Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi
Matrisaning xos vektorlarini topish
Download 5.01 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- XOS SONLARNING QISMIY MUAMMOSINI YeChIShNING ITERASION METODLARI Reja
- Tayanch iboralar
- Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod.
Matrisaning xos vektorlarini topish. Endi xos vektorlarni topish masalasiga o’tamiz. Faraz qilaylik, minimal ko’phadning ildizi bo’lsin (keyingi mulohazalar va hollar uchun bir xil). A matrisaning xoc soniga mos keladigan xoc vektorini oldingi punktda topilgan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi shaklida izlaymiz: . (11.18) Bu tenglikni A ga ko’paytirib va ham tengliklarni hisobga olib, (11.19) ga ega bo’lamiz. Bundan tashqari, yana ni hisobga olsak, u holda (11.19) ni yoki ko’rinishda yozib olishimiz mumkin. Bundan vektorlarning chiziqli erkliligini hisobga olsak, ) ( ) 0 ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 . . . m m m m c c q c q c q ) , . . . , 2 , 1 ( ) 0 ( ) ( m i c A c i l 0 ) . . . ( ) 0 ( 2 2 1 1 c E q A q A q A m m m m 0 ) ( ) 0 ( ) 0 ( c A c m m m m c q q q . . . ) ( 2 2 1 1 ) 0 ( m q q q , . . . , , 2 1 ) 0 ( c ) ( ) 0 ( c ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( , . . . , , m c c c n m ) ( P ) ( ) 0 ( с 0 ) ( ) 0 ( с ) 0 ( с i m m m m c q q q . . . ) ( 2 2 1 1 ) 0 ( n m n m i ) (l x ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( , . . . , , m c c c ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 0 ( 1 ) ( . . . m im i i l c c c x ) 1 ( ) ( j j c A c ) ( ) ( i i i x x А ) ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 0 ( 1 . . . ) . . . ( m im i i m im i i i c c c c c c 0 . . . ) ( ) 0 ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( ) 0 ( ) 0 ( c q c q c q c c A m m m m c ) . . . ( . . . ) . . . ( ) 0 ( ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 , ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 0 ( 1 c q c q c q c q c c c c c c m m m m im m m i i i m im i i i 0 ) ( ) ( . . . ) ( ) ( ) 1 ( 1 1 , ) 2 ( 2 2 , 1 , ) 1 ( 1 1 2 ) 0 ( 1 m im m i im i m im m i m i i m im i i i m im i i c q c q c q c q ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( , . . . , , m c c c 119 tengliklar kelib chiqadi. Oxirgi tenglikdan boshlab, ketma-ket larni topamiz: Oxirgi tenglik barcha lar uchun o’rinlidir, chunki . Bu tenglikdan hisoblashni kontrol qilish uchun foydalanish mumkin. Hisoblashni soddalashtirish maqsadida deb olishimiz mumkin. Unda qolganlari quyidagicha topiladi: (11.20) Bularny hisoblashda Gorner sxemasidan foydalanish ma’quldir. Agar berilgan xos songa A matrisaning bir necha xos vekto ri mos kelsa, u holda ularni izlash uchun boshqa dastlabki vektorni tanlab olib, shu hisoblash jarayonini takrorlash mumkin. Mustaqil ishlash uchun savollar 1. Matrisaning xos qiymat va xos vektorlari. 2. Xos sonlarning qismiy va to’liq muammosi. 3. Aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion usullar. 0 , 0 . . . . . . . , 0 , 0 1 1 , 2 2 , 1 , 1 1 2 1 q q q q im m i im i im m i m i i m im i i i m im i i ik . 0 ) . . . ( , ) . . . ( . . . . . . . . , ) ( , ) ( 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 , 1 1 , im m m i m i im m m i m i i im i i m i im i m i q q q q q q q im 0 . . . ) ( 1 1 m m i m i i c q q 1 im . . . . . . . . . . . . , , , 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 , 1 1 , m m i m i i i i m i i m i im q q q q q i 120 12-ma’ruza XOS SONLARNING QISMIY MUAMMOSINI YeChIShNING ITERASION METODLARI Reja: 1. Qismiy muammo masalasida iterasion metodlar. 2. Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod. 3. Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish. Tayanch iboralar: simmetrik, ermit va normal matrisalar, xarakteristik tenglamalar, xususiy qiymat va vektorlar. Ta’rif. Agar -tartibli kvadrat matrisa ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega bo’lsa, bunday matrisa oddiy strukturaga ega deyiladi. Chiziqli algebradan ma’lumki, matrisalarning quyidagi sinflari oddiy strukturaga ega: 1. Simmetrik matrisa, chunki uning xos qiymatlari haqiqiy sonlar bo’lib, xos vektorlardan tuzilgan ortogonal bazis mavjuddir. 2. Ermit matrisasi, uning barcha xos sonlari haqiqiy bo’lib, xos vektorlaridan mos ravishdagi o’lchovli kompleko fazoda ortonormal bazis tuzish mumkin. 3. Normal matrisa. Agar A matrisa o’zining qo’shmasi bilan kommutativ, ya’ni bo’lsa, u holda A matrisa normal deyiladi. Umuman olganda, bu uchta sinfga tegishli matrisalardan tashqari oddiy strukturaga ega bo’lgan boshqa matrisalar xam mavjud. Biz avval moduli bo’yicha eng katta xos son va unga mos kelgan xos vektorni topish bilan shug’ullanamiz. Keyin esa moduli bo’yicha kattalik jihatdan ikkinchi o’rinda turgan xos son va unga mos keladigan xos vektorni topamiz. Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod. Faraz qilaylik, A matrisa oddiy strukturaga ega va uning xos sonlari bo’lib, ularga mos keladigan chiziqli erkli xos vektorlar bo’lsin. Bu yerda to’rt holni ko’rib chiqamiz: 1-hol. A matrisaning xos sonlaridan bittasi moduli bo’yicha eng katta bo’lsin. Umumiylikka zarar yetkazmasdan xos sonlar quyidagi tartibda joylashgan deb faraz qilishimiz mumkin: . (12.1) Biz , ning taqribiy qiymatini topish usulini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy noldan farqli vektorni olib, uni A matrisa xos vektorlari bo’yicha yoyamiz: . Bu yerdan lar o’zgarmas sonlar bo’lib, ayrimlari nol bo’lishi ham mumkin. vektor ustida matrisa yordamida almashtirish bajaramiz: n А n n A A A AA n , . . . , , 2 1 ) ( ) 2 ( ) 1 ( , . . . , , n x x x | | . . . | | | | | | 3 2 1 n 1 ) 0 ( y ) ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) 0 ( . . . n n x b x b x b y i b ) 0 ( y k A 121 . Bu yerdan ekanligini hisobga olib, (12.2) ga ega bo’lamiz. Endi o’lchovli vektorlar fazosi da ixtigriy bazis olamiz. Shu bazisda , bo’lsin. (12.2) tenglikni koordinatalarda yozib chiqamiz: (12.3) Shunga o’xshash (12.4) Bu yerda deb belgilab, (12.4) ni (12.3) ga bo’lamiz: . (12.5) Faraz qilaylik, bo’lsin, bunga erishish uchun dastlabki vektor va bazisni kerakli ravishda tanlash kerak. Endi va deb (12.5) ni quyidagicha yozamiz: . (12.6) Bu yerdan esa (12.1) ni hisobga olsak, da kelib chiqadi. Demak, (12.6) ni quyidagicha yozishimiz mumkin: . Bu yerdan esa yetarlicha katta lar uchun (12.7) deb olishimiz mumkin. Odatda vektorning bir necha koordinatalari noldan farqli bo’ladi. Shuning uchun (12.7) da nisbatni ning bir necha qiymatida hisoblash mumkin. Agar bu nisbatlar yetarli aniqlikda ustma-ust tushsa, u holda biz , ni yetarli aniqlik bilan topgan bo’lamiz. Ravshanki, bu jarayonning yaqinlashish tezligi ning kichikligiga bog’liqdir. Eslatma. Yuqoridagi iterasion jarayonning yaqinlashishini tezlashtirish uchun n j j k j k k x A b y A y 1 ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( j k j j k x x A n j j k j j k x b y 1 ) ( ) ( n n R n e e e , . . . , , 2 1 ) , . . . , , ( ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( k n k k k y y y y ) , . . . , , ( 2 1 ) ( nj j j j x x x x ) , 1 ( 1 ) ( n i x b y n j k j ij j k i n j k j ij j k i x b y 1 1 ) 1 ( ij j ij х b c k n in k i k i k n in k i k i k i k i c c c c c c y y . . . . . . 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 ) ( ) 1 ( 0 1 i c ) 0 ( y n e e e , . . . , , 2 1 1 i ij ij c c d 1 1 i k n in k i k n in k i k i k i d d d d y y . . . 1 . . . 1 2 2 1 1 2 2 1 ) ( ) 1 ( k 0 . . . 2 k k n ) | | ( 0 )] | | ( 0 1 [ )] | | ( 0 1 [ )] | | ( 0 1 [ 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( ) 1 ( k k a k k k i k i y y k ) ( ) 1 ( 1 k i k i y y ) 1 ( x i i 2 122 ayrim hollarda quyidagi matrisalar ketma-ketligini tuzish foydalidir: Bu yerdan esa deb olib, va ga ega bo’lamiz. Topilgan eng katta xos son ga mos keladigan xos vektor sifatida ni olishimiz mumkin. Haqiqatan ham, (12.2) formuladan ga ega bo’lamiz. Bu yerdan . Agar biz ekanligini hisobga olsak, u holda yetarli aniqlik bilan ga ega bo’lamiz, ya’ni xos vektor dan sonli ko’paytuvchi bilan farq qilyapti va, demak, u xoc songa mos keladigan xos vektordir. 2-hol. A matrisa xos sonining moduli bo’yicha eng kattasi karrali bo’lsin. Faraz qilaylik, bo’lsin. Bu holda (12.5) tenglik quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: . (12.8) Bu yerda ham deb faraz qilamiz va belgilashlarni kiritib, (12.8) ni quyidagicha yozamiz: . Bundan esa, ni hisobga olib, ga ega bo’lamiz. Shunday qilib, yuqorida keltirilgan jarayon bu yerda ham o’rinlidir. . . . . . . , , 1 2 1 2 2 2 2 4 2 m m m A A A A A A A A A m k 2 ) 0 ( ) ( y A y k k ) ( ) 1 ( k k y A y i ) (k y n j j k j j k k x b x b y 2 ) ( ) 1 ( 1 1 ) ( n j j k j j k k x b b x b y 2 ) ( 1 ) 1 ( 1 1 ) ( 0 k k j ) 1 ( 1 1 ) ( x b y k k ) (k y ) 1 ( х 1 | | . . . | | | | | | , . . . 2 1 1 2 1 n s s s k n in k s s i k is i k n in k s s i k is i k i k i c c c c c c c c y y . . . ) . . . ( . . . ) . . . ( 1 1 , 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 ) ( ) 1 ( 0 . . . 1 is i c c 1 1 ), ( . . . i i is i ij ij s j c c c d k n in k s s i k n in k s s i k i k i d d d d y y . . . 1 . . . 1 1 1 , 1 1 1 1 , 1 ) ( ) 1 ( 0 0 1 k k s ) | (| 0 1 ) ( ) 1 ( 1 k s k i k i y y 123 1) holdagidek A matrisaning , xos soniga mos keladigan xos vektor sifatida taqribiy ravishda ni olishimiz mumkin. Umuman aytganda, boshqa dastlabki vektorni tanlab boshqa xos vektorga ega bo’lamiz. Shunday kilib, ga mos keladigan boshqa xos vektorlarni ham topish mumkin. 3-hol. Faraz qilaylik, A matrisaning xos sonlari quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: va . Bu yerda yuqoridagi iterasion jarayonni qo’llab bo’lmaydi. Haqiqatan ham, (12.3) tenglikni quyidagicha yozish mumkin: Bu yerda va hadlar bir xil tartibga ega bo’lib, ning o’zgarishi bilan ikkinchisi o’z ishorasini o’zgartiradi. Demak, nisbat da limitga ega bo’lamaydi. Lekin bu yerda va yoki va dan foydalanib, ni topishimiz mumkin: Shunday qilib, bu holda matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonini topishimiz mumkin. A matrisaning va xos sonlarga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun va vektorlarni tuzamiz: A matrisaning xos soniga xoc vektor va xoc soniga xos vektor mos keladi. Shuning uchun ham, ga mos keladigan xos vektor sifatida ni olshshshiz mumkin. Arap va yoki bularning birortasi birdan katta bo’lsa, u holda boshqa dastlabki vektorni tanlab shu jarayonni takrorlash kerak. 4-hol. Bu holga A matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonlari qo’shma kompleks bo’lgan hol yoki modullari bilan o’zaro juda yaqin bo’lgan hol kirali. Faraz qilaylik, va xos sonlar qo’shma kompleks sonlar bo’lib, quyidagi shartni qanoatlantirsin: i ) (k y ) 0 ( y ) 0 ( y A k i p r r r i . . . . . . 1 | | . . . | | | | . . . | | 1 1 n p r p r . . . . ) 1 ( . . . ) )( . . . ( ) . . . ( 1 1 , 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 , 1 , 1 1 1 1 ) ( k n in k p r p r i k k r i k i k n in n k p r p r i p r k p r i p r r i r k ir r i k i d d d d x b x b x b x b x b x b y k i d 1 1 k k r i d 1 1 , ) 1 ( k ) ( ) 1 ( k i k i y y k ) 2 ( k i y ) 2 2 ( k i y ) 1 2 ( k i y ) 1 2 ( k i y 2 1 ). | | ( 0 ), | | ( 0 2 1 2 1 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 2 1 2 1 ) 2 ( ) 2 2 ( k p k k i k i k p k k i k i y y y y A 1 1 ) ( 1 ) 1 ( k k y y ) ( 1 ) 1 ( k k y y )]. | | ( 0 ) . . . ( 2 [ ) ( )], | | ( 0 ) . . . ( 2 [ ) ( . . . ) ( ) . . . ( 2 1 ) ( ) 1 ( 1 1 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 1 1 1 ) ( ) 1 ( 1 1 1 ) ( 1 ) 1 ( k p r p r p r r r k k k k p r r r k n n k n n p r k p r p r p r r r k k k x b x b y y x b x b x b x b x b x b y y 1 ) ( ) 1 ( 1 . . . r r x b x b 1 ) ( ) 1 ( 1 . . . p r p r r r x b x b 1 ) ( 1 ) 1 ( k k y y r p ) 0 ( y 1 2 124 . Bu holda, quyidagi taqribiy tengliklarning o’rinli ekanligiga osongina ishonch hosil qilish mumkin: (12.9) Demak, bu vektorlar orasida quyidagi taqribiy chiziqli bog’lanish mavjud: . Agar hisoblash jarayonida vekterlar orasida (12.10) chiziqli bog’lanish o’rinli bo’lsa, u holda va lar (12.11) kvadrat tenglamani qanoatlantiradi. Bu tenglamaning va koeffisiyentlarini quyidagi mulohazalar yordamida topish mumkin. (12.10) tenglikda komponentlarga o’tsak, bo’lib, deb olamiz. Bu yerdan r va q ni topib, (12.11) ga qo’ysak, u holda (12.11) ni quyidagicha yozsak bo’ladi: . (12.12) (12.11) tenglikdan va topilgandan keyin ularga mos keladigan xos vektorlarni ham topish mumkin, (12.9) dan ga ega bo’lamiz. Bu natijalarni, modullari teng yoki yaqin bo’lgan xos sonlarning soni bir juftdan ko’p bo’lgan hol uchun ham umumlashtirish mumkin. Download 5.01 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling