Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Misol. Gauss metodi bilan quyidagi sistema yechilsin; 
                                            (7.11) 
Sistemani yechish jarayoni 2-jadvalda keltirilgan.  
1-jadval 
 
 
 
 
Ozod 
hadlar 
 
Sxema 
qismlari 
 
 
 
 
 
 
 
)
,
1
(
2
,
1
n
i
a
x
a
n
i
n
j
j
ij





j
x
j
x
)
,
1
(
1
n
j
x
x
j
j



)
,
1
(
2
,
1
1
1
1
n
i
a
a
a
x
a
n
i
n
j
n
j
ij
n
j
ij
j
ij












j
x
n
)
3
(
3
1
2
3
n
n
n


)
5
3
2
(
6
1
2
3
n
n
n



























0
5
,
1
2
1
8
,
0
6
,
1
6
,
1
4
,
2
3
4
,
0
2
,
3
3
6
,
1
2
,
4
2
4
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
x
2
х
3
х
4
x

1
.
.
.
41
31
21
11
a
a
a
a
)
1
(
12
42
32
22
12
.
.
.
b
a
a
a
a
)
1
(
13
43
33
23
13
.
.
.
b
a
a
a
a
)
1
(
14
44
34
24
14
.
.
.
b
a
a
a
a
)
1
(
15
45
35
25
15
.
.
.
b
a
a
a
a
)
1
(
16
46
36
26
16
.
.
.
b
a
a
a
a
А

 
85
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-jadval 
 
 
 
 
Ozod 
hadlar 
 
Sxema 
qismlari 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
.
.
1
.
.
.
)
1
(
42
)
1
(
32
)
1
(
22
a
a
a
)
2
(
23
)
3
(
43
)
1
(
33
)
3
(
23
.
.
.
b
a
a
a
)
2
(
24
)
1
(
44
)
1
(
34
)
1
(
24
.
.
.
b
a
a
a
)
2
(
25
)
1
(
45
)
1
(
35
)
1
(
25
.
.
.
b
a
a
a
)
2
(
26
)
1
(
46
)
1
(
36
)
1
(
26
.
.
.
b
a
a
a
1
A
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
)
2
(
43
)
2
(
33
a
a
)
3
(
34
)
2
(
44
)
2
(
34
.
.
.
b
a
a
)
3
(
35
)
2
(
45
)
2
(
35
.
.
.
b
a
a
)
3
(
36
)
2
(
46
)
2
(
36
.
.
.
b
a
a
2
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
)
3
(
44
a
)
4
(
45
)
3
(
45
.
.
.
b
a
)
4
(
46
)
3
(
46
.
.
.
b
a
3
A
1
1
1
1
1
2
3
4
x
x
x
x
1
2
3
4
x
x
x
x
B
1
x
2
х
3
х
4
x

1
...
1
6
,
1
4
,
0
2

1
,
2
...
2
8
,
0
3
2
,
4


8
,
0
...
1
1
4
,
2
6
,
1


5
,
1
...
5
,
1
1
0
3



6
,
1
...
0
1
6
,
1
2
,
3


4
...
5
,
0
2
,
0
4
,
1
8



A
...
1
...
1
,
4
16
,
4
84
,
3
54166
,
0
...
8
,
1
28
,
0
08
,
2


15625
,
0
...
3
40
,
1
60
,
0




25
,
0
...
6
,
1
56
,
3
96
,
0


05208
,
0
...
5
,
4
6
,
6
2
,
0
1
A
...
...
1
...
02081
,
4
53331
,
2


29606
,
0
...
35937
,
2
75
,
0

81581
,
1
...
62500
,
2
6
,
4


51198
,
2
...
28644
,
4
38331
,
6


2
A
16897
,
1
67603
,
4
84500
,
5
4
A
1
1
1
1
00002
,
1
00005
,
2
00009
,
3
00013
,
4
00002
,
2
00005
,
3
00009
,
4
00013
,
5
B

 
86
 
 
Shunday  qilib,  quyidagi 
 
 
 
 
taqribiy yechimga ega bo’ldik. 
 
Sistemaning aniq yechimi 
 
 
 
 ekanligi bevosita ishonch 
hosil qilish mumkin. 
 
Bosh  elementlar  metodi.  Gauss  metodida  yetakchi  elementlar  doim  noldan 
farqli bo’lavermaydi. Yoki ular nolga yaqin sonlar bo’lishi mumkin: bunday sonlarga 
bo’lganda  katta  absolyut  xatoga  ega  bo’lgan  sonlar  hosil  bo’ladi.  Buning  natijasida 
taqribiy yechim aniq yechimdan sezilarli darajada chetlashib ketadi. 
 
Hisoblash  xatosining  bunday  halokatli  ta’siridan qutulish  uchun Gauss  metodi 
bosh  elementni  tanlash  yo’li  bilan  qo’llaniladi.  Buning  Gauss  metodining  kompakt 
sxemasidan  farqi  quyidagidan  iborat.  Faraz  qilaylik,  noma’lumlarni  yo’qotish 
jarayonida quyidagi sistemaga ega bo’lgan bo’laylik: 
 
Endi 
 
tenglikni 
qanoatlantiradigan 
 
nomerni 
topib, 
o’zgaruvchilarni qayta belgilaymiz: 
 va 
 so’ngra 
 tenglamadan 
boshlab,  barchasidan 
  noma’lumni  yo’qotamiz.  Bunday  qayta  belgilashlar 
yo’qotish  tartibini  o’zgartirishga  olib  keladi  va  ko’p  hollarda  hisoblash  xatosini 
kamaytirishga xizmat qiladi. 
 
Optimal  yo’qotish  metodi.  Bu  metodning  dastlabki  qadamlari  Gauss 
metodiga  o’xshashdir.  Yetakchi  element 
  deb  faraz  qilib,  (7.1)  sistemaning 
birinchi tenglamasini  
                                                (7.2) 
ko’rinishga  keltiramiz.  So’ngra  (7.1)  sistemaning  faqat  ikkinchi  tenglamasidan 
  ni 
yo’qotamiz: 
. 
Endi 
 deb faraz qilib, bu tenglamani (7.4) ko’rinishga keltiramiz: 
. 
Bu tenglama yordamida (7.2) tenglamadan 
 ni yo’qotamiz. Natijada  
 
hosil bo’ladi. Bu yerda  
. 
;
00002
,
1
1

x
;
00005
,
2
2

x
;
00009
,
3
3

x
00013
,
4
4

x
;
1
1

x
;
2
2

x
;
3
3

x
4
4

x







































.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
)
(
1
,
)
(
,
1
)
(
1
,
)
(
1
,
1
)
(
,
1
1
)
(
1
,
1
)
2
(
1
,
)
(
1
)
(
1
,
)
1
(
1
,
1
)
1
(
1
3
)
1
(
13
2
)
1
(
12
1
m
n
n
n
m
n
n
m
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
m
m
m
m
n
m
n
m
n
m
m
m
m
m
m
n
n
n
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
|
|
max
|
|
)
(
,
1
)
(
,
1
m
j
m
j
m
k
m
a
a



k
k
m
x
x

1
1


m
k
x
x
)
2
(

m
1

m
x
0
11

a
)
1
(
1
,
1
)
1
(
1
2
)
1
(
12
1
.
.
.





n
n
n
b
x
b
x
b
x
1
x
)
1
(
1
,
2
)
1
(
2
2
)
1
(
22
.
.
.




n
n
n
a
x
a
x
a
0
)
1
(
22

a
)
2
(
1
,
2
)
2
(
2
3
)
2
(
23
2
.
.
.





n
n
n
b
x
b
x
b
x
2
x
)
2
(
1
,
2
)
2
(
2
3
)
2
(
23
2
)
2
(
1
,
1
)
2
(
1
3
)
2
(
13
1
.
.
.
.
.
.










n
n
n
n
n
n
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
)
3
(
,
)
2
(
2
)
2
(
2
)
2
(
2
)
1
(
12
)
1
(
1
)
2
(
1




j
b
c
b
b
b
c
j
j
j
j
j

 
87
Faraz  qilaylik,  avvalgi 
  ta  tenglamalar  ustida  almashtirishlar  bajarish  natijasida 
(7.1) sistema quyidagi teng kuchli sistemaga keltirilgan bo’lsin: 
                                  (7.12) 
 
Bu sistemaning avvalgi   ta tenglemasini mos ravishda 
 larga 
ko’paytirib, natijalarni 
 tenglamadan ayiramiz va hosil bo’lgan tenglamani 
 
noma’lum  oldingi  koeffisiyentga  bo’lamiz.  Natijada 
  -  tenglama  quyidagi 
ko’rinishga ega bo’ladi: 
. 
Endi  bu  tenglama  yordamida  (7.12)  sistemaning  avvalgi 
  ta  tenglamasidan 
  ni 
yo’qotsak,  u  holda  yana  (7.12)  ko’rinishdagi  sistemaga,  faqat 
  ning 
  ga 
almashgan holiga, ega bo’lamiz.  
 
Shu bilan birga, agar 
 
bo’lsa, quyidagi formulalarga ega bo’lamiz: 
 
 
Almaщtirshdarning 
-qadami  ham  bajarilgandan  so’ng  (7.1)  sistemaning 
yechimi uchun quyidagi formulalar hosil bo’ladi: 
. 
Bu  yerda  ham  hisoblash  jarayonini  kontrol  qilash  Gauss  metodidagiga  o’xshashdir. 
Optimal  yo’qotish  metodida  ham  barcha  yetakchi  elementlar  noldan  farqli  bo’lshi 
zarurdir.  Agar  bu  fakt  oldindan  ma’lum  bo’lmasa,  u  holda  hisoblash  sistemasini 
o’zgartirib,  bosh  elementlarni  satr  bo’yicha  tanlash  yo’li  bilan  noma’lumlarni 
yo’qotish  maqsadga  muvofiqdir.  Buning  uchun,  agar 
-tenglamada 
 
noma’lumlarni yo’qotgandan keyin, 
 
k












































.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
1
,
1
1
,
1
1
,
1
,
1
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(
1
,
)
(
1
,
1
)
(
1
1
)
(
1
,
1
1
n
n
n
n
n
k
k
n
n
n
k
n
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
n
k
n
k
k
k
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
k
k
k
k
k
k
a
a
a
,
1
2
,
1
,
1
,
.
.
.
,
,



)
1
( 
k
1

k
x
)
1
( 
k
)
(
1
,
1
)
(
,
1
)
(
2
,
1
1
.
.
.
k
n
k
n
k
n
k
k
k
k
k
c
x
c
c
х










k
1

k
x
k
)
1
( 
k








k
r
r
k
k
k
r
k
k
a
c
a
1
,
1
)
(
1
,
1
,
1
0
).
1
,
.
.
.
,
3
,
2
;
,
.
.
.
,
2
,
1
(
,
)
1
(
,
1
)
(
1
,
)
(
)
1
(
1
)
(
1
,
,
1
1
,
1
1
)
(
,
,
1
,
1
)
1
(
,
1


























n
k
k
p
k
i
c
c
c
c
c
a
a
c
a
a
c
k
p
k
k
k
i
k
ip
k
ip
k
r
k
k
r
r
k
k
k
k
r
k
p
r
r
k
p
k
k
p
k
n
)
,
.
.
.
,
2
,
1
(
)
(
1
,
n
i
c
x
n
n
i
i



)
1
( 
k
k
x
x
x
,
...
,
,
2
1
)
1
(
1
)
1
(
,
1
1
,
1









k
p
c
a
a
k
s
k
sp
s
k
k
k

 
88
moduli  bo’yicha  eng  katta  element  bo’lsa,  u  holda  o’zgaruvchilarni  qaytadan 
belgilab: 
  va 
,  so’ngra  optimal  yo’qotish  qoidasiga  ko’ra 
noma’lumlarni yo’qotishni davom ettirish kerak. 
 
Optimal  yo’qotish  metodining  ustunligi  shundan  iboratki 
-tartibli  sistemani 
yechish  uchun zarur bo’lgan arifmetik amalalrning soni Gauss  metodidagidek bo’lsa 
ham,  bu  metod  EHM  lar  xotirasidan  effektiv  ravishda  foydalanishga  imkon  beradi, 
ya’ni sistemaning tartibini ikki marta orttirish mumkin.  
 
(7.12)  sistemadan  ko’rinib  turibdiki,  optimal  yo’qotishning 
-qadami 
bajarilgach,  berilgan  sistemaning  oxirgi 
  ta  tenglamasi  o’zgarishsiz  qoladi. 
Buni  hisobga  olgan  holda  xotiraga  matrisaning  barcha  elementlarini  to’la 
kiritmasdan, har bir qadamdan oldin bittadan satrni kiritamiz. U holda 
-qadamni 
amalga oshirish uchun xotiraning 
 
ta yacheykasi yetarli bo’ladi, bular 
 
matrisani  va  (12)  sistemadagi 
-tenglama  koeffisiyentlarni  joylashtirish  uchun 
xizmat qiladi. Endi 
 ning maksimumini topib,  -tartibli sistemani yechish uchun 
  ta  yacheykaga  ega  bo’lgan  maydon  yetarli  ekanligiga  ishonch  hosil 
qilamiz. Masalan, operativ xotirasi 4095 yacheykadan iborat bo’lgan EHM da tashqi 
qurilmalardan  foydalanmasdan  122-tartibli  tenglamalar  sistemasini  yechish  yoki  shu 
tartibli ixtiyoriy matrisaning determinantini hisoblash mumkin. 
 
Misol tariqasida  
 
sistemani optimal yo’qotish motedi bilan yechaylik. Birini tenlamadan  
                                                (7.13) 
ni  hosil  qilamiz  va  buni 
  ga  ko’paytirib,  sistemaning  ikkinchi  tenglamasidan 
ayiramiz: 
. 
Buni 
 ga bo’lib, kerakli tenglamani hosil qilamiz: 
.                                            (7.14) 
Endi (7.13) dan 
 ni yo’qotsak,  
.                                            (7.15) 
(7.15)  ni  1,6  ga  (7.14)  ni  -0,8  ga  ko’paytirib,  sistemaning  uchinchi  tenglamasidan 
ayiramiz va hosil bo’lgan tenglamani 
 oldidagi koeffisiyentga bo’lsak, 
p
k
x
x

1
1


k
p
x
x
n
k
)
(
k
n 
)
1
( 
k
1
)
1
(
)
(





n
k
n
k
k
f














)
(
1
,
)
(
1
,
)
(
1
,
1
)
(
1
,
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
k
n
k
k
k
k
k
n
k
k
c
c
c
c
)
1
( 
k
)
(k
f
n
4
)
5
)(
1
(


n
n

























0
5
,
1
2
1
8
,
0
6
,
1
6
,
1
4
,
2
3
4
,
0
2
,
3
3
6
,
1
2
,
4
2
4
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6
,
1
5
,
1
8
,
0
1
,
2
4
3
2
1




x
x
x
х
4
,
0

96
,
0
60
,
0
08
,
2
84
,
3
4
3
2




x
x
x
84
,
3
2500
,
0
15625
,
0
54167
,
0
4
3
2




x
x
x
2
x
12501
,
2
17182
,
1
93750
,
1
4
2
1



x
x
х
3
x

 
89
                                                   (7.16) 
kelib chiqadi. 
 
Bu tenglama yordamida (7.14) va (7.15) dan 
 ni yo’qotsak, 
                                                  (7.17) 
hosil bo’ladi. 
 
Endi (7.16)-(7.17) tenlamaoar yordamida sistemaning to’rtinchi tenglamasidan 
  ni  yo’qotamiz: 
.  Bundan  va  (7.13)-(7.17)  dan 
noma’lumlarni ketma-ket topamiz: 
.