Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Mustaqil ishlash uchun savollar 
1.  Hisoblash matematikasining fan sifatida paydo bo’lishi. 
2.  Hisoblash matematikasi vazifasi. 
3.  Hisoblash matematikasi metodi (usuli). 
  
1
R
2
R
2
R
Ax
y 
1
R
2
R
A
A
x
1
R
2
R
А
2
1
, R
R
A
1
R
2
R


2
1
,
R
y
R
x
x
А
y




 
38
2-Ma’ruza 
ILDIZLARNI AJRATISh 
 
Reja: 
1.  Umumiy mulohazalar. 
2.  Algebraik tenglamalarning  haqiqiy ildizlarini ajratish. 
3.  Dikart teoremasi. 
4.  Shturm teoremasi. 
 
Tayanch iboralar: ildizlarning yagonaligi, grafik usul, dastlabki yaqinlashish. 
 
 
 
Umumiy mulohazalar.  Faraz qilaylik, 
                                                           (2.1) 
tenglamani  yechish  talab  qilingan  bo’lsin,  bu  yerda 
  -  algebraik  yoki 
transsendent  funksiya  bo’lishi  mumkin.  Tenglamalarni  taqribiy  yechish  uchun 
qo’llanadigan  ko’p  metodlarda  uning  ildizlari  ajratilgan,  ya’ni  unday  yetarli  kichik 
atrofchalar  topilganki,  bu  atrofchalarda  tenglamaning  bittagina  ildii  joylashadi  deb 
faraz qilinadi. 
 
Bu atrofning biror nuqtasini dastlabki yaqinlashish sifatida qabul qilib, mazkur 
metodlar yordamida izlanayotgan yechimni berilgan aniqlik bilan hisoblash mumkin. 
Demak,  (2.1)  tenglamaning  ildizlarini  taqribiy  hisoblash  ikki  qismdan  iborat:  1) 
ildizlarni  ajratish  va  2)  dastlabki  yaqinlashish  ma’lum  bo’lsa,    ildizlarni  berilgan  
aniqlik bilan hisoblash. 
 
Masalaning  birinchi  qismi  ikkinchisiga  nisbattan  ancha  murakkabdir.  Chunki, 
umumiy holda ildizlarni ajratish uchun effektiv metodlar mavjud emas. Xususan, bir 
necha  noma’lumli 
 
Tenglamalar  sistemasi  uchun  ildizlarni  ajratish  masalasi  katta  qiyinchiliklar 
bilan bog’likdir. 
Matematik  analizdan  ma’lum  bo’lgan  quyidagi  teoremalar  (2.1)  tenglamaning 
ildizlari yotgan oraliqlarni ajratishga yordam qiladi.  
 
1-teorema. Agar uzluksiz (x) funksiya biror [a,b] oraliqning chetki
 
nuqtalarida  har  xil  ishorali  qiymatlarni  qabul  qilsa,  u  vaqtda  bu  oraliqda  (1.1) 
tenglamaning  hyech  bo’lmaganda  bitta  ildizi  mavjuddir.  Agar,  shu  bilan  birga 
birinchi  tartibli  hosila 
  mavjud  bo’lib,  u  o’z  ishorasini  shu  oraliqda  saqlasa,  u 
vaqtda bu oraliqda ildiz yagonadir. 
 
 
0
)
(

x
f
)
(x
f




n
k
x
x
x
f
n
k
,....,
2
,
1
0
,....,
,
2
1


)
(x
f 

 
39
 
1- shizma 
 
 
2-teorema.  (x)  funksiya  [a,  b]  oraliqda  analitik  funksiya  bo’lsin.  Agar  [a,  b] 
oraliqning  chetki  nuqtalarida  (x)  har  xil  ishorali  qiymatlarini  qabul  qilsa,  u  vaqtda 
(1.1) tenglamaning   va   nuqtalar orasida yotadigan ildizlarning soni toqdir.  
Agar 
  funksiya  [a,  b]  oraliqning  chetki  nuqtalarida    bir  xil    ishorali  
qiymatlarni  qabul  qilsa,  u  vaqtda  (2.1)  tenglamalarning    ildizlari  yo 
  oraliqda  
yotmaydi yoki ularning soni juftdir  (karraligini  hisobga olgan holda). 
 
Ko’pincha  (1.1)  tenglamaning  haqiqiy  ildizlarini  ajratishga  grafik    usuli  katta 
yordam  beradi.    Buning  uchun 
  funksiyaning  grafigini    taqribiy  ravishda 
chizib,  bu  grafikning 
  o’qi  bilan  kesishgan      nuqtalarining  abssissalari    ildizning 
taqribiy qiymatlari  deb olinadi (1-chizma). 
 
Agar  (1.1)  tenglamaning  ildizlari  bir-biriga  yaqin  joylashgan  bo’lmasa,  u 
vaqtda bu usul  bilan uning  ildizlari  osongina   ajratiladi. 
 
Agar   
  ning  ko’rinishi  murakkab  bo’lib,  uning  grafigini  chizish  qiyin 
bo’lsa,  u  vaqtda    grafik  usulini    boshqacha  tarzda    qo’llash  kerak,  ya’ni  (1.1) 
tenglama unga teng kuchli bo’lgan tenglama  
                                 (2.2) 
ko’rinishda  yozib  olinadi.    Endi 
  va 
  funksiyalarning      grafiklarini 
chizsak,  bu  grafiklarning  kesishish  nuqtalarining      abssissalari  taqribiy  ildizlardan 
iborat bo’ladi.  
 
Misol.  Grafik usuli bilan  
 
tenglamaning  ildizi takribiy  topilsin.  
Yechish.  Bu  tenglamani 
  ko’rinishda  yozib  olamiz. 
  egri 
chiziqning va 
 tug’ri chiziqning grafiklarini chizib 2-chizmadan ko’ramizki, 
ularning kesishish nuqtasining abssissasi 
 ekan. 
 
 
 
a
b
)
(x
f
]
,
[
b
a
)
(x
f
y 
x
0
)
( x
f
)
(
)
(
x
x



)
(x
y


)
(x
y


0
1
2
)
1
2
(



x
x
x
x



2
1
2
x
y

 2
1
2 
 х
y
7
,
0



 
40
 
2- shizma  
 
 
Agar  
  yoki 
  chiziqli  funksiya,  masalan 
  bo’lsa,  u  vaqtda 
(1.2)  tenglamachining  ildizlarini  ajratish  soddalashadi.  Faqat             
  va 
 
koeffisentlari  bilan  farq  qiladigan  bir  xil  tipdagi  bir  nechta    tenglamalarning 
ildizlarini  ajratish  uchun  grafik  usuli  qulaydir.  Chunki  bu  yerda  ildizlarni  ajratish 
(ildizlarni taqribiy topish) bitta tayin 
 funksiya grafigi bilan har xil 
 
to’g’ri  chiziqlar  kesishish  nuktalarining  abssissalarini  topishdan  iboratdir.    Bu  tipga 
 ko’rinishdagi  tenglamalar misol bo’la oladi.  
Masalan, 
  va 
  tenglamalar  ildizlari-ning    takribiy 
kiymatlari    topilsin.  Buni  yechish  uchun 
 
kubik    parabolani  chizamiz.  So’ngra  
    va 
  to’g’ri    chiziqlarning  parabola  bilan  kesishish 
nuqtalarining abssissalarini topa-miz. 
 
3-chizmada  ko’rinib  turibdiki,    birinchi  tenglama    fakat  bitta 
  xakikiy  
ildizga  ega bulib,  ikkinchi tenglama esa  uchta  
, 
, 
    xakikiy 
ildizlarga  egadir. Agar  
   tenglamaning  kompleks  ildizlarini   topish kerak 
bulsa,  
   deb olib,  bu tenglamani 
 
kurinishda  yozib    olamiz,  bu  yerda   
  va 
    xakikiy    x  va  u   
uzgaruvchilarning    xakikiy  funksiyalari.      Bu  tenglama  esa  kuyidagi  ikkita 
tenglamalar 
 
sistemasiga  teng  kuchlidir.  Endi 
  egri  chiziklarni    chizib, 
ularning  kesishgan    nuktalarini  topamiz.    Kesishish  nuktalarining    abssissasi  va 
ordinatalari 
  tenglama  yechimlarining  mos  ravishda  haqiqiy  va    mavhum  
qismlarini beradi. 
  
)
( x

)
(x

b
ax
x


)
(

a
b
)
(x
y


b
aх
y


0



b
ax
x
n
0
2
,
1
2
3


 x
x
0
1
,
0
2
,
1
3



x
x
3
x
y 
2
,
1
2 


x
y
1
,
0
2
,
1


x
y
6
,
0


1
,
1



1
,
0


1


 
0

z
f
y
i
x
z






0
,
,
2
1


y
x
f
i
y
x
f


y
x
f
,
1


y
x
f
,
2




0
,
,
0
,
2
1


y
x
f
y
x
f




0
,
,
0
,
2
1


y
x
f
y
x
f
 
0

z
f

 
41
 
 
 
3- shizma 
 
 
Algebraik tenglamalarning  haqiqiy ildizlarini ajratish. 
 
Algebraik   
  
 
(2.3)  
tenglamaning    ildizlarini  ajratish  masalasi  yaxshi  o’rganilgan  va  ancha  osondir. 
Quyidagi  teoremalarning  birinchisi  boshqalariga  nisbattan    umumiyroqdir,  chunki  u 
kompleks  ildizlarining  ham  chegaralarini  beradi.  Biz  har  doim  (1.3)  tenglamada 
koeffisentlar haqiqiy va 
 deb olamiz. 
1-teorema.        Agar     
  bo’lsa,  u  holda  (2.3) 
tenglamaning barcha ildizlari 
 halqa ichida yotadi. (4- chizma). 
 
Isbot. Faraz qilaylik, 
 bo’lsin.  Modulning xossalariga ko’ra  
 
 
Agar biz bu yerda 
 deb olsak, u holda 
 tengsizlik kelib 
chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, x ning bu qiymatlarida 
  ko’phad nolga 
aylanmaydi, ya’ni (1.3) tenglama ildizga ega bo’lmaydi. Shu bilan teoremaning yarmi 
isbot bo’ldi. 
 
0
......
1
1
1
0








n
n
n
n
a
x
a
x
a
x
a
x
f
0
,
0
0


n
a
a
n
k
n
k
k
n
k
a
a
A
a
a
A
1
1
1
0
1
max
,
max







R
A
x
A
r






1
1
1
1
1
|
|

x
.
1
|
|
1
|
|
|
|
1
|
|
1
|
|
|
|
1
...
|
|
1
1
...
1
|
)
(
|
0
0
2
0
0
0
1
0










































x
A
x
x
a
x
A
x
a
x
x
A
x
a
x
a
a
x
a
a
x
a
x
f
n
n
n
n
n
n
n
A
x

 1
|
|
0
|
)
(
|

x
f
)
( x
f

 
42
 
 
  
4- shizma 
 
Teoremaning  ikkinchi  yarmini    isbotlash  uchun   
  deb  olib, 
    ga  ega 
bo’lamiz,  bu  yerda 
.  Teoremaning  isbot  qilingan  qismiga 
ko’ra 
 ko’phadning 
 ildizlari (nollari).  
 
Tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan esa  
 
kelib chikadi.  
E s l a t m a: Bu teoremadagi   va 
 sonlar (2.3) tenglama musbat ildizlarning 
quyi  va  yuqori  chegaralari  bo’ladi.  Shunga  o’xshash 
    va 
    sonlar  manfiy 
ildizlarning  mos  ravishda  quyi  va  yuqori  chegarasi  bo’ladi.  Ildizlarning  chegaralari 
uchun  bu  teoremadagi  baho  ancha  qo’poldir.  Quyidagi  teoremalar  bunga  nisbattan 
ancha yaxshiroq baholarni beradi.  
2-teorema. 
(Lagranj 
teoremasi). 
Agar 
(2.3) 
tenglamaning 
manfiy 
koeffisentlaridan eng  birinchisi  (chapdan  o’ng  tomon  hisoblaganda) 
  bo’lib, 
 
manfiy  koeffisentlarning  absolyut  qiymatlari  bo’yicha  eng  kattasi  bo’lsa,  u  holda 
musbat ildizlarning yuqori chegarasi 
                                     (2.4) 
son bilan ifodalanadi. 
y
x
1

n
y
x
f
1
)
(

0
1
1
...
)
(
a
y
a
y
a
y
g
n
n
n
n






)
( y
g
k
n
x
y
1

1
1
|
|
1
|
|
A
x
y
k
k



1
1
1
|
|
A
x
k


r
R
R

r

R


h
B
R
0
1




 
43
 
Isbot.  Bu  yerda  ham 
  deb  olamiz.  Agar 
  ko’phadda  manfiy 
bo’lmagan    barcha 
  koefisentlarini  esa    - 
  manfiy  son  bilan 
almashtirsak,  ko’phadning qiymati faqat kamayishi mumkin, shuning uchun ham  
 
tengsizlika ega bo’lamiz. Bundan esa 
1 bo’lganda  
 
kelib chiqadi. Demak,    
 
bo’lganda 
  ga  ega  bo’lamiz,  ya’ni  (2.3)  tenglamaning  barcha 
  musbat  
ildizlari 
 tengsizlikni qanoatlantirar ekan.  
 
3-teorema.  (Nyuton  teoremasi).  Agar 
  uchun 
  ko’phad  va  uning 
barcha 
 xosilalari nomanfiy bo’lsa: 
, u 
holda 
  ni  (2.3)  tenglamaning  musbat    ildizlari  uchun    yuqori  chegara  deb 
hisoblash mumkin. 
 
Isbot. Teylor formulasiga ko’ra  
. 
Teorema  shartiga  ko’ra 
  bo’lganda  bu  tenglikning  o’ng  tomoni      musbatdir. 
Demak,  (2.3)  tenglamalarning  barcha 
  musbat  ildizlari 
    tengsizlikni 
qanoatlantiradi. 
 
Bu  teoremalar  faqat  musbat  ildizlarning  yuqori  chegarasini  aniqlaydi. 
Quyidagi: 
 
ko’phadlarga  yuqoridagi  teoremalarni  qo’llab, 
  musbat 
ildizlarning  yuqori  chegaralari 
  va 
  larni  mos  ravishda  topgan  bo’lsak,  u 
vaqtda  (2.3)  tenglamaning  hamma 
  musbat  ildizlari 
  va  xamma 
 
manfiy ildizlari esa 
 tengsizliklarni  kanoatlantirar ekan. 
 
 Quyidagi  misolda  biz  yuqorida  keltirilgan  metodlarni  qo’llab  ularning 
natijalarini solishtiramiz.  
 
M i s o l. Quyidagi tenglama haqiqiy ildizlarning chegarasi topilsin: 
                             (2.5) 
1

х
)
(x
f
1
2
1
,...,
,

k



B


1
1
1
...
)
(
1
0
1
0














x
x
B
x
a
x
x
B
x
a
x
f
k
n
n
k
n
k
n
n

x




B
x
a
x
x
B
x
x
a
x
x
x
x
B
x
a
x
f
k
k
n
k
k
n
k
n
n



















)
1
(
1
)
1
(
1
1
1
)
(
0
1
1
0
1
1
0
R
a
B
x
k



0
1
0
)
(

x
f

x
R
x 

0

 c
х
)
(x
f
)
(
,
.
.
.
),
(
),
(
)
(
x
f
x
f
x
f
n


)
,
.
.
.
,
1
,
0
(
0
)
(
)
(
n
k
c
f
k


c
R 
n
n
c
x
n
c
f
c
x
c
f
c
f
x
f
)
(
!
)
(
.
.
.
)
)(
(
)
(
)
(
)
(







c
x 

x
R
x 

0
1
1
3
0
1
1
1
2
2
2
1
1
0
1
)
1
(
.
.
.
1
)
(
)
(
,
.
.
.
1
)
(
,
)
1
(
.
.
.
)
(
)
1
(
)
(
a
x
a
x
a
x
f
x
x
f
a
x
a
x
a
x
a
x
f
x
x
f
a
x
a
x
a
x
a
x
f
x
f
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n









































)
(
),
(
),
(
),
(
3
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
2
1
0
,
,
R
R
R
3
R

x
R
x
R



2
1

x
3
1
1
R
x
R





0
8
8
5
)
(
2
4





x
x
x
x
f

 
44
2-teoremani  qo’llaymiz,  bu  yerda 
.  Demak 
,  ya’ni  (2.5) 
tenglamaning ildizlari (-9; 9) oralikda yotar ekan. 
 
Endi  Lagranj teoremasini qo’llaymiz: 
. Bu qiymatlarni (1.4) 
formulaga qo’yib,  musbat ildizlarning  yuqori chegarasi uchun 
 
ni hosil qilamiz. Keyin (1.5)  tenglamada   ni 
 ga almashtirsak, 
                           (2.6) 
tenglama  kelib  chiqadi.  Bu  tenglama    musbat  ildizlarning  yuqori  chegarasi    uchun 
ham 
  tengsizlik  kelib  chiqadi.    Ya’ni  Lagranj    teoremasiga  ko’ra  (2.5) 
tenglamaning ildizlari (-3, 84; 3,84) oraliqda joylashgan ekan.  
 
Nyuton  metodini qullaylik.  Bu  yerda 
, 
, 
, 
, 
 
ko’rinib 
turibdiki 
 
uchun 
  va 
.  Osongina  payqash  mumkinki, 
,  
bo’lsa 
  ham  faqat  musbat  qiymat  qabul  qiladi,  ya’ni   
  musbat  ildizlarining 
yuqori  chegarasi  ekan.  Xudi  shuningdek, 
  tenglama  musbat  ildizlarning 
yuqoroi chegarasi 
 ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Demak, (2.5) tenglamaning 
ildizlari (-3; 2) oraliqda yotar ekan.  
Har  uchula  metod  natijalarini    solishtirsak,  Nyuton  metodi  garchi  ko’proq 
mehnat talab qilsada, ildizlar chegaralari uchun yaxshiroq natija berishi ko’rinadi.  
Endi oliy algebradan  ma’lum bulgan  ikita teoremani  isbotsiz keltiramiz.