Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Misol. Quyidagi  
 
sistemaning  ildizi 
  aniqlik  bilan  topilsin.  Bu  funksiyalarning  grafiklarini  chizib 
ko’rsatish mumkinki,   va   mos ravishda 
 va 
 oraliqda yotadi. 
Shuning  uchun  ham 
  va 
  deb  olishimiz  mumkin.  Berilgan 
funksiyalarning hosilalari quyidagilardan iborat: 
. 
 
Hisoblashlar natijalarini keltiramiz: 
 
L
B
,
,

2
1
2


L
B
h
)
0
(
х
)
,
1
(
2
1
1
|
|
)
0
(
n
i
B
h
h
x
x
i
i






)
,
...
,
,
(
2
1
n



 
)
,
...
,
,
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
k
n
k
k
k
x
x
x
x



B
h
x
k
k
i
k
i
n
i
1
2
1
)
(
1
)
2
(
2
1
|
|
max











0
)
,
(
,
0
)
,
(
y
x
g
y
x
f
.
,
.)
.
.
,
2
,
1
,
0
(
,
1
1
k
k
x
y
y
x
x
x
k
k
k
k
x
y
y
x
y
y
k
k
y
y
x
x
g
f
g
f
f
g
g
f
y
y
k
y
y
x
x
g
f
g
f
g
f
f
g
x
х













































0
4
2
5
)
,
(
,
0
1
2
)
,
(
2
3
2
3
xy
x
y
y
x
g
y
x
x
x
f
5
10



)
6
,
0
;
7
,
0
(


)
8
,
0
;
7
,
0
(
6
,
0
)
0
(


х
8
,
0
)
0
(

y
x
y
g
y
x
g
y
f
x
f
y
x
y
x
2
15
,
2
2
,
4
,
3
2
2







 
80
 
 
Demak, 
 va 
  
. 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
1.  Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi. 
2.  Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi. 
3.  Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi. 
  
.
79809
,
0
;
64942
,
0
;
85296
,
10
;
89502
,
2
;
19234
,
3
;
26525
,
1
;
00001
,
0
;
00001
,
0
;
79809
,
0
;
64942
,
0
;
84663
,
10
;
89046
,
2
;
19038
,
3
;
27583
,
1
;
00254
,
0
;
00502
,
0
;
79760
,
0
;
65213
,
0
;
8
,
10
;
8
,
2
;
2
,
3
;
08
,
1
;
12
,
0
;
064
,
0
;
8
,
0
;
6
,
0
)
3
(
)
3
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(





































y
x
g
g
f
f
g
f
y
x
g
g
f
f
g
f
y
x
g
g
f
f
g
f
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
64942
,
0



79809
,
0



 
81
7-ma’ruza 
 
NOMA’LUMLARNI YO’QOTISh. GAUSS METODI 
 
Reja: 
1.  Gauss metodi.  
2.  Bosh elementlar metodi. 
3.  Optimal yo’qotish metodi. 
4.  Determinatni hisoblash. 
5.  Matrisalarning teskarisini topish. 
 
Tayanch iboralar: oddiy va iterasion usullar, uchburchakli matrisa, to’g’ri va 
teskari yo’l, Ermit matrisasi. 
 
 
 
Optimal  yo’qotish  metodi  o’z  strukturasi  jihatidan  Gauss  metodiga  yaqin 
bo’lishiga  qaramasdan  u  mashina  xotirasidan  effektiv  ravishda  foydalanishga  imkon 
beradi  va  shuning  uchun  ham  bu  metod  yordamida  tartibi  ikki  mart  katta  bo’lgan 
sistemani yechish mumkin.  
Gauss metodi.  Bu  metod bir  necha  hisoblash sxemalariga ega. Shulardan biri 
Gaussning kompakt sxemasini ko’rib chiqamiz. Ushbu sistema berilgan bo’lsin: 
                                            (7.1) 
 
Faraz  qilaylik, 
  (yetakchi  element)  bo’lsin,  aks  holda  tenglamalarning 
o’rinlarini  almashtirib, 
  oldidagi  koeffisiyenti  noldan  farqli  bo’lgan  tenglamani 
birinchi 
o’ringa 
ko’chiramiz. 
Sistemadagi 
birinchi 
tenglamaning 
barcha 
koeffisiyentlarini 
 ga bo’lib, 
                                               (7.2) 
ni hosil qilamiz, bu yerda  
 
(2)  tenglamadan  foydalanib,  (1)  sistemaning  qolgan  tenglamalarida 
  ni  yo’qotish 
mumkin.  Buning  uchun  (2)  tenglamani  ketma-ket 
  larga  ko’paytirib,  mos 
ravishda  sistemaning  ikkinchi,  uchinchi  va  h.k.  tenglamalaridan  ayiramiz.  Natijada, 
quyidagi sistema hosil bo’ladi: 






















.
,
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
...
,
,
...
1
2
2
1
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
1
2
12
1
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
0
11

a
1
х
11
a
)
1
(
1
,
1
)
1
(
1
2
)
1
(
12
1
...





n
n
n
b
x
b
x
b
x
).
2
(
11
1
)
1
(
1


j
a
a
b
j
j
1
x
...
,
,
31
21
a
a

 
82
                                                 (7.3) 
bu yerda 
 koeffisiyentlar  
. 
formala  yordamida  hisoblanadi.  Endi  (7.3)  sistema  ustida  ham  shunga  o’xshash 
almashtirishlar bajaramiz. 
 
Buning  uchun  (3)  sistemadagi  birinchi  tenglamaning  barcha  koeffisiyentlarini 
yetakchi element 
 ga bo’lib, 
                                                 (7.4) 
ni hosil qilamiz, bu yerda  
. 
 
(4) tenglama yordamida (3) sistemaning keyingi tenglamalarida yuqoridagidek 
 ni yo’qotib, 
 
sistemaga kelamiz, bu yerda  
. 
 
Noma’lumlarni  yo’qotish  jarayonini  davom  ettirib  va  bu  jarayonni 
-
qadamgacha  bajarish  mumkin  deb  faraz  qilib, 
-qadamda  quyidagi  sistemaga  ega 
bo’lamiz: 
                                        (7.5) 
bu yerda  
. 
Faraz qilaylik, 
 mumkin bo’lgan oxirgi qadamning nomeri bo’lsin. Ikki hol bo’lishi 
mumkin: 
 yoki 
. Agar 
 bo’lsa, u vaqtda biz uchburchak  matrisali  va 
(1) sistemaga ekvivalent bo’lgan quyidagi  
                                      (7.6) 













.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
)
1
(
1
,
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
1
,
2
)
1
(
2
2
)
1
(
22
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
)
1
(
j
i
a
)
2
,
(
)
1
(
1
1
)
1
(



j
i
b
a
a
a
j
i
ij
ij
)
1
(
22
a
)
2
(
1
,
2
)
2
(
2
3
)
2
(
23
2
...





n
n
n
b
x
b
x
b
x
)
3
(
)
1
(
22
)
1
(
2
)
2
(
2


j
a
a
b
j
j
2
x













)
2
(
1
,
)
2
(
3
)
2
(
3
)
2
(
1
,
3
)
2
(
3
3
)
2
(
33
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
)
3
,
(
,
)
2
(
2
)
1
(
2
)
1
(
)
2
(



j
i
b
a
a
a
j
i
ij
ij
m
m




























,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
)
(
1
,
)
(
1
)
(
1
,
)
(
1
,
)
(
,
1
1
)
(
1
,
1
)
(
1
,
)
(
1
)
(
1
,
m
n
n
n
m
n
n
m
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
m
m
m
m
m
n
m
n
m
mn
m
m
m
m
m
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
b
x
b
x
b
x
)
1
,
(
,
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(







m
j
i
b
a
a
a
a
a
b
m
j
m
m
m
i
m
ij
m
ij
m
mm
m
j
m
m
j
m
m
n
m 
n
m 
n
m 




















)
(
1
,
)
2
(
1
,
2
)
2
(
2
3
)
2
(
23
2
)
1
(
1
,
1
)
1
(
1
3
)
1
(
13
2
)
1
(
12
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x

 
83
sistemaga  ega  bo’lamiz.  Oxirgi  sistemadan  ketma-ket 
  larni  topish 
mumkin: 
                                             (7.7) 
(6)  uchburchak  sistemaning  koeffisiyentlarini  topish  Gauss  metodining  to’g’ri 
yurishi, (7.7) sistemani topish jarayoni teskari yurishi deyiladi. 
 
Faraz  qilaylik, 
  bo’lsin  va  sistemanig 
-  va  undan  keyingi  tenglamalari 
(7.5)  ko’rinishga  keltirilgan  bo’lsin.  Biz 
-  qadamni  bajarilishi  mumkin  bo’lgan 
qadam  deb  hisoblagan  Edik,  bush  uni  bildiradiki  (5)  sistemaning  ikkinchi 
tenglamasidan  boshlab  yetakchi  elementni  ajratish  mumkin  emas,  barcha 
 lar nolga teng va (5) sistema quyidagi ko’rinishga ega 
               
 
Agar  bunda  barcha  ozod  hadlar 
  nolga  teng  bo’lsa,  u  holda  biz 
faqat yagona birinchi tenglamaga ega bo’lamiz. 
Barcha qadamdagi tenglamalarni birlashtirib, quyidagi sistemani hosil qilamiz: 
                  
 
 
Bu  sistemadan  biz 
  noma’lumlarni 
  noma’lumlar  va  ozod 
hadlar  yordamida  ifodalab  olishimiz  mumkin.  Bu  holda  (7.1)  sistema  cheksiz  ko’p 
yechimga  ega  bo’ladi.  Agar 
  bo’lib,  hyech  bo’lmaganda  birorta 
 bo’lsa, u holda (7.1) sistema yechimga ega bo’lmaydi. 
 
Qo’lda  hisoblayotganda  xatoga  yo’l  qo’ymaslik  uchun,  hisoblash  jarayonini 
kontrol  qilish  ma’quldir.  Buning  uchun  biz  (7.1)  matrisa  satrlaridagi  elementlar  va 
ozod hadning yiqindisidan tuzilgan kontrol 
                                                  (7.8) 
yig’indidan foydalanamiz. 
 
Agar 
  larni  (7.1)  sistemaning  ozod  hadlari  deb  qabul  qilsak,  u  holda 
almashtirilgan 
1
1
,
.
.
.
,
,
x
x
x
n
n























.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
)
1
(
1
2
)
1
(
12
)
1
(
1
,
1
1
)
1
(
,
1
)
1
(
1
,
1
1
)
(
1
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
b
x
b
b
x
x
b
b
x
b
x
n
m 
m
m
)
,
.
.
.
,
1
,
(
)
(
n
m
j
i
a
m
ij





















.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
,
0
,
.
.
.
)
(
1
,
)
(
1
,
1
)
(
1
,
)
(
1
)
(
1
,
m
n
n
m
n
m
m
n
m
n
m
mn
m
m
m
m
m
a
a
b
x
b
x
b
x
)
,
.
.
.
,
1
(
)
(
1
,
n
m
i
a
m
n
i




























.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
)
(
1
,
)
(
1
)
(
1
,
)
2
(
1
,
2
)
2
(
2
3
)
2
(
23
2
)
1
(
1
,
1
)
1
(
1
3
)
1
(
13
2
)
1
(
12
1
m
n
m
n
m
mn
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
m
x
x
x
,
.
.
.
,
,
2
1
n
m
x
x
,
...
,
1

n
m 
)
1
(
0
)
(
1
,
n
i
m
a
m
m
i





)
,
1
(
1
1
2
,
n
i
a
a
n
j
ij
n
i






2
, 
n
i
a

 
84
                                                  (7.9) 
sistemaning yechimi 
 (7.1) sistemaning yechimi 
 oraliq quyidagicha ifodalanadi: 
.                                                  (7.10) 
Haqiqatan  ham,  (7.10)  ni  (7.9)  sistemaga  qo’ysak,  (7.1)  sistema  va  (7.8)  formulaga 
ko’ra 
 
aytiyatga ega bo’lamiz. 
 
Agar  satr  elementlar  ustida  bajarilgan  amallarni  har  bir  satrdagi  kontrol 
yig’indi ustida ham bajarsak va hisoblashlar xatosiz bajarilgan bo’lsa, u holda kontrol 
yig’indilardan tuzilgan ustunning har bir elementi mos ravishda almashtirilgan satrlar 
elementlarining  yig’indisiga  teng  bo’ladi.  Bu  hol  esa  to’g’ri  yurishni  kontrol  qilish 
uchun xizmat qiladi. Teskari yurishda esa, kontrol 
 larni topish bilan bajaraladi. 
 
Tenglamalar 
sistemasi 
qo’lda 
yechilganda 
hisoblashlarni 
1-jadvalda 
ko’rsatilgan  Gaussning  kompakt  sxemasi  bo’yicha  olib  borish  ma’quldir.  Soddalik 
uchun  jadvalda  to’rtta  noma’lumli  to’rtta  tenglamalar  sistemasini  yechish  sxemasi 
keltirilgan. 
 
Gauss metodi bilan   ta noma’lumli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini 
yechish  uchun  bajariladigan  arifmetik  amallarning  miqdori  quyidagidan  iborat: 
 ta ko’paytirish va bo’lish, 
 ta qo’shish.