tushuntiring ? 
8.  Teskari matrisa elementlari qanday hisoblanadi ? 
Ilova 7.3. 
Mustaqil ish  topshiriqlari. 
 
1.  Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish usullari (Nyuton, Iterasiya)  
2.   Misol. Iterasiya usuli bilan yechish algoritmini tuzing. 















15
,
2
21
,
1
27
,
1
84
,
0
63
,
0
27
,
1
65
,
0
27
,
1
51
,
1
84
,
0
27
,
1
63
,
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
Taqdimot slaydlari 
 
Gauss  metodi.  Bu  metod  bir  necha  hisoblash  sxemalariga  ega.  Shulardan  biri  Gaussning 
kompakt sxemasini ko’rib chiqamiz. Ushbu sistema berilgan bo’lsin: 
    
 
uchburchak sistemaning koeffisiyentlarini topish Gauss metodining to’g’ri yurishi, sistemani topish 
jarayoni teskari yurishi deyiladi. 
 
Bosh elementlar metodi. 
 
Hisoblash  xatosining  bunday  halokatli  ta’siridan  qutulish  uchun  Gauss  metodi  bosh  elementni 
tanlash  yo’li  bilan  qo’llaniladi.  Buning  Gauss  metodining  kompakt  sxemasidan  farqi  quyidagidan 






















.
,
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
...
,
,
...
1
2
2
1
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
1
2
12
1
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a






















.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
)
1
(
1
2
)
1
(
12
)
1
(
1
,
1
1
)
1
(
,
1
)
1
(
1
,
1
1
)
(
1
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
b
x
b
b
x
x
b
b
x
b
x

 
188
iborat.  Faraz  qilaylik,  noma’lumlarni  yo’qotish  jarayonida  quyidagi  sistemaga  ega  bo’lgan 
bo’laylik: 
 
 
Optimal yo’qotish metodi. 
 
 Bu  metodning  dastlabki  qadamlari  Gauss  metodiga  o’xshashdir.  Yetakchi  element 
  deb 
faraz qilib, (7.1) sistemaning birinchi tenglamasini  
 
            
 
Determinantni hisoblash. 
 
Gauss  metodini  ham,  optimal  yo’qotish  metodini  ham  determinantni  hisoblash  uchun  qo’llash 
mumkin. Quyidagi 
 
matrisaning determinantini topish talab qilinsin. Buning uchun, bir jinsli, chiziqli 
                                                         (7.18) 
sistemani yechishga Gauss metodini qo’llaymiz. Natijada 
 matrisa 
 
uchbuchak matrisaga almashtiriladi, (18) sistema esa unga ekvivalent bo’lgan  
 
sistemaga o’tadi. 
 







































.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
)
(
1
,
)
(
,
1
)
(
1
,
)
(
1
,
1
)
(
,
1
1
)
(
1
,
1
)
2
(
1
,
)
(
1
)
(
1
,
)
1
(
1
,
1
)
1
(
1
3
)
1
(
13
2
)
1
(
12
1
m
n
n
n
m
n
n
m
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
m
m
m
m
n
m
n
m
n
m
m
m
m
m
m
n
n
n
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
0
11

a
)
1
(
1
,
1
)
1
(
1
2
)
1
(
12
1
.
.
.





n
n
n
b
x
b
x
b
x












































.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
1
,
1
1
,
1
1
,
1
,
1
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(
1
,
)
(
1
,
1
)
(
1
1
)
(
1
,
1
1
n
n
n
n
n
k
k
n
n
n
k
n
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
n
k
n
k
k
k
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x















n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
0

x
A
A















1
.
.
.
0
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
1
)
2
(
2
)
2
(
23
)
1
(
1
)
1
(
13
)
1
(
12
n
n
b
b
b
b
b
B
0

x
B

 
189
Matrisalarning teskarisini topish.  
 
Faraz qilaylik, bizga maxsusmas matrisa 
 berilgan bo’lsin. Unga teskari bo’lgan 
 matrisani topish uchun asosiy 
 munosabatdan foydalanamiz, bu yerda 
 birlik 
matrisa, 
  va 
  matrisalarni  o’zaro  ko’paytirsak, 
  ta 
  noma’lumlarga  nisbatan  asosiy 
matrisasi  bir  xil  va  faqat  ozod  hadlari  bilangina  farq  qiladigan 
  ta  tenglamalar  sistemasiga  ega 
bo’lamiz: 
 
 
  
     
                  
 
)
,
1
,
(
n
j
i
a
A
j
i


 
ij
x
A

1
E
AA

1
E
A
1

A
2
n
ij
x
n



















.
1
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
0
.
.
.
1
0
.
.
.
,
0
.
.
.
0
1
.
.
.
2
2
1
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a

 
190
MAVZU  8.   
KVADRAT ILDIZLAR METODI 
 
O’quv mashg’ulotida ta’lim texnologiyasi modeli 
 
Vaqt: 80 min.   
Talabalar soni 50 
O’quv 
mashg’ulotining 
shakli va turi 
Axborotli ma’ruza  
Ma’ruza 
rejasi 
/ 
o’quv 
mashg’ulotining 
tuzilishi   
3.  Kvadrat ildizlar usuli. 
4.  Kvadrat ildizlar usuliga EHMda dastur tuzish 
algoritmi. 
O’quv 
mashg’uloti 
maqsadi: 
Talabalarda  Kvadrat  ildizlar  usuli,  Kvadrat 
ildizlar  usulini  qo’llash  algorimi,  usudga  EHMda 
dastur  tuzish    va  bajarish  to’g’risidagi  bilimlarni 
shakllantirish 
Pedagogik vazifalar: 
Kvadrat  ildizlar  usuli  bilan 
tanishtirish;  
Qo’shma 
matrisa, 
ermit 
matrisasi tasnifini berish; 
simmetrik 
matrisa, 
unitar 
matrisalarni tushuntirish; 
Kvadrat  ildizlar usuliga EHMda 
dastur tuzishni o’rgatish.  
O’quv faoliyati natijalari: 
Gauss metodi aytib beradilar; 
Qo’shma  matrisa,  ermit  matrisasi  haqidagi 
tasniflaydilar; 
Simmetrik  matrisa,  unitar  matrisalarni    tushuntirish; 
aytib beradilar; 
Kvadrat  ildizlar  usulining  EHMda  dastur  tuzish 
usulini ochib beradilar 
Ta’lim usullari 
Ma’ruza, aqliy hujum 
Ta’lim shakli 
Jamoaviy 
Ta’lim vositalari 
Ma’ruza 
matni, 
texnika 
vositalari, 
videoproyektor va kompyuter  
Ta’lim 
berish 
sharoiti 
Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona 
Monitoring 
va 
baholash 
Og’zaki so’rov: tezkor-so’rov 
 
O’quv mashg’ulotining texnologik xaritasi  
 
Ish 
bosqic
hlari 
va 
vaqti 
Faoliyat 
ta’lim beruvchi 
ta’lim 
oluvchilar 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’ulotig
a  kirish  (5 
1.1.  Mavzuning  nomi,  maqsad  va 
kutilayotgan 
natijalarni 
yetkazadi. 
Mashg’ulot rejasi bilan tanishtiradi. 
1.2. 
Mavzu 
bo’yicha 
asosiy 
Tinglaydilar,  yozib 
oladilar. 
 
Aniqlashtiradilar, 

 
191
daq.) 
tushunchalarni;  mustaqil  ishlash  uchun 
adabiyotlar ro’yxatini aytadi. 
1.3. 
O’quv 
mashg’ulotida 
o’quv 
ishlarini  baholash 
mezonlari  bilan 
tanishtiradi 
savollar beradilar. 
2-bosqich. 
Asosiy 
( 65 daq.)  
2.1.  Tezkor-so’rov  (savol-javob),  aqliy  hujum  
(Ilova 1) orqali bilimlarni faollashtiradi. 
2.2. 
Ma’ruza 
mashg’ulotning 
rejasi 
va 
tuzilishiga  muvofiq  ta’lim  jarayonini  tashkil 
etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi 
Yozadilar. 
Javob beradilar 
 
Klasterni 
to’ldiradilar 
3-bosqich. 
 Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu bo’yicha yakunlaydi, qilingan 
ishlarni  kelgusida  kasbiy  faoliyatlarida 
ahamiyatga  ega  ekanligi  muhimligiga 
talabalar e’tiborini qaratadi. 
3.2.  Talabalar  ishini  baholaydilar,  o’quv 
mashg’ulotining 
maqsadga 
erishish 
darajasini tahlil qiladi. 
 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriq beradi 
va 
uning 
baholash 
mezonlarini 
yetkazadi . 
O’z-o’zini, 
o’zaro 
baholashni 
o’tkazadilar. 
Savol beradilar 
Topshiriqni 
yozadilar 
 
Ilova 8.1.  
Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 
 
3.  Matrisa to’g’risida  ma’lumot bering ? 
4.  Uchburchak va dioganal matrisalarni tushintiring ? 
5.  Qo’shma matrisa nima ? 
6.  Ermit matrisasini tushuntiring ?. 
7.  Simmetrik matrisani tushuntiring. 
8.  Unitar matrisani tushuntiring. 
 
Ilova 8.2. 
Mustaqil ish  topshiriqlari. 
 
1.  Xos qiymat va xos vektor va ularni topish usullari. 
2.   Misol. Krilov usulidan foydalanib matrisaning xos son va xos vektorini toping. 












5
,
0
5
,
1
1
5
,
1
2
5
,
0
1
5
,
0
1
 
 
Monitoring va baholash 
O’tilgan  mavzu  bo’yicha  og’zaki  so’rov, tezkor  savol  javob  natijasiga  qarab  1-2  ballgacha 
baholanadi 
 
Taqdimot slaydlari 
 

 
192
Agar A kvadrat matrisa o’zining qo’shmasi 
 bilan ustma-ust tushsa, ya’ni 
 bo’lsa, 
u  Ermit  matrisasi  yoki  o’z-o’ziga  qo’shma  matrisa  deliladi.  Elementlari  haqiqiy  sondan  iborat 
bo’lgan Ermit matrisasi simmetrik matrisa deyiladi. Bu matrisa 
 tenglik bilan aniqlanadi. 
 
bajarilsa, u holda A unitar matrisa deyiladi, bu yerda Ye - birlik matrisa. 
Unitar matrasa quyidagi xossalarga ega: 
 
, 
bu yerda  
 
yuqorida uchburchak matrisa bo’lib, 
 esa 
 elementlari 
 yoki 
 dan iborat bo’lgan 
 
diagonal matrisadir. 
 matrisa elementlarini topish uchun  tenglikdan, matrisalarni ko’paytirish qoidasiga asoslanib, 
 
larga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 
 
 
Bu  yerda 
  lar 
  bilan  o’zaro  qo’shma  kompleks  sonlardir.  sistemada  tenglamalarning  soni 
noma’lumlarning sonidan 
 taga kam. sistemadan 
 lar yagona ravishda topilishi uchun 
 larni 
shunday  tanlab  olamizki, 
  lar  haqiqiy  va  musbat  bo’lsin.  U  vaqtda  (8.3)  sistemaning  ikkinchi 
tenglamasidan 
 bo’lganda 
 
ga  ega  bo’lamiz.  Endi 
  deb  olib 
  uchun 
  ni  hosil  qilamiz.  sistemaning 
birinchi  tenglamasidan 
  bo’lganda 
  kelib  chiqadi.  Shunga  o’xshash 
sistemada 
 bo’lganda avval ikkinchi tenglamadan 
 ni, so’ngra birinchi tenglamadan 
 ni 
topamiz: 
 

A
A
A 

A
A 

E
AA 

1
|
det
|
det
det
det
det
det
2








A
A
A
A
A
AA
DT
T
A















nn
n
n
t
t
t
t
t
t
T
...
0
0
...
...
...
...
...
0
...
2
22
1
12
11
D
ii
d
1

1














nn
d
d
d
D
...
0
0
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
22
11
T
ij
t














)
,...,
2
,
1
(
),
(
|
|
...
|
|
),
(
...
2
11
2
11
1
11
1
n
i
j
i
a
d
t
d
t
j
i
a
t
d
t
t
d
t
ii
ii
ii
ij
ij
ii
ii
j
l
ij
t
ij
t
n
ij
t
ii
d
ii
t
1

i
11
11
2
11
|
|
a
d
t

11
11
a
sign
d 
11
t
|
|
11
11
a
t 
1

i
)
,...,
3
,
2
(
11
11
1
n
j
t
d
a
t
j
ij


2

i
22
t
j
t
2
).
,
3
(
,
|
|
|
|
),
|
|
(
22
22
1
11
12
2
2
11
2
11
22
22
11
2
12
22
22
n
j
t
d
t
d
t
a
t
d
t
a
t
d
t
a
sign
d
j
j
j








 
193
 
Shunday qilib, 
 ning avvalgi  ikkita  satr elementlarini topish uchun  formulalar  chiqardik. 
Shunga  o’xshash, 
  matrisaning  qolgan  elementlarini  ham  topamiz.  Umumiy  holda  hisoblashlar 
quyidagi formulalar yordamida olib boriladi: 
 
Shunday qilib, yoyilma mavjud va formulalar yordamida aniqlanadi. Nihoyat, 
 
sistemani  yechish  uchun  uni 
  yoyilmadan  foydalanib,  quyidagi  ikkita  uchburchak 
matrisali sistemalar shaklida yozib olamiz:  
. 
Bu sistemalarni yoyib yozsak, 
 
Т
T




































).
,
1
(
),
1
(
|
|
|
|
),
|
|
(
,
,
|
|
,
1
1
1
1
2
1
1
2
11
11
1
1
11
11
11
11
n
i
j
t
d
t
d
t
a
t
i
d
t
a
t
d
t
a
sign
d
t
d
a
t
a
t
sign
d
ii
ii
i
s
sj
ss
si
ij
ij
i
s
ss
st
ii
ii
i
s
ss
si
ii
ii
j
j

b
Ax 
DT
T
A


y
x
T
b
y
D
T



,














n
n
nn
nn
n
n
b
y
d
t
y
d
t
y
d
t
b
y
d
t
y
d
t
b
y
d
t
...
.
.
.
.
.
.
,
,
2
22
2
1
11
1
2
2
22
22
1
11
12
1
1
11
11

 
194