Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Mustaqil ishlash uchun savollar 
1.  Funksional gradiyent. 
2.  Gradiyentlar metodi. 
3.  Xos qiymat va xos vektorlar. 
 
11-ma’ruza 
 
MATRISALARNING XOS SON VA XOS VEKTORLARINI HISOBLASh 
Reja: 
2
1
1
1
1
1
)
(
4
1
















n
i
i
i
i
n
j
j
j
n
i
i
i
d
d
d








1
)
(


0


)
,
1
(

1








m
M
M
m
,
M
m


m
M


m
M
M
m

1


i
i


2
2
1
1
1
1
4
1
4
1





































m
M
M
m
d
m
M
M
m
d
d
n
i
i
n
j
j
j
n
i
i
i


q
m
M
M
m
x
f
x
f
x
f
x
f
1
4
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
1
(
)
0
(
)
0
(














1
0

 q
c
x
f
x
f



)
(
)
(
)
0
(
c
q
x
f
x
f
q
x
f
x
f
)
1
(
)]
(
)
(
)[
1
(
)
(
)
(
)
0
(
)
1
(








k
c
q
x
f
x
f
k
k
)
1
(
)
(
)
(




)
(k
x

x
)
,
(
)
,
(
x
x
m
x
x
A

)
,
(
1
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
3
)
(











x
x
b
x
A
m
x
x
x
x
x
x
k
k
k
k
k
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(






x
f
x
f
x
x
b
x
A
k
k
k
k
k
k
k
m
M
m
M
m
c
q
m
c
x
f
x
f
m
x
x
2
)
(
2
3
)
(
)
1
(
)]
(
)
(
[
1

















 
113
1.  Xos son va xos vektorlarini topish masalasi. 
2.  A.N.Krilov metodi. 
3.  A.N.Krilov  metodi  yordamida  matrisaning  xos  son  va  xos  vektorlarini 
topish. 
 
Tayanch  iboralar:  Xos  qiymat,  xos  vektor,  minimal  ko’phad,  diagonal  minor, 
nol bo’lmagan vektor. 
 
Agap biror noldan farqli   vektor uchun 
 
 
 
 
 
(11.1) 
tenglik  bajarilsa,  u  holda 
  son  A  kvadrat  matrisaning  xos  soni  yoki  xarakteristik 
soni  deyiladi.  Bu  tenglikni  qanoatlantiradigan  har  qanday  noldan  farqli    vektor  A 
matrisaning 
 xos soniga mos keladigan xos vektori deyiladi. Ko’rinib turibdiki, agar 
 xos vektor bo’lsa, u holda 
 ( — ixtiyoriy son) vektor ham xos vektor bo’ladi. 
Matrisaning  xos  soni  va  xos  vektori  haqidagi  ma’lumotlar  matematikada  va  uning 
boshqa  sohalardagi  tatbiqlarida  ham  keng  qo’llaniladi.    Bu  yerda  iterasion 
prosessning yaqinlashishi va yaqinlashish tezligi V matrisaning moduli bo’yicha eng 
katta xos sonining miqdoriga bog’liq edi. 
Astronomiya,  mexanika,  fizika,  ximiyaning  qator  masalalarida  ayrim 
matrisalarning  barcha  xos  sonlarini  va  ularga  mos  keladigan  xos  vektorlarini  topish 
talab qilinadi. Bunday masala xos sonlarning to’liq muammosi deyiladi. 
Ayrim  masalalarda  esa,  masalan,  yadro  masalasida,  matrisaning  moduli 
bo’yicha  eng  katta  yoki  eng  kichik  xos  sonini  topish  talab  qilinadi.  Tebranuvchi 
jarayonlarda  esa  matrisa  xos  sonlarining  modullari  bo’yicha  ikkita  eng  kattasini 
aniqlashga  zaruriyat  tug’iladi.  Matrisalarning  bitta  yoki  bir  nechta  xos  son  va  xos 
vektorlarini topish xos sonlarining qismiy muammosi deyiladi. 
Bir jinsli (11.1) sistemaning noldan farqli yechimi mavjud bo’lishi uchun 
  
 
(11.2) 
shart  bajarilishi  kerak.  Bu  tenglama  odatda  A  matrisaning  asriy  (bu  termin 
ayetronomiyadan  kirib  qolgan)  yoki  xarakteristak  tenglamasi  deyiladi.  (11.2) 
tenglamannng chap tomoni 
 
 
(11.3) 
-darajali  ko’phad  bo’lib,  u  A  matrisaning  xarakteristik  ko’phadi  deyiladi.  Ayrim 
hollarda (11.3) ko’phad o’rnida A matrisaning xos ko’phadi deb ataluvchi 
 
 
 
(11.4) 
ko’phad bilan  ish ko’riladi. Matrisaning  xos sonlari  uning  xos ko’phadining  ildizlari 
bo’ladi.  (11.4)  ko’phad 
-  darajali  bo’lganligi  uchun  u 
  ta  ildizga  ega.  A 
matrisaning 
 xos soniga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun 
 
 
 
 
 
(11.5) 
x
x
x
A



x

x
x
a
a
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
det(
)
(
2
1
2
22
21
1
12
11












nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
E
A
D
)
.
.
.
(
)
1
(
)
det(
2
2
1
1
n
n
n
n
n
p
p
p
E
A













n
n
n
n
n
p
p
p
p







.
.
.
)
(
2
2
1
1




n
n
i

0
)
(


x
E
A
i


 
114
bir  jinsli  tenglamalar  sistemasning  noldan  farqli  yechimini  topish  kerak.  Shunday 
qilib,  xos  son  va  xos  vektorlarni  topish  masalasi  uch  bosqichdan  iborat:  1) 
  ni 
qurish,  2) 
  tenglamani  yechib,  barcha 
  xos  sonlarni  topish,  3) 
barcha 
 larga  mos kelgan xos vektorlarni (11.5) dan topish. Bu bosqichlarning har 
biri yetarlicha murakkab hisoblash masalalaridan iboratdir. Haqiqatan ham, 
 (11.2) 
determinantning  har  bir  satri  va  har  bir  ustunida  qatnashganligi  uchun,  bunday 
determinantni 
 ning darajalariga nisbatan yoyib chiqish, ya’ni (11.3) tenglikni hosil 
qilish  katta  qiyinchilnk  tug’diradi.  Algebradan  ma’lumki,  umumiy  holda, 
  ning 
koeffisiyentlarini A matrisaning 
 ishora bilan olingan  - tartibli bosh minoralari 
 ning yig’indisiga teng: 
  
 
(11.6) 
va hokazo. Demak,  
.   
 
 
 
(11.7) 
Yaqqol  ko’rish  mumkinki,  A  matrisaning  -tartibli  diagonal  minoralarining  soni 
 
ga  teng.  Demak, 
-tartibli  matrisani  xos  ko’phadi 
  ning  kozffisiyentlarini 
bevosita hisoblash uchun 
 
ta  har  xil  tartibli  determinantlarni  hisoblash  kerak.  Yetarlicha  katta 
  uchun  bu 
masela katta xisoblashlarni talab qiladi. 
Viyet teoremasidan foydalgnib, quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin: 
 
Bu tengliklarni (11.6) tengliklarning birinchisi va (11.7) tekglik bilan solishtirsak, 
 
kelib chiqadi. 
Shunday  qilib,  matrisaning  barcha  xos  sonlarining  yig’nndisi  uning  izi  tr  ga 
(inglizcha  trace  —  iz  so’zidan)  teng  bo’lib,  ularning  ko’paytmasi  shu  matrisaning 
determinantiga teng. Bu yerdan xususiy holda quyidagi kelib chiqadi: A matrisaning 
hyech bo’lmaganda birorta xos soni nolga teng bo’lishi uchun 
 bo’lishi zarur 
va kifoyadir. 
Xos son va xos vektorlarni topish metodlari ikki gruppaga bo’linadi: aniq yoki 
to’g’ri metodlar va iterasion metodlar. Biriichi gruppaga kiradigan metodlar bo’yicha 
matrisaning  xos  ko’phadi  topiladi  (ya’ni 
  koeffisiyentlar  hisoblanadn), 
keyin  uning  ildizlarini  topib  xos  sonlarni  hosil  qilinadi  va  nihoyat,  xos  sonlardan 
foydalanib  xos  vektorlar  quriladi.  Bu  metodlarning  aniq  metodlar  deyilishiga  sabab 
shundan  iboratki,  agar  matrisa  elementlari  aniq  berilgan  bo’lsa  va  hisoblashlar  aniq 
olib  borilsa,  natijada  xarakteristik  ko’phad  koeffisiyentlarining  qiymatlari  ham  aniq 
)
(

P
0
)
(


P
)
,
1
(
n
i
i


i



)
(

P
1
)
1
(


i
i
i
p











l
k
j
ll
lk
lj
kl
kk
kj
jl
jk
jj
k
j
kk
kj
jk
jj
n
j
jj
a
a
a
a
a
a
a
a
a
p
a
a
a
a
p
a
p
3
2
1
1
,
,
A
p
n
n
det
)
1
(
1



i
i
n
C
n
)
(

P
1
2
.
.
.
2
1





n
n
n
n
n
C
C
C
n
.
)
1
(
.
.
.
,
.
.
.
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
p
p














A
A
tr
a
a
a
n
nn
n
det
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
2
1
22
11
2
1
















0
det

A
n
p
p
p
,
.
.
.
,
,
2
1

 
115
topiladi  va  xos  vektorlarning  komponentlari  xos  sonlar  orqali  aniq  formulalar  bilan 
ifodalanadi. Aniq metodlar, odatda, xos sonlarning to’liq muammosini yechish uchun 
qo’llaniladi. 
Iterasion 
metodlarda 
xarakteristik 
sonlar 
xarakteris-tik 
ko’phad 
koeffisiyentlarini  aniqlamasdan  turib,  bevosita  hisoblanadi.  Bu  esa  hisoblash 
masalasini  juda  soddalashtiradi:  yuqori  darajali  algebraik  tenglamalarni  yechishdan 
ozod qiladi. Iterasion metodlarda xos sonlarni hisoblash bilan bir vaqtda xos vektorlar 
ham  topiladi.  Bu  metodlarning sxemasi  iterasion  xarakterga ega.  Bu  metodlarda  xos 
son va xos vektorlar sonli va vektorlar ketma-ketligining limiti sifatida topiladi. 
A.N.Krilov metodi. 
 
Akademik  A.N.Krilov  1931  yilda  xos  sonlar  muammosini  yechishning  qulay 
metodini  yaratadi.  U  o’z  metodining  g’oyasini  tushuntirish  uchun  berilgan  matrisa 
bilan  bog’liq  bo’lgan  oddiy  differensial  tenglamalar  sistemasini  kiritadi  va  uning 
ustida  almashtirish  olib  boradi.  Bu  almashtirishning  algebraik  mohiyatini  aniqlash 
bilan 
N.N.Luzin, 
I.N.Xladovskiy, 
F.R.Gantmaxer, 
D.K.Faddevlar 
shug’ullanishgan.Biz  bu  yerda  A.N.Krilov  metodining  manna  shu  algebraik 
interpretasiyasini ko’rib chiqamiz. 
 
Matrisalarning  minimal  ko’phadlari.  Avval  chiziqli  algebradan  ayrim  ta’rif 
va teoremalarni keltiramiz. Agar   kvadrat matrisa uchun 
 
tenglik o’rinli bo’lsa, u holda 
 
ko’phad 
  matrisa  uchun  nolga  aylantiruvchi  ko’phad  deyiladi.  Faqat  keltirilgan, 
ya’ni  bosh  koeffisiyenti  birga  teng  bo’lgan  ko’phadlarni  qaraymiz.  Bunday 
ko’phadlarning to’plami bo’sh emas, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra   matrisaning 
xos  ko’phadi 
  uning  nolga  aylantiruvchi  ko’phadlaridir: 
.  Demak, 
-
tartibli  ixtiyoriy  kvadrat  matrisa  uchun 
-darajali  nolga  aylantiruvchi  ko’phad 
mavjud. Bunday ko’phad yagona emas, chunki agar 
 ga bo’linadigan har qanday 
boshqa  ko’phad  ham  nolga  aylantiruvchi  ko’phad  bo’ladi. 
  matrisani  nolga 
aylantiruvchi  ko’phadlar  orasida  eng  kichik  darajaga  ega  bo’lgan  yagona 
 
ko’phad mavjud. Bu ko’phad 
 matrisaning minimal ko’phadi deyiladi. Har qanday 
nolga  aylantiruvchi  ko’phad,  shu  jumladan 
  matrisaning  xos  ko’phadi 
  ham 
minimal ko’phadga bo’linadi. Minimal ko’phadning ildizlari xos ko’phadning barcha 
bir-biridan farqli ildizlaridan iboratdir.  
 
Yana  quyidagi  tushunchani  kiritamiz.  Faraz  qilaylik, 
  biror  vektor  bo’lsin. 
Ma’lumki, 
  o’lchovli  fazoda 
  tadan  ortiq  chiziqli  erkli  vektor  bo’lishi  mumkin 
emas. Shuning uchun 
 
 
 
 
(11.8)  
vektorlar  orasida  chiziqli  bog’lanish  mavjuddir.  Hattoki,  ixtiyoriy 
  vektor  uchun 
ham 
 
 
 
 
 
(11.9) 
chiziqli  bog’lanish  mavjud.  Demak, 
  matrisaning 
  minimal  ko’phadining 
darajasi   dan kichik bo’lsa, (11.8) sistemada chiziqli erkli vektorlarning soni   dan 
A
0
.
.
.
)
(
1
1
1
0








E
a
A
a
A
a
A
a
A
f
m
m
m
m
n
m
m
a
a
a
f





.
.
.
)
(
1
1
0



A
A
)
(

P
0
)
(

A
P
n
n
)
(

P
A
)
(


A
A
)
(

P
c
n
n
c
A
c
A
c
A
c
n
,
.
.
.
,
,
,
2
c
0
)
(

c
A

A
)
(


n
n

 
116
kichikdir. Berilgan   vektor uchun 
   
 
 
 
(11.10) 
tenglikni  qanoatlantiradigan 
  ko’phadlar  orasida  bosh  koeffisiyenti  birga  teng 
bo’lgan eng kichik darajali yagona 
 ko’phad mavjudki, uning uchun 
 
tenglik o’rinli bo’ladi. Bunday ko’phad   vektorning minimal ko’phadi deyiladi va u 
(11.10)  tenglikni  qanoatlantiruvchi 
  ko’phadning  bo’luvchisi  bo’ladi.  Xususiy 
holda,  ixtiyoriy    vektorning  minimal  ko’phadi 
 
  matrisa  minimal  ko’phadi 
  ning  bo’luvchisi  bo’ladi.  Agar  (11.8)  sistemada 
  vektorlar 
chiziqli erkli bo’lib, 
 ularga chiziqli bog’liq bo’lsa,  
, 
u holda  
 
ko’phad 
  matrisaning  minimal  ko’phadi 
  ga  yoki  uning  bo’luvchisi 
  ga 
teng. 
 
Minimal  ko’phadni  topish.  Endi  A.N.Krilov  metodini  ko’rib  chiqamiz. 
Ixtiyoriy noldan farqli 
 vektorni olib, 
  
 
 
(11.11) 
vektorlar ketma-ketligini tuzamiz. Yuqorida aytganimizdek, bu vektorlar orasida 
 
 
 
(11.12) 
chiziqli kombinasiya mavjuddir. Agar buni koordinatalarda yozib olsak, 
 
larni topish uchun quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz: 
 
 
 
(11.13) 
Bu sistemaning determinanti 
 
faqat 
  vektorlar  chiziqli  erkli  bo’lgandagina  noldan  farqlidir, 
chunki bu determinantning ustunlari shu vektorlar koordinatalaridan tuzilgan. 
Agar  Gauss  metodining  to’g’ri  yurishidagi  barcha    qadam  bajarilib,  (11.13) 
sistema quyidagi 
c
0
)
(

c
A

)
(


)
(

 c
0
)
(

c
c


c
)
(


c
)
(


c
A
)
(


c
A
c
A
c
A
c
m 1
2
,
.
.
.
,
,
,

c
А
m
c
A
q
c
A
q
c
q
c
А
m
m
m
m
1
1
1
.
.
.






0
.
.
.
1
2
2
1
1









m
m
m
m
m
q
q
q
q




A
)
(


)
(


с
)
,
.
.
.
,
,
(
0
02
01
)
0
(


n
c
c
c
c
)
,
1
(
)
,
.
.
.
,
,
(
2
1
)
1
(
)
(
n
i
c
c
c
c
A
c
in
i
i
i
i





)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
.
.
.
n
n
n
n
c
c
q
c
q
c
q






n
q
q
q
,
.
.
.
,
,
2
1

























.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
0
,
2
2
,
1
1
2
02
2
,
2
2
2
,
1
1
1
01
1
,
2
2
1
,
1
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
c
q
c
q
c
q
c
c
q
c
q
c
q
c
c
q
c
q
c
q
n
n
n
n
c
c
c
c
0
,
1
01
1
,
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.




)
0
(
)
2
(
)
1
(
,
.
.
.
,
,
c
c
c
n
n


n

 
117
 
 
 
(11.14) 
uchburchak  shaklga  keltirilsa,  u  holda 
  bo’lib, 
  vektorlar 
chiziqli  erklidir.  U  vaqtda  (11.14)  sistemadan  qaralayotgan  kombinasiyaning 
koeffnsiyentlari 
 ni topa olamiz. 
Agar Gauss metodidagi to’g’ri yurishning faqat 
 ta qadami bajarilsa, u holda 
faqat avvalgi 
 ta 
 torlar chiziqli erkli bo’ladi. Kerakli 
 
chiziqli kombinasiyani koordinatalarda yozib olamiz: 
 
 
 
 (11.15) 
Bu sistemadan Gauss metodi yordamida 
 ta chiziqli erkli tenglamalarni ajratib olib, 
 kogffisiyentlarki topamiz. 
Shunday  qilib,  biz 
  bo’lganda  A  matrisaning  xos  ko’phadini  va 
 
bo’lganda  uning  bo’luvchisini  topishimiz  mumkin.  Avval 
  bo’lgan  holni 
ko’raylik. Bu xolda (11.12) chiziqli kombinasiyaning 
 koeffisiyentlari 
 
xos ko’phadning mos ravishda 
 koeffisiyentlariga teng: 
. 
Haqiqatan ham, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra 
. 
Bu tenglikni 
 vektorga ko’paytirib va 
 
larni hisobga olib, 
 
ga ega bo’lamiz. Bu tenglikni (11.12) dan ayirib, 
   
(11.16) 
ni hosil qilamiz. 
  vektorlar  chiziqli  erkli  bo’lganligi  uchun  (11.16)  tenglik 
faqat 
 bo’lgandagina bajariladi. 
Demak, 
 bo’lganda qurilgan chiziqli kombinasiyaning ko’rinishiga qarab, 
A  matrisaning 
  xos  ko’phadini  yozish  mumkin. 
  tenglamani  yechib 
matrisaning  barcha  xos  sonlarini  topamiz.  Agar 
  bo’lsa,  qurilgan  chiziqli 
kombinasiya 

















n
n
n
n
n
n
d
q
d
q
b
q
b
q
d
q
b
q
b
q
b
q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
23
2
1
1
3
13
2
12
1
0


)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

n
c
c
c
1
1
,
.
.
.
,
,
q
q
q
n
n

m
m
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

m
c
c
c
)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
.
.
.
m
m
m
m
c
c
q
c
q
c
q































.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
0
,
2
2
,
1
1
2
02
2
,
2
2
2
,
1
1
1
01
1
,
2
2
1
,
1
1
mn
n
m
n
m
n
m
m
m
m
m
m
m
m
m
c
c
q
c
q
c
q
c
c
q
c
q
c
q
c
c
q
c
q
c
q
m
1
1
,
.
.
.
,
,
q
q
q
m
m

n
m 
n
m 
n
m 
n
q
q
q
,
.
.
.
,
,
2
1
n
n
n
p
p
P





.
.
.
)
(
1
1



n
p
p
p
,
.
.
.
,
,
2
1
)
,
.
.
.
,
2
,
1
(
n
i
p
q
i
i


0
.
.
.
)
(
1
1






E
p
A
p
A
A
P
n
n
n
)
0
(
c
)
,
...
,
2
,
1
(
)
(
)
0
(
n
i
c
c
A
i
i


)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
.
.
.
n
n
n
n
c
c
p
c
p
c
p






0
)
(
.
.
.
)
(
)
(
)
0
(
)
2
(
2
2
)
1
(
1
1









c
p
q
c
p
q
c
p
q
n
n
n
n
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

n
c
c
c
)
,
.
.
.
,
2
,
1
(
n
i
q
p
i
i


n
m 
)
(

P
0
)
(


P
n
m 

 
118
 
 
 
(11.17) 
ko’rinishga ega bo’dadi. Endi 
 larni hisobga olib (2.10) 
tenglikni  
 
yoki 
 
ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda 
. 
Demak,  izlanayotgan kombinasiyaning koeffisiyentlari 
 
 vektorning 
minimal ko’phadi 
 ning koeffisiyentlaridir. Bunday ko’phad 
 
vektorlar chiziqli erk-li bo’lganligi uchun yagonadir. 
Shunday qilib, 
 bo’lganda biz 
 ning 
 bo’luvchisini topamiz va 
 tenglamani  yechib,  matrisaning  bir  qism  xos sonlarini topamiz. Dastlabki 
  vektorni  boshqacha  tanlab,  qolgan  xos  sonlarni  ham  topish  mumkin.  Shu  bilan 
birga  yangi  tanlangan  vektor  oldin  aniqlangan  vektorlarning  chiziqli  kombinasiyasi 
bo’lmasligi kerak.