Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

 
Dikart  teoremasi.  (2.3)  tenglama  koefisentlaridan  tuzilgan  sistemada  ishora 
almashtirishlar  soni  qancha  bo’lsa  (sanashda  nolga  teng  koeffisentlarga  e’tibor 
qilmaymiz),  tenglamaning  shuncha  musbat  ildizi  mavjud  yoki  musbat  ildizlar  soni 
ishora almashtirishlar sonidan juft  songa kamdir. 
 
Faraz  qilaylik,  (2.3)  tenglama  karrali  ildizga  ega  bo’lmasin.  Biz 
  orqali 
  hosilani, 
  orqali 
  ni 
  ga  bo’lganda  hosil  bo’lgan  qoldiqning 
teskari ishora bilan olinganini, 
 orqali 
 ni  
 ga bo’lganda hosil bo’lgan 
qoldiqning  teskari  ishora  bilan    olinganini,  va    h.k.  belgilaymiz  va  bu  jarayonni 
qoldiqda  o’zgarmas  son  hosil  bo’lguncha  davom  ettiramiz.  Natijada    Shturm  qatori 
deb ataluvchi  
 
funksiyalar ketma-ketligiga ega bulamiz. 
 
Shturm teoremasi. 
 ko’phadning ildizlaridan farqli   va 
 sonlarni 
olib,   ni   dan   gacha  o’zgartirganda 
 uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta 
ishora    almashinishlar  yo’qolsa, 
  ning 
  oraliqda  xuddi  shunday  xaqiqiy 
ildizlari mavjud bo’ladi. 
Shturm  teoremasi  ildizlarni  ajratish  masalasini  to’la  hal  qiladi,  lekin  Shturm 
qatorini tuzish balan bog’liq bo’lgan hisoblashlar ko’p vaqt talab qiladi.  
8
,
1
0


A
a
9
8
1



R
8
,
2
,
1
0



B
k
a
84
,
3
2
2
1
1
8
1





R
x
x

0
8
8
5
)
(
2
4
1





x
x
x
x
f
84
,
3

R
8
8
5
)
(
2
4




x
x
x
x
f
8
10
4
)
(
3




x
x
x
f
10
12
)
(
2



x
x
f
x
x
f
24
)
(



0
)
(

x
f
IV
2

x
0
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(






x
f
x
f
x
f
IV
0
)
(

 x
f
2

x
)
( x
f
2

c
0
)
(
1

x
f
3

c
)
(
1
x
f
)
(x
f 
)
(
2
x
f
)
( x
f
)
(
1
x
f
)
(
3
x
f
)
(
1
x
f
)
(
2
x
f
)
(
,
.
.
.
),
(
),
(
),
(
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
k
)
(x
f
a
)
(
b
a
b

x
a
b
)
(x
f
)
( x
f
)
,
( b
a

 
45
Shturm  teoremasining  qo’llanishi  quyidagichadir.  Avval  (2.3)  tenglamaning  
barcha  ildizlari  yotgan  oraliqning  chegaralari  aniqlanadi.  Topilgan 
  oraliq 
j 
nuqtalar  bilan  kichik  oraliqchalarga  bo’linadi.  Shturm  teoremasi  yordamida 
tenglamaning 
  oraliqdagi  ildizlarining    soni  aniqlanadi.  Agar  bu  oraliqlar 
ildizlarning soni bittadan ko’p bo’lsa,  oraliq  ikkiga bulinadi  va xar bir oraliq  uchun 
Shturm teoremasi  qo’llaniladi.  Bu jarayonni shu paytgacha davom ettiramizki, toki 
xar  bir  oraliqchalardagi    ildizlar  soni  bittadan  ortmasin.  Shuni  ham  eslatib  o’tish 
kerakki,  Shturm  qatoridagi 
  funksiyalarni  musbat  sonlarga  kupaytirish  yoki 
bo’lish mumkin, bundan ishora almashtirishlar soni o’zgarmaydi. 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
1.  Dastlabki yaqinlashishni topish. 
2.  Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 
  
 
]
,
[ b
a

]
,
[
1

i
i


)
(x
f
i

 
46
3-ma’ruza 
 
TENGLAMALARNI YeChIShDA ITERASIYa METODI 
 
Reja: 
1.  Oddiy iterasiya metodi. 
2.  Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning bir usuli. 
3.  Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri. 
 
Tayanch  iboralar:  iterasiya,  boshlang’ich  yaqinlashish,  iterasiyaning 
geometrik ma’nosi, hisoblash xatosi.  
 
Oddiy  iterasiya  metodi.  Biz  hozir  oddiy  iterasiya  (yoki  ketma-ket 
yaqinlashish)  metodi  bilan  bitta  sonli  tenglama  misolida  tanishamiz.  Bu  metodning 
umumiy  nazariyasn  bilan  keyingi  paragrafda  tanishib  chiqamiz.  Iterasiya  metodini 
qo’llash uchun 
 tenglama unga teng kuchli bo’lgan quyidagi 
                                                        (3.1) 
kanonik  shaklga  keltnrilgan  va  ildizlari  ajratilgan  bulishi  kerak.  (3.1)  tenglamaning 
ildizi yotgan atrofiing biror 
 nuqtasini izlanayotgan ildizning nolinchi yaqinlashishi 
deb olamiz. Navbatdagi yakinlashishini topish uchun (3.1) ning o’ng tomoniga 
 ni 
qo’yamiz va hosil bo’lgan 
 qiymatini   bilan bolg’ilaymiz, ya’ni 
.                                                      (3.2) 
Topilgan 
  sonni  (3.1)  ning  o’ng  tomoniga  qo’yib,  yangi  son 
  ni  hosil 
qilamiz.  Bu  jarayonni  davom  ettirib,  f-yaqinlashish  x
p
  ni  (p-1)-  yaqinlashish  x
p-1
  
yordamida topamiz: 
.                                              (3.3) 
Bu formula yordamida topilgan sonlar ketma-ketgilining limiti ya’ni 
                                                       (3.4) 
mavjud va 
 funksiya uzluksiz bo’lsa, (3.3) tenglikning ikkala tomonida limitga 
o’tib,  
, 
ya’ni 
 
ga  ega  bo’lamiz.  Bu  tenglikdan  ko’rinadlik, 
  berilgan  tenglamaning  ildizi  ekan. 
Demak, bu ildizni (3.3) formula yordamida istgalgan aniqlik bilan hisoblash mumkin, 
(3.4)  limit  mavjud  bo’lgan  holda  iterasiya  jarayoni  yaqinlashuvchi  deyiladi.  Lekin 
  mavjud  bo’lmasligi  ham  mumkin,  bunday  holda  oddiy  iterasiya  usuli 
maqsadga muvofiq bo’lmaydi. 
0
)
(

x
f
)
( x
x


0
x
0
x
)
(
0
x

1
x
)
(
0
1
x
x


1
x
)
(
1
2
x
x


)
.
.
.
,
2
,
1
(
)
(
1



n
x
х
n
n





n
n
x
lim
)
( x

)
(
)
lim
(
)
(
lim
lim
1
















n
n
n
n
n
n
x
x
x
)
(





n
n
x


lim

 
47
Iterasiya metodi sodda geometrik ma’noga ega. Buni tushunish uchun 
 
va 
  funksiyalarning  grafiklarini  chizamiz.  Bu  grafiklarning  kesishgan  M 
nuktasining abssissasi (3.1) tenglamaning 
 ildizldir. 
 
 
5-chizma   
  
Faraz  qilaylik,  x
0
  nolinchi  yaqinlishish  bo’lsin,  u  vaqtda 
  nuqta 
  egri  chiziqda  yotadi.  Bu  nuqtadan  gornzontal  (ox  o’qiga  parallel)  chiziq 
o’tkazamiz.  Bu  chiziq  u=x  bissektrisani 
  nuqtada  kesadi. 
  ni 
 
bilan  belgilab  olsak, 
  nuqtaning  koordinatalari 
  ko’rinishga  ega  bo’ladi. 
 
nuqta  orqali  ou  o’qqa  parallel  to’g’ri  chiziq  o’tkazsak,  u 
  egri  chiziqni 
  nuqtada  kesadi.  Bu  jarayonni  davom  ettirib, 
  bissektrisada  yotgan 
  (bu  yerda 
)  so’ng 
  egri  chiziq  ustida 
  nuqtaga 
ega bo’lamiz va h.k.
 
 
6-chizma 
)
( x
y


x
y 


x
))
(
,
(
0
0
0
x
x
A

)
( x
y


))
(
),
(
(
0
0
1
x
x
B


)
(
0
x

1
x
1
B
)
,
(
1
1
x
x
1
B
)
( x
y


))
(
,
(
1
1
1
x
x
A

x
y 
)
,
(
2
2
2
x
x
B
)
(
1
2
x
х


)
( x
y


))
(
,
(
2
2
2
x
x
A


 
48
Agar  iterasiya  jarayoni  yaqinlashsa,  u  vaqtda 
  nuqtalar 
izlanayotgan M nuqtaga yaqinlashadi. 
 nuqtalarning 
 abssissalari 
  ga,  ya’ni  (3.1)  tenglamaning  ildiziga  yaqinlashadi.  Shunday  qilib,  iterasiya 
metodining  geometrik  ma’nosi  quyidagidan  iborat: 
  egri  chiziq  bilan 
koordinatalar  burchagi  bissektrisaning  kesishish  nuqtasiga  siniq  chiziq  bo’ylab 
harakat qilamiz, siniq chiziqning uchlari navbat bilan egri chiziq va bissektrisa ustida 
yotadi, tomonlari esa navbat bilan gornzontal va vertikal yo’nalgan bo’ladi. Agar egri 
chiziq  va  bissektrisa  5-chizmadagidek  joylashgan  bo’lsa,  u  vaqtda  siniq  chiziq 
zinapoyani  eslatadi.  Agar  egri  chiziq  va  bissektrisa  6-  chizmadagidek  bo’lsa,  unda 
siniq chiziq spiralni eslatadi. 
 
7-chizma
 
  
  
Iterasion  jarayon  uzoqlashishi  ham  mumkin.  Buning  geometrik  ma’nosi 
shundan  iboratki,  zinapoyaning  pog’onalari  (yoki  spiralning  bug’inlari)  borgan  sari 
kattalashadi,  shuning  uchun  ham 
  nuqtalar  M  ga  yaqinlashmaydi,  balki 
uzoqlashadi (7-8-chizmalar). 
Modomiki,  iterasiya  jarayoni  har  doim  yaqinlashavermas  ekan,  demak,  bu 
jarayon  yaqinlashishi  uchun  qanday  shartlar  bajarilishi  kerakligini    aniqlash  kata 
ahamiyatga ega. Bu shartlar Ushbu teoremada ko’rsatiladi.
 
 
I-  teorema.  Faraz  qilaylik,   
  funksiya  va  dastlabki  yaqinlashish 
 
quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:  
1)  
 funksiya 
                                                           (3.5) 
oraliqda  aiqlangan  bo’lib,  bu  oraliqdan  olingan  ixtiyoriy  ikkita 
  va 
  nuqtalar 
uchun 
 Lipshis shartini qanoatlatirsin: 
;                                             (3.6) 
,...
,...,
,
1
0
n
A
A
A
,...
,
,
2
1
0
A
A
A
,...
,
,
2
1
0
x
x
x

)
( x
y


,...
,
,
2
1
0
A
A
A
)
( x

0
х
)
( х




0
x
x
x
y
)
( x

)
1
0
(
|
)
(
)
(
|





q
y
x
q
y
x



 
49
2) quyidagi tengsizliklar bajarilsin: 
.                                                   (3.7) 
U holda (3.1) tenglama (3.5) oraliqda yagona   ildizga ega bo’lib, 
 ketma-ketlik 
bu yechimga intiladi va intilish tezligi 
                                                         (3.8) 
tengsizlik bilan aniqlanadi. 
 
 
 
8-chizma
 
  
  
Isbot.  Avval  induksiya  metodnni  qo’llab,  ixtiyoriy  p  uchun 
  ni  ko’rish 
mumkinligini, 
 ning (3.5) oraliqda yotishligi va 
                                                         (3.9) 
tengsizlikning bajarilishini ko’rsatamaz. 
Agar  p  =  0  bo’lsa, 
  bo’lgani  uchun  (3.9)  tengsizlik  (3.7)  dan  kelib 
chiqadi. 
Bundan tashqari, 
 bo’lgani uchun 
 tengsizlik bajarilib, 
 
(3.5)  oraliqda  yotadi.  Endi  faraz  qilaylik, 
  lar  qurilgan  bo’lib,  ular  (3.5)   
oraliqda yotsish va 
 
tengsizliklar  bajarilsin.  Induksiya  shartiga  ko’ra 
  (3.5)  da  yotadi, 
  (3.5)  da 
aniqlangan,  shuning  uchun  ham 
  ni  ko’rish  mumkin.  Teoremaning  1-
shartidan 








q
x
х
n
1
,
|
)
(
|
0

}
{
n
x
n
n
q
q
x



1
|
|


n
x
n
x
n
n
n
q
x
x




|
|
1
)
(
0
1
x
х








q
1



|
|
0
1
x
х
1
x
n
x
x
x
,...,
,
2
1
)
1
,...,
1
,
0
(
|
|
1





n
k
q
x
x
k
k
k

n
x
)
(x

)
(
1
n
n
x
x




 
50
 
kelib chiqadi. Lekin 
 va 
 uchun induksiya shartiga ko’ra 
 o’rinli, 
demak, 
.  Bu  esa 
  va 
  uchun  (3.9)  tengsizlikning  bajarilshini 
ko’rsatadi. Nihoyat, 
 
munosabatlar 
  ning  (3.5)  oraliqda  yotishini  ko’rsatadi.  Shu  bilan  isbot  qilinishi 
talab etilgan mulohaza tasdiqlanadi. 
Endi 
  ning  fundamental  ketma-ketlik  tashkil  etishini  ko’rsatamiz.  (3.9) 
tengsizlikka ko’ra ixtiyriy   natural son uchun 
 
yoki  
.                                                   (3.10) 
Bu  tengsizlikning  o’ng  tomoni 
  ga  bog’liq  bo’lmaganligi  va 
  bo’lganidan 
  ketma-ketlikning  fundamentalliga  va  uning  limiti 
  mavjudligi  kelib 
chiqadi. 
  ketma-ketlik  (3.5)  oraliqda  yotgani  uchun  ham  shu  oraliqda  yotadi. 
(3.6) shartdan 
  ning  uzluksizligi kelib chshqadi, shuning  uchun  ham 
 
tenglikda limitga o’tib,   (3.1) tenglamaning ildizi ekanligini isbot qilamiz. 
Endi 
  ildizning  (3.5)  oraliqda  yagonaligini  isbotlaymiz.  Faraz  qilaylik, 
 
(3.1)  tenglamaning  (3.5)  oraliqdagi  boshqa  biror  ildizi  bo’lsin, 
  ekanini 
ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, (3.6) ga ko’ra 
, 
 bo’lgani uchun bu munosabat faqat 
 bo’lgandagina bajariladi. 
Yaqinlashish  tezligini  ko’rsatuvchi  (3.8)  tengsizlikni  keltirib  chiqarish  uchun 
(3.10) tengsizlikda 
 limitga o’tish kifoyadir. Teorema isbot bo’ldi. 
Izoh.  Odatda,  iterasiya  metodini  qo’llayotganda  ikkita 
  va 
  ketma-ket 
yaqinlashishlar  berilgan  aniqlik  bilan  ustma-ust  tushsa,  shu  aniqlik  bilan 
  deb 
olinadi. Umuman olganda, buf ikr noto’g’ri. Masalan, 
 tenglamani qaraylik. 
Bu yerda 
. Dastlabki yaqinlashish 
 ni 1 ga teng deb olib, bu 
tenglamani  iterasiya  metodi  bilan  yechamiz.  U  holda 
  va 
 
bo’ladi, bu tenglamaning aniq ildizi 
 esa   dan 
 ga farq qiladi. 
Yuqrida  atilgan  fikrni  faqat 
  bo’lib, 
  birdan  aniq  kichik 
bo’lgandagina  qo’llash  mumkin.  Buning  to’g’riligini 
  bo’lganda  quyidagicha 
1
1
1
|
)
(
)
(
|
|
|








n
n
n
n
n
n
x
x
q
x
x
x
x


1

n
x
n
x
1
1
|
|




n
n
n
q
x
x

n
n
n
q
x
x




|
|
1
1

n
x
n
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
q
q
q
q
q
q
x
x
x
x
x
x
x
x























1
1
1
.
.
.
|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
1
1
0
1
1
1
0
1





1

n
x
}
{
n
x
p
n
n
p
n
n
n
n
p
n
n
p
n
q
q
q
q
x
x
x
x
x
х
















1
.
.
.
|
|
.
.
.
|
|
|
|
1
1



n
n
p
n
q
q
x
x




1
|
|

p
1
0

 q
}
{
n
x
n
n
x


 lim

}
{
n
x
)
( x

)
(
1
n
n
x
x






~

~
|
~
|
|
)
(
)
~
(
|
|
~
|













q
1
0

 q



~


p
1

n
x
n
x
n
x


x
x
999
,
0

999
,
0
,
999
,
0
)
(


q
x
x

0
x
999
,
0
1

x
001
,
0
1
0

 x
x
0


1
x
999
,
0
q
x


|
)
(
|

q
2
1

q

 
51
ko’rsatish  mumkin.  Buning  uchun 
  deb  olamiz,  u  holda 
  va 
 bo’ladi. Shuning uchun ham  
 
demak 
 
va (3.6) ga ko’ra 
. 
Bu tengsizliklardan esa 
. 
Hosil bo’ladi. Agar, xususiy holda, 
 deb olsak, 
 
Bo’ladi, ya’ni bu holda 
 dan 
 kelib chiqadi.