Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Eytken  sxemasi.  Interpolyasion  ko’phadni  qurish  uchun  hisoblashlarni 
soddalashtirish  maqsadida  Eytken  sxemasini  qo’llash  qulaydir. 
  orqali 
 tugunlar yordamida qurilgan  -darajali ko’phadni belgilaymiz, Ma’lum 
(2.5) formulaga ko’ra 
 
Endi 
  ifoda 
  va 
  lardan  qanday  qonuniyat  bilan  tuzilgan  bo’lsa, 
xuddi shu qonuniyat bilan 
 va 
 yordamida tuzilgan 
 
ifodani ko’rib chiqamiz. Ko’rinib turibdiki, 
 ikkinchi darajali ko’phad  bo’lib, 
 
tengliklar o’rinlidir. Demak,  
. 
)
)(
(
)
(
1
1
j
j
n
n
x
x
x
x













n
j
j
j
n
n
j
n
x
x
x
x
x
f
x
L
0
1
1
)
)(
(
)
(
)
(
)
(


h
x
x
x
x
x
x
n
n







1
1
2
0
1
.
.
.
th
x
x


0
)
(
)
(
),
(
1
1
1
t
h
x
j
t
h
x
x
n
n
n
j










n
j
n
j
n
n
h
j
n
j
x
n
t
t
t
t
!
)
(
!
)
1
(
)
(
),
(
.
.
.
)
1
(
)
(
1
1























n
j
j
j
n
n
n
j
n
j
j
t
x
f
x
th
x
L
0
1
0
!
)
(
!
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(

)
(
)
...
012
(
x
L
n
n
x
x
х
,
.
.
.
,
,
1
0
n
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
2
2
2
0
0
2
0
2
0
0
2
0
2
)
2
,
0
(
1
2
2
2
1
1
2
0
2
1
1
2
1
2
)
2
,
1
(
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
)
01
(
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
L
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
L
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
L






























)
(
)
2
,
0
(
x
L
)
(
0
x
f
)
(
2
x
f
)
(
)
01
(
x
L
)
(
)
12
(
x
L
0
2
2
)
12
(
0
)
01
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
L
x
x
x
L
x
P




)
(x
P
)
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
2
2
1
1
0
0
x
f
x
P
x
f
x
P
x
f
x
P



)
(
)
(
)
012
(
x
L
x
P


 
130
Shunday qilib, 
 va 
 ga birinchi tartibli interpolyasiyani qo’llab, 
 
ko’phadga  ega  bo’ldik.  Xuddi  shu  natijani  qolgan  ikki  formuladan  ham  hosil  qila 
olamiz: 
 
Bu jarayonni cheksiz davom ettirshshmiz mumkin. 
Shunday  qilib, 
  ta  nuqta  yordamida 
-darajali  inter-polyasion  ko’phad 
qurish  uchun  shu  nuqtalarning 
  tasi  yordamida  tuzilgan  ikkita  bir-biridan  farqli  (
)-darajali  interpolyasion  ko’phadlarga  birinchi  tartibli  interpolyasiyani  qo’llash 
kerak. Masalan, 
. 
Yuqorida  keltirilgan  sxema  Eytken  sxemasi  deyiladi.  Odatda  Eytken    sxemasi 
 
ning  umumiy  ko’rinishini  topish  uchun  emas,  balki  uning  biror 
  nuqtadagi 
qiymatini  hisoblashda  foydalaniladi.  Hisoblashlarni  1-  jadval  shaklida  yozish 
ma’quldir. 
1- jadval 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
 
1.  Interpolyasiyalash masalasi. 
2.  Xususiy interpolyasiyalash. 
3.  Interpolyasiyalashning umumiy masalasi. 
4.  Lagranj interpolyasion formulasining har xil ko’rinishi. 
5.  Teng uzoqlikda joylashgan tugunlar. 
6.  Xatoni baholash. 
  
 
)
(
)
01
(
x
L
)
(
)
12
(
x
L
)
(
)
012
(
x
L
.
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
0
1
1
)
12
(
0
)
02
(
)
012
(
1
2
2
)
02
(
1
)
01
(
)
012
(
x
x
x
x
x
L
x
x
x
L
x
L
x
x
x
x
x
L
x
x
x
L
x
L








1

n
n
n
1

n
0
4
4
)
0124
(
0
)
0123
(
3
4
4
)
0124
(
3
)
0123
(
)
01234
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
L
x
x
x
L
x
x
x
x
x
L
x
x
x
L
x
L








)
(x
L
n
x
i
x
i
y
x
x
i

)
,
1
(
i
i
L 
)
,
...
,
2
(
i
i
L 
)
,
...
,
3
(
i
i
L 
)
,
...
,
4
(
i
i
L 
)
,
...
,
4
(
i
i
L 
5
4
3
2
1
0
x
x
x
x
x
x
5
4
3
2
1
0
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x






5
4
3
2
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
45
(
)
34
(
)
23
(
)
12
(
)
01
(
x
L
x
L
x
L
x
L
x
L
)
(
)
(
)
(
)
(
)
345
(
)
234
(
)
123
(
)
012
(
x
L
x
L
x
L
x
L
)
(
)
(
)
(
)
2345
(
)
1234
(
)
0123
(
x
L
x
L
x
L
)
(
)
(
)
12345
(
)
01234
(
x
L
x
L
)
(
)
012345
(
x
L

 
131
 
 
 
14-ma’ruza 
 
TUGUNLAR TENG UZOQLIKDA JOYLAShGAN HOL UChUN NYuTON 
INTERPOLYaSION FORMULALARI 
 
Reja: 
1.  Chekli ayirmalar va ularning xossalari. 
2.  Nyuton interpolyasion formulasining qoldiq hadlari. 
 
 
 
Tayanch iboralar: Chekli ayirmalar, ayirmalar, tugun nuqtalar, qoldiq had, 
gorizontal va diognal tablisalar. 
 
Ushbu  mavzuda  interpolyasiya  tugunlari  teng  uzoqlikda  joylashgan  holni, 
ya’ni 
  bo’lgan  holni  qaraymiz.  Bu  holda  interpolyasion 
formulaning  ko’rinishlari  ancha  soddalashadi.  Biz  xozir  Nyutonning  ikkita 
interpolyasion  formulasshi  chiqaramiz.  Bularning  birinchisi  funksiyani  jadval 
boshida va ikkinchisi jadval oxirida interpolyasiyalash uchun mo’ljallangan. 
Faraz  qilaylik, 
  tugunlar  bo’yicha  tuzilgan  Nyuton 
interpolyasion ko’phadi bo’lsin: 
.   
(14.1) 
Bundagi bo’lingan ayirmalarni chekli ayirmalar bilan almashtiraylik. 
Ushbu 
 almashtirishni ham bajargandan keyin (9.1) ko’phad quyidagi 
ko’rinishga zga bo’ladi: 
                
(14.2) 
Bu formulaning qoldiq hadi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:  
                   
(14.3) 
(14.2)  formula  Nyutonning  jadval  boshidagi  yoki  cum  interpolyasion  formulasi 
deyiladi. 
Endi  (14.1)  formulada  interpolyasiyalash  tugunlari  sifatida 
 
tugunlarni olamiz: 
 
 
 
 (14.4) 
Bo’lingan ayirmalar o’z argumentining simmetrik funksiyasi bo’lganligi uchun 
)
.
.
.
,
2
,
1
,
0
(
0



i
ih
x
x
i
n
n
x
x
x
x
L
,
.
.
.
,
,
)
(
1
0
)
)...(
)(
,...,
(
...
)
)(
,
(
)
(
)
(
1
0
0
0
1
0
0








n
n
n
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
f
x
L
th
x
x


0
.
!
)]
1
(
)...[
1
(
...
!
3
)
2
)(
1
(
2
)
1
(
)
(
2
/
3
2
/
3
2
1
1
2
/
1
0
0
n
n
n
f
n
n
t
t
t
f
t
t
t
f
t
t
tf
f
th
x
L













)
)...(
1
(
!
)
1
(
)
(
!
)
1
(
)
(
)
)...(
)(
(
)
(
)
1
(
1
)
1
(
0
0
0
n
t
t
t
n
f
h
n
f
nh
x
x
h
x
x
x
x
x
R
n
n
n
n
















n
x
x
x


,
.
.
.
,
,
1
0










)
)(
)(
,
,
(
)
)(
,
(
)
(
)
(
1
0
2
1
0
0
1
0
0
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
f
x
L
n
)
(
.
.
.
)
)(
,
.
.
.
,
(
.
.
.
)
1
(
0
0







n
n
x
x
x
x
x
x
f

 
132
. 
(14.4)  formulada  yana  bo’lingan  ayirmalarni  chekli  ayirmalar  bilan  almashtirib  va 
 deb olib, quyidagini hosil qilamiz; 
.  (14.5)  
Bu formulaning qoldiq hadi 
 
ko’rinishda bo’ladi. 
Endi  qoldiq  had  to’g’risida  bir  oz  to’xtalib  o’taylik.  Ayrim  hollarda,  xususan 
  qiymatlar  tajriea  yo’li  bilan  hosil  qilingan  bo’lsa, 
  ni  baholash  ancha 
mushkul  bo’ladi.  Shuning  uchun  qo’pol  bo’lsa  ham,  soddaroq  yo’l  bilan  baholash 
ma’quldir.  Qaralayotgan  oralikda  hosila 
,  demak,  ayirma 
  ham  sekin 
o’zgaradi  deb  faraz  qilib,  (14.3)  formula  bilai  berilgan  qoldiq  hadda  qatnashuvchi 
hosilani ayirma bilan alamashtiramiz, natijada 
   
 
 
(14.6) 
hosil bo’ladi. Shuningdek (9.5)  formula o’rnida, quyidagi taqribiy, lekin qulay 
formulaga ega bo’lamiz:  
   
 
 
(14.7) 
Yuqoridagi  formulalar  ancha  qo’pol,  ulardan  foydalanishda  hushyor  bo’lish  kerak. 
Agar hosila sekin o’zgarmasa, u holda ma’nosiz natijaga ega bo’lamiz. Masalan, 
 
funksiyani  olib,  interpolyaiiya  tugunlari  sifatida  butun 
,
  qiymatlarni 
olaylik. Bu holda ikkinchisidan boshlab barcha ayirmalar nolga teng. Demak, qo’pol 
tarzda 
  ni  chiziqli  funksiya  deb  olishimiz  mumkin.  Lekin, 
  yetarlicha  katta 
bo’lganda 
 funksiya chiziqli funksiyadan keskid farq qiladi. 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
 
1.  Diognal va gorizontal chekli ayirmalar topilishi. 
2.  Teng uzoqlikda joylashgan tugunla uchun 1- va 2-Nyuton interpolyasion 
formulalari. 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
)
,
,
.
.
.
,
(
)
,
.
.
.
,
,
(
0
1
1
0
x
x
x
f
x
x
x
f
k
k





th
x
x


0
!
)]
1
(
)...[
1
(
.
.
.
2
)
1
(
)
(
2
/
2
1
1
2
/
1
0
0
n
n
t
t
t
f
t
t
f
t
f
f
th
x
L
n
n
n













))
(
.
.
.
1
(
!
)
1
(
)
(
)
1
(
1
n
t
t
t
n
f
h
n
n






i
f
)
(
)
1
(


n
f
)
(
)
1
(
x
f
n
1

n
i
f
1
2
1
!
)
1
(
)
(
.
.
.
)
1
(






n
n
n
f
n
n
t
t
t
R
1
2
1
!
)
1
(
)
(
.
.
.
)
1
(






n
n
n
f
n
n
t
t
t
R
x
N
x
x
f

sin
)
(


0

i
x
.
.
.
,
2
,
1 

)
(x
f
N
x
N
x

sin


 
133
 
15-ma’ruza 
 
GAUSS, STIRLING, BESSEL VA EVERETT INTERPOLYaSION 
FORMULALARI 
 
Reja: 
1.  Gaussning birinchi interpolyasion formulasi. 
2.  Gaussning ikkinchi interpolyasion formulasi. 
3.  Bessel interpolyasion formulasi. 
4.  Stirling interpolyasion formulasi. 
5.  Markaziy ayirmali jadval. 
 
 
Tayanch iboralar: Markaziy ayirmali jadval, orqaga interpolyasiyalash, 
ekstrapolyasiyalash. 
 
Interpolyasiya  xatosini  kamaytirish  maqsadida, 
  interpolyasiya  tugunlarini 
interpolyasiyalanuvchi 
  nuqta  atrsfida  olish  ma’quldir.  Chunki  bu  holda  qoldiq 
hadda qatnashadigan   nuqta ham   ga yaqin joylashgan bo’ladi va demak, 
 
ham  aytarli  darajada  o’zgarmaydi.  Natijada,  qoldiq  hadga  keskin  ta’sir  etadigan 
miqdor faqatgina 
  
 
 
 
(15.1) 
bo’lib  qoladi.  Bu  ifoda 
  bilan  interpolyasiya  tugunlari  orasidagi  masofalarning 
ko’paytmasidan  iboratdir.  Shuning  uchun  ham, 
  ni  interpolyasiyalashda 
  ga 
nisbatan  eng  yaqin 
  ta  nuqtani  olsak, 
  minimal  qiymatga  ega  bo’ladi. 
Ko’rinib  turibdiki, 
  bo’lsa,    ning  chap  va  o’ng  tomonlaridan 
  tadan  nuqta 
olish  kerak.  Arap 
  bo’lsa,  u  vaqtda    ga  eng  yaqin  bo’lgan  tugunni  olib, 
so’ngra chap va o’ng tomonlardan   tadan nuqtalar olish kerak. 
Hozir  interpolyasion  formulalarni  mana  shu  g’oyaga  asoslangan  holda  tuzish 
bilan 
shug’ullanamiz. 
Bunday 
interpolyasion 
ko’phadlarning 
chiziqli 
kombinasiyalarini olib, ayrim hollarda aniqlikni tushirmasdan ko’phadning darajasini 
pasaytirish  mumkin.  Biz  dastlab  shu  metodga  asoslangan  Gauss  interpolyasion 
formulalarini chiqaramiz. Agar funksiya 
 nuqtada interpolyasiyalansa, u 
holda  interpolyasiya  tugunlarini 
  tartibda  olish 
ma’quldir. Chunki ixtiyoriy   uchun shu tugunlarning avvalgi   tasini olsak, ular   
ga  eng  yaqin  turgan  nuqtalardan  iborat  bo’lib,  shu  nuqtalar  bo’yicha  tuzilgan 
interpolyasion  ko’phadning  xatosi,  ixtiyoriy  boshqa  tartibda  olingan  nuqtalar 
bo’yicha tuzilganidan kichik bo’ladi. 
Gaussning birinchi interpolyasion formulasini tuzishda 
 ta  
i
x
x

x
)
(
)
1
(


n
f


)
(
1
x
n

i
n
i
x
x
П

0
x
)
(x
f
x
n
)
(
1
x
n

k
n
2

x
k
1
2 
 k
n
x
k








2
0
,
0
h
x
x
x
kh
x
kh
x
h
x
h
x
x




0
0
0
0
0
,
,
.
.
.
,
,
,
n
n
x
1
2 
n

 
134
 
nuqtalar  uchun  Nyutonning  teng  bo’lmagan  oraliqlar  uchun  interpolyasion 
formulasini yozamiz: 
 
 
. 
(15.2) 
Bunda 
  deb,  bo’lingan  ayirmalarning  chekli  ayirmalar  orqali  ifodasidan 
foydalansak, u holda 
 
 
 (15.3) 
hosil  bo’ladi.  Bu  Gaussning  birinchi  interpolyasion  formulasi  yoki  Gaussning  olga 
interpolyasion formulasi deyiladi. Bu formula (15.1) nuqtalar uchun tuzilgan Lagranj 
formulasining  o’zi  bo’lib  faqat  boshqacha  tartibda  yozilganidir.  Shuning  uchun  ham 
bu formulaning qoldiq hadini bevosita yoza olamiz: 
.   
 
(15.4) 
(15.3)  formulada  qatnashadigan  ayirmalar  1-jadvalda  strelkalarning  yo’nalishi 
bo’ylab  pastki  «siniq  satrni»  tashkil  etadi.  Agar  biz  (15.1)  nuqtalarni  boshqacha 
tartibda,  ya’ni 
  kabi  olsak,  u  vaqtda 
 
nuqtada  interpolyasiyalash  uchun  yaxshi  natija  beradigan  Gayssning  ikkinchi 
interpolyasion formulasi yoki orqaga interpolyasiyalash formulasi 
 
                 
(15.5) 
ga ega bo’lamiz. 
Bu formulada qatnashadigan chekli ayirmalar 1 - jadvalda ustki «siniq satr»ni tashkil 
etadi. Uning qoldiq hadi esa 
 
 
(15.6) 
ga  teng.  Gaussning  har  ikkala  formulasini  qo’shib  yarmini  olsak,  quyidagiga  ega 
bo’lamiz: 
 
,   
 
 
(15.7) 
chunki 
kh
x
kh
x
h
x
h
x
x




0
0
0
0
0
,
,
.
.
.
,
,
,








)
)(
)(
,
,
(
)
)(
,
(
)
(
)
(
1
0
1
1
0
0
1
0
0
2
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
f
x
L
n














)
)(
)(
)(
)(
,
,
,
,
(
)
)(
)(
,
,
,
(
2
1
1
0
2
2
1
1
0
1
1
2
1
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
f
)
)(
(
.
.
.
)
)(
)(
,
,
.
.
.
,
,
,
(
...
)
1
(
1
0
1
1
0
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f










th
x
x


0











.
.
.
!
3
)
1
(
2
)
1
(
)
(
)
(
2
3
2
/
1
2
0
2
/
1
0
0
2
0
2
t
t
f
t
t
f
t
f
f
th
x
L
th
x
G
n
n
!
)
2
(
)
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
!
)
1
2
(
]
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
2
2
2
2
0
2
2
2
1
2
2
/
1
n
n
t
n
t
t
t
f
n
n
t
t
t
f
n
n











)
(
.
.
.
)
1
(
!
)
1
2
(
)
(
2
2
2
1
2
)
1
2
(
2
n
t
t
t
n
h
f
R
n
n
n







nh
x
nh
x
h
x
h
x
x




0
0
0
0
0
,
,
.
.
.
,
,
,
]
,
2
[
0
0
x
h
x
x















.
.
.
!
3
)
1
(
!
2
)
1
(
)
(
)
(
2
3
2
1
1
0
1
2
1
0
0
2
0
2
t
t
f
t
t
f
t
f
f
th
x
L
th
x
G
n
n
!
)
2
(
)
](
)
1
(
[
.
.
.
)
2
)(
1
(
!
)
1
2
(
]
)
1
(
[
.
.
.
)
2
)(
1
(
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
1
2
2
1
n
n
t
n
t
t
t
t
f
n
n
t
t
t
t
f
n
n














)
(
.
.
.
)
2
)(
1
(
!
)
1
2
(
)
(
2
2
2
2
2
1
2
)
1
2
(
2
n
t
t
t
t
h
n
f
R
n
n
n





















!
)
1
2
(
]
)
1
(
[
.
.
.
)
2
)(
1
(
.
.
.
2
)
(
2
2
2
2
2
1
2
0
2
2
0
1
0
0
0
2
n
n
t
t
t
t
f
t
f
t
f
f
th
x
L
n
n


!
)
2
(
]
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
2
2
2
2
2
0
n
n
t
t
t
f
n





 
135
 
     
va  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1- jadval