Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Determinantni  hisoblash.  Gauss  metodini  ham,  optimal  yo’qotish  metodini 
ham determinantni hisoblash uchun qo’llash mumkin. Quyidagi 
 
matrisaning determinantini topish talab qilinsin. Buning uchun, bir jinsli, chiziqli 
                                                         (7.18) 
sistemani yechishga Gauss metodini qo’llaymiz. Natijada   matrisa 
 
uchbuchak matrisaga almashtiriladi, (18) sistema esa unga ekvivalent bo’lgan  
 
sistemaga o’tadi. 
 
Agar  diqqat  qilinsa, 
  matrisaning  elementlari 
  matrisa  va  keyingi 
yordamchi 
  matrisalardan  quyidagi  ikkita  elementar  alamashtirishlar 
natijasida hosil bo’lgan: 
1)  noldan farqli deb faraz qilingan 
 yetakchi elementlarga bo’lish; 
2) 
  matrisa  yordamchi 
  larning  satrlaridan  mos  ravishdagi 
yetakchi satrlarga proporsional bo’lgan satrlarni ayirish. 
Birinchi  almashtirish  natijasida  matrisaning  determinanti  ham  mos  ravishdagi 
yetakchi  elementga  bo’linadi,  ikkinchi  almaщtirish  esa  determinantni  o’zgarishsiz 
qoldiradi. Shuning uchun ham 
 
bu yerda esa 
                                                   (7.19) 
81556
,
1
29611
,
0
4
3


x
x
3
x








73343
,
0
31664
,
0
39322
,
1
59811
,
0
4
2
4
1
x
x
x
x
3
2
1
,
,
x
x
x
67564
,
1
11872
,
1
4

х
99922
,
0
;
99999
,
1
;
00019
,
3
;
00065
,
4
1
2
3
4




x
x
x
x















n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
0

x
A
A















1
.
.
.
0
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
1
)
2
(
2
)
2
(
23
)
1
(
1
)
1
(
13
)
1
(
12
n
n
b
b
b
b
b
B
0

x
B
B
A
1
2
1
,
.
.
.
,
,

n
A
A
A
)
1
(
)
1
(
22
11
,
.
.
.
,
,

n
n
n
a
a
a
A
1
2
1
,
.
.
.
,
,

n
A
A
A
,
.
.
.
det
det
1
)
1
(
)
1
(
22
11



n
n
n
a
a
a
A
B
.
.
.
.
det
)
1
(
)
1
(
22
11


n
n
n
a
a
a
A

 
90
Demak,  determinant  Gauss  kompakt  sxemasidagi  yetakchi  elementlarning 
ko’paytmasiga teng ekan. 
 
Matrisa  determinantini  optimal  yo’qotish  metodi  yordamida  ham  hisoblash 
mumkin. Bu yerda ham determinant barcha yetakchi 
 
elementlarning ko’paytmasiga teng: 
                                                       (7.20) 
Agar  yetakchi  elemantlarning  birortasi  nolga  teng  bo’lsa  u  holda  satr  bo’yicha  bosh 
elementni  tanlash  sxemasidan  foydalanish  kerak.  Lekin  bu  holda  determinantning 
ishorasini  saqlash  uchun 
  elementlarni 
  ga  ko’paytirish  kerak  bo’ladi.  Bu 
yerda    soni,  agar  avvalgi    qadamda  yo’qotilmagan  barcha  noma’lumlar  chapdan 
o’ngga  qarab  ketma-ket 
  lar  bilan  nomerlangan  bo’lsa, 
-qadamda 
yo’qotilgan  noma’lumlarning  nomerini  bildiradi.  Lekin  hisoblash  odatdagicha  (19) 
yoki (20)  formulalar bilan bajarilganda 
 aytarli kichik (katta) bo’lmasa-da biror 
  uchun  avvalgi 
  ta  ko’paytuvchilarning  ko’paytmasi  mashina  noliga  teng 
bo’lishi yoki to’lib ortib ketishi mumkin. 
 
Bunday  nuqsondan qutilish  uchun (19)  formula bo’yicha 
  ni quyidagicha 
hisoblash kerak: 
. 
 
Bu  yerda    EHM  dagi  mumkin  bo’lgan  eng  katta  songa  yaqin  bo’lib,    eng 
kichik  songa  yaqin  vash  u  bilan  birga 
; 
  yetakchi  elementlar  orasidagi 
moduli bo’yicha birdan kichik bo’lganlari, 
 esa qolgan yetakchi elementlar. 
 
Matrisalarning  teskarisini  topish.  Agar  bir  xil  matrisaga  ega  bo’lib,  faqat 
ozod hadlari bilan farq qiladigan bir qancha sistemani yechishga to’g’ri kelsa, u holda 
matrisaning  teskarisini  topish  maqsadga  muvofiqdir.ikkinchi  tomondan  statistik 
hisoblashlarda  ayrim  statistik  parametrlarni  baholash  uchun  teskari  matrisalar  katta 
ahamiyatga ega.  
 
Faraz  qilaylik,  bizga  maxsusmas  matrisa 
  berilgan  bo’lsin. 
Unga teskari bo’lgan 
 matrisani topish uchun asosiy 
 munosabatdan 
foydalanamiz, bu yerda 
 birlik matrisa, 
 va 
 matrisalarni o’zaro ko’paytirsak, 
  ta 
  noma’lumlarga  nisbatan  asosiy  matrisasi  bir  xil  va  faqat  ozod  hadlari 
bilangina farq qiladigan   ta tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz: 
 








k
r
k
k
r
r
k
k
k
k
c
a
a
1
)
(
1
,
,
1
1
,
1

.
det
1



n
k
k
A

k

1
)
1
(


k
l
k
l
k
k
n 
...,
,
2
,
1
1

k
A
det
n
i 
i
A
det




















k
k
l
j
j
l
k
j
r
q
A


1
1
)
1
(
)
1
(
det
q
r
1

 r
q
j

k

 
)
,
1
,
(
n
j
i
a
A
j
i


 
ij
x
A

1
E
AA

1
E
A
1

A
2
n
ij
x
n



















.
1
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
0
.
.
.
1
0
.
.
.
,
0
.
.
.
0
1
.
.
.
2
2
1
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a

 
91
 
Bunday sistemani Gauss metodi bilan birdaniga yechish mumkin. Misol uchun 
(11) sistema  
 
matrisasining teskarisini topaylik. 
 
Yechish.  Gauss  kompakt  sxemasini  qo’llaymiz.  Bu  holda  to’rtta  ozodhadlar 
ustuniga  ega  bo’lamiz  (11-jadval).  Shuni  ham  eslatib  o’tamizki,  teskari  matrisaning 
satr elementlari teskari tartibda hosil bo’ladi.  
 
3-jadval natijasidan quyidagiga ega bo’lamiz: 
 
3-jadval 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
1.  Aniq va taqribiy usullar. 
2.  Matrisa elementlarini aniqlash. 
3.  Kramer va teskari matrisa usuli. 
4.  Ixtiyoriy sistemani uchburchakli sistemaga keltirish. 
5. 
 Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.
  



















5
,
1
1
2
1
1
1
8
,
0
6
,
1
0
2
3
4
,
0
3
6
,
1
2
,
4
2
A






















92945
,
0
59058
,
1
73076
,
0
66162
,
0
33195
,
0
04425
,
1
77686
,
0
51408
,
0
29046
,
0
70539
,
1
19364
,
0
38037
,
0
51865
,
0
06915
,
0
06801
,
0
28239
,
0
1
A
j
x
1
j
х
2
j
x
3
j
x
4
1

j
2

j
3

j
4

j

1
.
.
.
.
.
1
6
,
1
4
,
0
2

1
,
2
.
.
.
.
.
2
8
,
0
3
2
,
4



8
,
0
.
.
.
.
.
1
1
2
6
,
1



5
,
1
.
.
.
.
.
5
,
1
1
0
3



5
,
0
.
.
.
.
.
0
0
0
1
0
.
.
.
.
.
0
0
1
0
0
.
.
.
.
.
0
1
0
0
0
.
.
.
.
.
1
0
0
0
9
,
2
5
,
2
8
,
1
6
,
1
8
,
5
1
.
.
.
.
.
1
,
4
16
,
4
84
,
3


43750
,
0
.
.
.
.
.
8
,
1
28
,
0
68
,
1




15625
,
0
.
.
.
.
.
3
4
,
1
6
,
0


05208
,
0
.
.
.
.
.
5
,
0
8
,
0
2
,
0


26042
,
0
.
.
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
.
.
0
1
0
0
.
.
.
.
.
1
0
0
71875
,
0
.
.
.
.
.
4
,
2
84
,
2
76
,
2


1
.
.
.
.
.
59375
,
3
10000
,
2


35714
,
0
.
.
.
.
.
35937
,
2
75000
,
0

27779
,
0
.
.
.
.
.
28647
,
0
58335
,
0


51588
,
0
.
.
.
.
.
06772
,
1
08334
,
1

47617
,
0
.
.
.
.
.
0
1

0
.
.
.
.
.
1
0
47617
,
0
.
.
.
.
.
52085
,
3
14999
,
0


07590
,
1
71184
,
0
78622
,
0

71131
,
1

1
29022
,
0
28239
,
0
38037
,
0
51408
,
0
66162
,
0
06801
,
0
19364
,
0
77686
,
0
73076
,
0




06915
,
0
70539
,
0
04425
,
1
59058
,
1




51865
,
0
29046
,
0
33195
,
0
92945
,
0
66388
,
0
22820
,
0
97508
,
0
73027
,
0




 
92
8-Ma’ruza 
 
KVADRAT ILDIZLAR METODI 
 
Reja: 
1.  Kvadrat ildizlar usuli. 
2.  Kvadrat ildizlar usulining EHMda dastur tuzish usuli. 
 
 
Tayanch  iboralar:  Qo’shma  matrisa,  Ermit  matrisasi,  simmetrik  matrisa, 
unitar matrisa. 
 
Ushbu  va  keyingi  paragraflardagi  metodlarda  maxsus  xossalarga  ega  bo’lgan 
matrisalardan  foydalanishga  to’g’ri  keladi,  shuning  uchun  avvalo  shu  matrisalarni 
ta’riflab o’tamiz. 
Agar  barcha    va 
  lar  uchun 
  bo’lsa  (bu  yerda 
  ustidagi  chiziq 
qo’shma  kompleks  sonni  bildiradi)  elementlari 
  dan  iborat  bo’lgan  A*  matrisa 
berilgan 
 matrisaga nisban qo’shma matrisa deyiladi. 
Agar  A  kvadrat  matrisa  o’zining  qo’shmasi 
  bilan  ustma-ust  tushsa,  ya’ni 
  bo’lsa,  u  Ermit  matrisasi  yoki  o’z-o’ziga  qo’shma  matrisa  deliladi. 
Elementlari  haqiqiy  sondan  iborat  bo’lgan  Ermit  matrisasi  simmetrik  matrisa 
deyiladi. Bu matrisa 
 tenglik bilan aniqlanadi. 
Agar 
                                                           (8.1) 
bajarilsa, u holda A unitar matrisa deyiladi, bu yerda Ye - birlik matrisa. 
Unitar matrasa quyidagi xossalarga ega: 
1)  Agar A unitar matrisa bo’lsa, u holda uning determinanti moduli 1 ga teng bo’lgan 
kompleks sondir. Haqiqatan ham, (8.1) ga ko’ra 
. 
2)    Agar  A  unitar  matrisa  bo’lsa,  u  holda 
.  Buni  isbotlash  uchun  (3.1)  ni 
chapdan 
 ga ko’paytirii) kifoyadir. 
3)  Agar A unitar matrisa bo’lsa, u hodda 
 ham unitardir. 
4)  Ikkita  unitar  matrisalarning  ko’paytmasi  unitar  matrisadir.  Haqiqatan  ham, 
  va 
 unitar matrisalar bo’lsin, u holda  
. 
 
Endi  kvadrat  ildizlar  metodini  ko’rib  chiqaylik.  Faraz  qilaylik, 
  Ermit 
matrisasi  bo’lsin.  Kvadrat  ildizlar  metodining  g’oyasi 
  matrisani  uchburchak  va 
diagonal matrisalar ko’paytmasi shaklida tasvirlashdan iboratdir: 
,                                                       (8.2) 
bu yerda  
i
j
ji
ij
a
a 

ji
a

ij
a
]
[
ij
a
A 

A
A
A 

A
A 

E
AA 

1
|
det
|
det
det
det
det
det
2








A
A
A
A
A
AA


 A
A
1
1

A

A
A
B
E
AA
AEA
A
ABB
AB
AB









)
)(
(
A
А
DT
T
A



 
93
 
yuqorida  uchburchak  matrisa  bo’lib, 
  esa 
  elementlari 
  yoki 
  dan  iborat 
bo’lgan 
 
diagonal matrisadir. 
 
  matrisa  elementlarini  topish  uchun  (8.2)  tenglikdan,  matrisalarni 
ko’paytirish  qoidasiga  asoslanib, 
  larga  nisbatan  quyidagi  tenglamalar  sistemasini 
hosil qilamiz: 
                               (8.3) 
Bu  yerda 
  lar 
  bilan  o’zaro  qo’shma  kompleks  sonlardir.  (8.3)  sistemada 
tenglamalarning  soni  noma’lumlarning  sonidan 
  taga  kam.  (8.3)  sistemadan 
  lar 
yagona  ravishda  topilishi  uchun 
  larni  shunday  tanlab  olamizki, 
  lar  haqiqiy  va 
musbat bo’lsin. U vaqtda (8.3) sistemaning ikkinchi tenglamasidan 
 bo’lganda 
 
ga ega bo’lamiz. Endi 
 deb olib 
 uchun 
 ni hosil qilamiz. (8.3) 
sistemaning  birinchi  tenglamasidan 
  bo’lganda 
  kelib 
chiqadi. Shunga o’xshash (8.3) sistemada 
 bo’lganda avval ikkinchi tenglamadan 
 ni, so’ngra birinchi tenglamadan 
 ni topamiz: 
 
 
Shunday qilib,   ning avvalgi ikkita satr elementlarini topish uchun formulalar 
chiqardik.  Shunga  o’xshash, 
  matrisaning  qolgan  elementlarini  ham  topamiz. 
Umumiy holda hisoblashlar quyidagi formulalar yordamida olib boriladi: 













nn
n
n
t
t
t
t
t
t
T
...
0
0
...
...
...
...
...
0
...
2
22
1
12
11
D
ii
d
1

1














nn
d
d
d
D
...
0
0
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
22
11
T
ij
t














)
,...,
2
,
1
(
),
(
|
|
...
|
|
),
(
...
2
11
2
11
1
11
1
n
i
j
i
a
d
t
d
t
j
i
a
t
d
t
t
d
t
ii
ii
ii
ij
ij
ii
ii
j
l
ij
t
ij
t
n
ij
t
ii
d
ii
t
1

i
11
11
2
11
|
|
a
d
t

11
11
a
sign
d 
11
t
|
|
11
11
a
t 
1

i
)
,...,
3
,
2
(
11
11
1
n
j
t
d
a
t
j
ij


2

i
22
t
j
t
2
).
,
3
(
,
|
|
|
|
),
|
|
(
22
22
1
11
12
2
2
11
2
11
22
22
11
2
12
22
22
n
j
t
d
t
d
t
a
t
d
t
a
t
d
t
a
sign
d
j
j
j







Т
T

 
94
                                            (8.4) 
Shunday  qilib,  (8.2)  yoyilma  mavjud  va  (8.4)  formulalar  yordamida  aniqlanadi. 
Nihoyat, 
 
sistemani  yechish  uchun  uni 
  yoyilmadan  foydalanib,  quyidagi  ikkita 
uchburchak matrisali sistemalar shaklida yozib olamiz:  
. 
Bu sistemalarni yoyib yozsak, 
 
va 
        
ga ega bo’lamiz. Bundan esa, ketma-ket quyidagilarni hosil qilamiz: 
                                            (8.5) 
va  
.                                              (8.6) 
Agar 
 haqiqiy  va simmetrik  matrisa bo’lsa, bu  matrisani bir-biriga nisbatan o’zaro 
transponirlangan ikkita matrisalar ko’paytmasi shaklida yozish mumkin: 
, 
bu  yerda 
  -  yuqori  uchburchak  matrisa.  Bu  holda  (3.4)  formulalar  bir  oz 
soddalashib, ushbu ko’rinishga ega bo’ladi: 




































).
,
1
(
),
1
(
|
|
|
|
),
|
|
(
,
,
|
|
,
1
1
1
1
2
1
1
2
11
11
1
1
11
11
11
11
n
i
j
t
d
t
d
t
a
t
i
d
t
a
t
d
t
a
sign
d
t
d
a
t
a
t
sign
d
ii
ii
i
s
sj
ss
si
ij
ij
i
s
ss
st
ii
ii
i
s
ss
si
ii
ii
j
j

b
Ax 
DT
T
A


y
x
T
b
y
D
T



,














n
n
nn
nn
n
n
b
y
d
t
y
d
t
y
d
t
b
y
d
t
y
d
t
b
y
d
t
...
.
.
.
.
.
.
,
,
2
22
2
1
11
1
2
2
22
22
1
11
12
1
1
11
11















n
n
nn
n
n
n
n
y
x
t
y
x
t
x
t
y
x
t
x
t
x
t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
...
,
...
2
2
2
22
1
1
2
12
1
11
)
1
(
,
1
1
1
11
11
1
1







i
d
t
d
y
t
b
y
d
t
b
y
ii
ii
i
s
ss
s
si
i
)
(
,
1
n
i
t
x
t
y
x
t
y
х
ss
n
i
s
s
is
i
i
nn
n
n







A
T
T
A


T

 
95
                                                 (8.7) 
 
Shuni  ham  ta’kidlab  o’tish  kerakki,  faqat 
  matrisa  musbat  aniqlangan 
bo’lgandagina 
  matrisaning  diagonal  elementlari  haqiqiy  va  musbat  bo’lishi 
mumkin.  Aks  holda,    matrisa elementlari orasida komplekslari  ham  uchrab qolishi 
mumkin. 
 
Uchburchak matrisaning determinanti diagonal elementlari ko’paytmasiga teng 
ekanligini  e’tiborga  olib,  (8.2)  yoyilmadan 
  ni  topish  uchun  quyidagini  hosil 
qilamiz: 
 
yoki 
. 
Bu  yerda   EHM dagi  mumkin bo’lgan eng katta songa, 
 esa eng kichigiga  yaqin 
bo’lib, 
lar    matrisaning  absolyut  qiymatlari  bo’yicha  birdan  ortmaydigan 
elementlari, 
 lar esa qolgan elementlardir. 
 
Bu metod yordamida xotirasi 4095 ta yacheykadan iborat EHM larda matrisasi 
haqiqiy va simmetrik bo’lgan 88-tartibli sistemani yechish mumkin. 
 
Kvadrat  ildizlar  metodi  ko’pincha  kuzatishlar  natijasini  eng  kichik  kvadratlar 
metodi  bilan  ishlab  chiqqanda  hosil  bo’ladigan  tenglamalarning  normal  sistemasini 
yechish  uchun  qo’llaniladi.  Bunday  sistema  matrisasining  bosh  minorlari  musbat 
bo’lgan Ermit matrisasi bo’ladi. 
 
Bunday  sistemalarning  tartiblari  odatda  bir  necha  yuz,  hatto  minglarga  teng 
bo’lishi mumkin. 
 
Odatda  yuqori  tartibli  chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasini  yechish 
nihoyatda  murakkab  masala.  Shuning  uchun  ham  har  bir  konkret  masalaning  ichki 
xususiyatlaridan  foydalanish  kerak.  Masalan,  ko’p  masalalar,  shu  jumladan,  eng 
kichik  kvadratlar  metodi  bilan  transport  masalasini  yechish  matrisasi  chizmadagi 
ko’rinishga ega bo’lgan yuqori darajali algebraik tenglamalar sistemasiga olib keladi. 
Bunday sistemalarni kvadrat ildizlar metodi bilan yechish qulaydir. 
 
Haqiqatan  ham,  faraz  qilaylik, 
  Ermit  matrisasining  elementlari  biror    va 
barcha 
  lar  uchun 
  shartni  qanoatlantirsin.  U  holda,  (3.4) 
formuladan  ko’rinadiki,  ularga  mos  bo’lgan 
  elementlar  ham  nolga  aylanadi. 
Shuning  uchun  ham, 
  matrisaning  ko’rinishi 
  matrisaning  o’ng  yarmidek,  ya’ni 
chizmadagidek bo’ladi. 




























).
,
1
(
),
1
(
,
,
1
1
1
1
2
11
1
1
11
11
n
i
j
t
t
t
a
t
i
t
a
t
t
a
t
a
t
ii
i
s
sj
si
ij
ij
i
s
si
ii
ii
j
j
А
T
T
A
det



n
i
ii
ii
t
d
A
1
2
det
)
|
|
(
)
|
|
(
det
2
2



s
s
s
s
r
r
r
r
i
i
i
i
i
i
i
i
t
d
q
t
d
p
A
q
p
r
r
i
i
t
pq
;
1

Т
s
s
i
i
t
A
j
j
m
i
j



1
0

ij
a
ij
t
T
А

 
96
 
Nol  elementlar  ustida  amal  bajarmasak,  u  holda  hisoblash  ishlari  faqat 
tezlashibgina  qolmasdan,  balki  yechiladigan  masalaning  tartibini  orttirish  ham 
mumkin. 
 
Soddalik uchun simmetrik matrisaga ega bo’lgan quyidagi: 
 
sistemani kvadrat ildizlar metodi bilan yechaylik. 
 
Yechish.  Sistemaning 
  koeffsiyentlari  va 
  ozod  hadlarini  1-jadvalning 
 
qismiga  joylashtirib, 
  ustunni  hisoblab  chiqamiz.  (8.7)  va  (8.5)  formulalar 
yordamida ketma-ket   elementlarni va yangi ozod had 
 larni hisoblab, jadvalning 
 qismini to’ldiramiz. Kontrol uchun har gal 
 ustunni hisoblab turamiz. Masalan, 
 va 
 quyidagicha topiladi: 
 
1-jadval