Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

 
 
 
 
 
 
0 
0,6 
0,44 
0,95 
1 
1.6 
1 
0,881 
0,754 
0,892 
1,851 
1,72 
2 
0,9884 
0,9482 
1 ,0029 
1,9147 
1,9859 
3 
0,9904 
0,9814 
0,9. 508 
1 ,9939 
1,9854 
4 
0,99944 
0,99753 
0,99769 
1,99364 
1 ,99897 
5 
0,99839 
0,99865 
0,99929 
1,99954 
1 ,99970 
6 
0,99986 
0,99989 
0,99977 
1,99976 
1,99960 
7 
0,999934 
0,999920 
1,000018 
1,999788 
1 ,999947 
8 
0,999974 
0,999951 
0,999976 
2,000042 
1,999978 
 
Bu  jadvaldan  ko’ramizki  8-iterasiya 
; 
; 
  =  0,99998; 
  = 
2,00004; 
  =  1,99998  yechimdan  iborat.  Bu  topilgan  taqribiy  yechim  aniq  yechim 
, 
  dan  beshinchi  xonaning  birliklari  bo’yichagina 
farqlanyapti. 
Zeydel  metodi.  Zeydel  metodi  chiziqli  bir  qadamli  birinchi  tartibli  iterasion 
metoddir.  Bu  metod  oddiy  iterasiya  metodi-dan  shu  bilan  farq  qiladiki,  dastlabki 
yaqinlashish 
 ga ko’ra 
 ni topamiz. So’ngra (
)' ga 
ko’ra 
  topiladi  va  h.  k.  Barcha 
  lar  aniqlanganidan  keyin 
  lar 
topiladi. Aniqroq aytganda, hisoblashlar quyidagi sxema bo’yicha olib boriladi: 
 
Endi  Zeydel  metodining  yaqinlashish  shartini  ko’rib  chiqaylik.  Bu  shart  quyidagi 
teorema bilan beriladi. 
5-teorema. Zeydel metodining yaqinlashishi uchun 
                                             (9.26) 
tenglamaning  barcha  ildizlari  modullari  bo’yicha  birdan  kichik  bo’lishi  zarur  va 
kifoyadir. 
Isbot. Berilgan A matrisani ikkita 
k
)
(k
i
x
)
(
2
k
x
)
(
3
k
x
)
(
4
k
x
)
(
5
k
х
99997
,
0
1

x
99995
,
0
2

x
3
х
4
x
5
x
1
3
2
1






x
x
x
2
5
4




x
x
)
,
.
.
.
,
,
(
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
n
x
x
x
)
1
(
1
х
)
0
(
)
0
(
2
)
1
(
1
,
.
.
.
,
,
n
x
x
x
)
1
(
2
x
)
1
(
i
x
.
.
.
,
,
)
3
(
)
2
(
i
i
x
x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
1
1
)
1
(
)
1
(
1
)
(
1
1
)
1
(
)
1
(
3
)
(
22
2
)
1
(
1
22
21
22
2
)
1
(
2
2
)
(
11
1
11
1
)
1
(
1






























n
j
k
j
nn
nj
nn
n
k
n
n
i
j
k
j
ii
ij
i
j
k
j
ii
ij
ii
i
k
i
n
j
k
j
j
k
k
n
j
k
j
j
k
x
a
a
a
b
x
x
a
a
x
a
a
a
b
x
x
a
a
x
a
a
a
b
x
x
a
a
a
b
x
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
2
1
2
23
22
21
1
13
12
11








nn
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

 
104
 
matrisalar yig’indisi 
 shaklida yozib olamiz. U holda 
 sistemani 
 
shaklda yozish mumkin. Zeydel metodi esa 
                                                    (9.27) 
ko’rinishdagi iterasiyadan iboratdar. Bu tenglikni 
 ga nisbatan yechsak: 
.                                                 (9.28) 
Bu  esa,  Zeydel  metodining  matrisasi  — 
  bo’lgan  oddiy  iterasiyaga  teng  kuchli 
ekanligini  ko’rsatadi.  Demak,  1-teoremaga  ko’ra  Zeydel  metodining  yaqinlashuvchi 
bo’lishi  uchui  — 
  matrisaning  barcha  xos  sonlari  modullari  bo’yicha  birdan 
kichik bo’lishi zarur va kifoyadir. Shuning uchun ham 
                                                     (9.29) 
tenglamaning  barcha  ildizlari  modullari  bo’yicha  birdan  kichik  bo’lishi  kerak.  Agar 
bu tenglama ildielarining ushbu 
                                                        (9.30) 
tenglama ildizlari bilan ustma-ust tushishini ko’rsatsak, teorema isbot bo’ladi. Bu sea 
quyidagicha ko’rsatiladi: 
 
Bu yerda 
 bo’lganligi uchun (9.29) va (9.30) bir xil ildizlarga ega. 
Agar  biz  (9.28)  ni 
  deb  olib,  oddiy  iterasiya  metodi  bilan 
yechadigan bo’lsak, u holda (9.28) jarayonning yaqinlashishi uchun 
                                                  (9.31) 
tenglamannng barcha 
 ildizlari modullarn bo’yicha birdan kichik bo’lishi 
kerak. 
(9.26)  va (9.31) tenglamalarni solishtirib ko’rsak, oddiy  iterasiya  metodi bilan 
Zeydel  metodining  yaqinlashish  sohalari,  umuman,  farqli  degan  fikrga  kelamiz. 
Haqiqatan  ham,  shunday  sistemalar  mavjudki,  ular  uchun  oddiy  iterasiya  metodi 
yaqinlashadi,  Zeydel  metodi  esa  uzoqlashadi  va  aksincha  shunday  sistemalarni 
keltirish  mumkinki,  ular  uchun  Zeydel  metodi yaqinlashuvchi bo’lib, oddiy  iterasiya 
metodi uzoqlashadi. 
Lekin  (9.21)  yoki  (9.22)  shartlarning  birortasi  bajarilsa,  oddiy  iterasiyaga 
nisbatan Zeydel  metodi tezroq yaqnnlashadi. Bu quyidagi teoremada yanada aniqrok 
ifodalangan. 
 
 





























0
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
0
0
.
.
.
0
0
,
.
.
.
0
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
2
1
1
,
2
1
,
1
12
1
,
2
22
1
21
11
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
D
a
a
a
a
a
a
a
C
D
C
A


b
x
A 
b
x
D
x
C



b
x
D
x
C
k
k




)
(
)
1
(
)
1
( 
k
х
b
C
x
D
C
x
k
k
1
)
(
1
)
1
(






D
C
1

D
C
1

0
)
det(
1



D
C
E

0
)
det(

 D
C

).
det(
det
)]
(
det[
)]
(
det[
)
det(
1
1
1
1
1
D
C
C
D
C
C
D
C
E
C
C
D
C
E

















0
det
1


С
c
x
B
x
k
k



)
(
)
1
(
0
.
.
.
~
~
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
~
.
.
.
~
~
.
.
.
~
2
1
2
12
1
21







n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
n



,
.
.
.
,
,
2
1

 
105
6-teorema. Agar quyidagi 
 
shartlarning  birortasi  bajarilsa,  u  holda  ixtiyoriy  dastlabki  yaqinlashish 
  uchun 
Zeydel  metodi  yaqinlashadi  va  bu  yaqinlashish  birinchi  shart  bajarilganda  oddiy 
iterasiya metodining yakinla» shishidan sekin emas. 
Isbot. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 
.                                         (9.32) 
Faraz  qilaylik,  birinchi  shart  bajarilsin  u  holda 
  bo’ladi.  Bu  belgilashlarda 
Zeydel metodi ushbu 
                                             (9.33) 
sxema  bo’yicha  olib  boriladi.  Bundan  tashqari  teoremaning  birinchi  sharti 
bajarilganda 
  sistema  yagona  yechimga  ega,  bu  yechimni  masalan,  oddiy 
iterasiya bilan topish mumkin. Demak, 
                                                       (9.34) 
(9.34) dan (9.33) ni ayirib modullarga o’tsak, 
 
kelib chiqadi. Quyidagi 
 
belgilashlarni kiritsak,  
.                                         (9.35) 
bo’ladi. Faraz qilaylik, 
 ga 
 bo’lganda erishilsin: 
. 
U vaqtda (8.35) da 
 deb olib, 
 
yoki 
 
tengsizlikka ega bo’lamiz. Agar 
 
deb olsak, u holda 
1
max
,
1
max
,
1
,
1








n
j
i
i
ii
ij
j
n
i
j
j
ii
ij
i
a
a
a
a
)
0
(
х







n
i
j
j
ij
i
ii
i
i
ii
ij
ij
a
b
a
a
,
1
max
,
,




1


i
n
i
j
k
j
ij
i
j
k
j
ij
k
i
x
x
x














1
)
(
1
1
)
1
(
)
1
(
c
x
B
x


i
n
i
j
j
j
ij
i
x
x






 ,
1



































n
i
j
ij
k
i
j
ij
k
n
i
j
ij
j
k
j
j
i
j
ij
k
j
j
j
n
i
j
k
j
i
ij
i
j
k
j
j
ij
k
i
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
i
x
x
1
1
)
(
1
1
1
)
1
(
1
)
(
1
1
)
(
1
)
(
1
1
)
1
(
)
1
(
max
max
|
|














n
i
j
ij
i
i
j
ij
i
q
p
1
1
1
,


1
)
(
1
)
1
(
)
1
(
|
|
k
i
k
i
k
i
i
x
x
q
x
x
p
x
x







)
1
(
max


k
i
i
i
x
x
)
(k
s
s
i


1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
|
|
max
|
|








k
k
i
i
i
k
s
s
x
x
x
x
x
x
s
i 
1
)
(
1
)
1
(
1
)
1
(
k
s
k
s
k
x
x
q
x
x
p
x
x







1
)
(
1
)
1
(
1
k
s
s
k
x
x
p
q
x
x





i
i
i
p
q


1
max
1


 
106
                                                   (9.36) 
tengsizlikka ega bo’lamiz. 
Endi 
 ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, (9.32) ga ko’ra 
 
bo’lganligi uchun 
. 
Demak,  
. 
Bundan esa 
                                                          (9.37) 
kelib chiqadi. (9.36) tengsizlikdan 
 
yai hosil qilamiz. Bu esa teoremaning birinchi sharti bajarilganda Zeydel metodining 
yaqinlashishligini  bildiradi.  (9.37)  tengsizlik  esa  Zeydel  metodishng  yaqinlashishi 
oddiy iterasiya metodiga nisbatan sekin emasligini ko’rsatadi. 
Endi 
teoremaning 
ikkinchi 
sharti 
bajarilganda 
Zeydel 
metodining 
yaqinlashishligini ko’rsatamiz. 
Biz bu yerda 
 deb olamiz. 
Faraz  qilaylik, 
  va 
  mos  ravishda 
 sistemaning yechimi va Zeydel jarayonining yaqinlashishi bo’lsin. U holda 
 
va 
 
Bulardan 
 
kelib chiqadi. Bu tengsizliklarni barcha 
 lar bo’yicha yig’amiz: 
 
hamda yig’ish tartibini o’zgartirsak, 
                                (9.38) 
Endi 
1
)
(
1
1
)
1
(
k
k
x
x
x
x






 
1
1
|
|
,
1









n
i
j
i
ij
i
i
q
p
i
i
p
q















i
i
i
i
i
i
p
p
p
p
p
q
1
1
1

 
1
1
)
0
(
1
1
)
1
(
x
x
x
x
k
k











n
j
i
i
ij
,
1
|
|


)
,
.
.
.
,
,
(
2
1


n
x
x
x
x
)
,
.
.
.
,
,
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(


k
n
k
k
k
x
x
x
x
c
x
B
x


i
n
i
j
j
ij
i
j
j
ij
i
x
x
x












1
1
1
)
,
.
.
.
,
2
,
1
(
1
)
(
1
1
)
1
(
1
)
1
(
n
i
x
x
x
i
n
i
j
k
i
ij
i
j
k
ij
k
i




























n
i
j
k
j
j
ij
i
j
k
j
j
ij
k
i
i
x
x
x
x
x
x
1
)
(
1
1
)
1
(
)
1
(
|
||
|
|
||
|
|
|


.
.
.
,
2
,
1

i
 
















n
i
n
i
j
k
j
j
ij
n
i
i
j
k
j
j
ij
n
i
k
i
i
x
x
x
x
x
x
1
1
)
(
1
1
1
)
1
(
1
)
1
(
|
||
|
|
||
|
|
|






















1
1
)
(
1
1
1
)
1
(
1
)
1
(
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j
n
i
ij
n
j
k
j
j
n
j
i
ij
n
j
k
j
j
n
i
k
i
i
x
x
x
x
x
x



 
107
 
va 
. 
deb olamiz. Ko’rinib turibdiki, 
. 
Bundan zsa, 
 kelib chiqadi. (8.38) tengsizlik quyidagi 
 
yoki 
 
ko’rinishga ega bo’ladi. 
Endi 
 bo’lganligi uchun 
 
kelib chiqadi. Bundan esa, 
 bo’lganligi uchun 
 
hosil bo’ladi. Demak, 
 
hosil bo’lib, shu bilan teorema to’liq isbot qilindi.