Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Matrisaning  xos  vektorlarini  topish.  Endi  xos  vektorlarni  topish  masalasiga 
o’tamiz. Faraz qilaylik, 
 
 
minimal  ko’phadning  ildizi  bo’lsin  (keyingi  mulohazalar 
  va 
  hollar 
uchun bir xil). A  matrisaning 
 xoc soniga mos keladigan 
 xoc vektorini oldingi 
punktda  topilgan 
  vektorlarning  chiziqli  kombinasiyasi  shaklida 
izlaymiz: 
. 
 
 
(11.18) 
Bu  tenglikni  A  ga  ko’paytirib  va 
  ham 
  tengliklarni  hisobga 
olib, 
 
(11.19) 
ga ega bo’lamiz. Bundan tashqari, yana 
 
ni hisobga olsak, u holda (11.19) ni 
 
yoki 
 
ko’rinishda  yozib  olishimiz  mumkin.  Bundan 
  vektorlarning 
chiziqli erkliligini hisobga olsak, 
)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
.
.
.
m
m
m
m
c
c
q
c
q
c
q






)
,
.
.
.
,
2
,
1
(
)
0
(
)
(
m
i
c
A
c
i
l


0
)
.
.
.
(
)
0
(
2
2
1
1







c
E
q
A
q
A
q
A
m
m
m
m
0
)
(
)
0
(
)
0
(

c
A
c

m
m
m
m
c
q
q
q







.
.
.
)
(
2
2
1
1
)
0
(





m
q
q
q
,
.
.
.
,
,
2
1
)
0
(
c
)
(
)
0
(


c
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

m
c
c
c
n
m 
)
(

P
)
(
)
0
(


с
0
)
(
)
0
(



с
)
0
(
с
i

m
m
m
m
c
q
q
q







.
.
.
)
(
2
2
1
1
)
0
(





n
m 
n
m 
i

)
(l
x
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

m
c
c
c
)
1
(
)
1
(
2
)
0
(
1
)
(
.
.
.





m
im
i
i
l
c
c
c
x



)
1
(
)
(


j
j
c
A
c
)
(
)
(
i
i
i
x
x
А


)
(
)
2
(
2
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
2
)
0
(
1
.
.
.
)
.
.
.
(
m
im
i
i
m
im
i
i
i
c
c
c
c
c
c















0
.
.
.
)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
)
0
(
)
0
(








c
q
c
q
c
q
c
c
A
m
m
m
m
c

)
.
.
.
(
.
.
.
)
.
.
.
(
)
0
(
)
1
(
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
1
(
1
,
)
2
(
2
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
2
)
0
(
1
c
q
c
q
c
q
c
q
c
c
c
c
c
c
m
m
m
m
im
m
m
i
i
i
m
im
i
i
i



























0
)
(
)
(
.
.
.
)
(
)
(
)
1
(
1
1
,
)
2
(
2
2
,
1
,
)
1
(
1
1
2
)
0
(
1



















m
im
m
i
im
i
m
im
m
i
m
i
i
m
im
i
i
i
m
im
i
i
c
q
c
q
c
q
c
q















)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

m
c
c
c

 
119
 
tengliklar kelib chiqadi. Oxirgi tenglikdan boshlab, ketma-ket 
 larni topamiz: 
 
Oxirgi tenglik barcha 
 lar uchun o’rinlidir, chunki  
. 
Bu  tenglikdan  hisoblashni  kontrol  qilish  uchun  foydalanish  mumkin.  Hisoblashni 
soddalashtirish  maqsadida 
  deb  olishimiz  mumkin.  Unda  qolganlari 
quyidagicha topiladi: 
 
 
 
 
(11.20) 
Bularny hisoblashda Gorner sxemasidan foydalanish ma’quldir. Agar berilgan 
 xos 
songa  A  matrisaning  bir  necha  xos  vekto  ri  mos  kelsa,  u  holda  ularni  izlash  uchun 
boshqa dastlabki vektorni tanlab olib, shu hisoblash jarayonini takrorlash mumkin. 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
1.  Matrisaning xos qiymat va xos vektorlari. 
2.  Xos sonlarning qismiy va to’liq muammosi. 
3.  Aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion usullar. 
 
  
 
0
,
0
.
.
.
.
.
.
.
,
0
,
0
1
1
,
2
2
,
1
,
1
1
2
1















q
q
q
q
im
m
i
im
i
im
m
i
m
i
i
m
im
i
i
i
m
im
i
i















ik

.
0
)
.
.
.
(
,
)
.
.
.
(
.
.
.
.
.
.
.
.
,
)
(
,
)
(
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
,
1
1
,



















im
m
m
i
m
i
im
m
m
i
m
i
i
im
i
i
m
i
im
i
m
i
q
q
q
q
q
q
q














im

0
.
.
.
)
(
1
1






m
m
i
m
i
i
c
q
q




1

im

























.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
,
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
,
1
1
,
m
m
i
m
i
i
i
i
m
i
i
m
i
im
q
q
q
q
q









i


 
120
12-ma’ruza 
 
XOS SONLARNING QISMIY MUAMMOSINI YeChIShNING ITERASION 
METODLARI 
 
Reja: 
1.  Qismiy muammo masalasida iterasion metodlar. 
2.  Eng  katta  xos  son  va  unga  mos  keladigan  xos  vektorni  topishda  darajali 
metod. 
3.  Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish. 
 
 
Tayanch  iboralar:  simmetrik,  ermit  va  normal  matrisalar,    xarakteristik 
tenglamalar, xususiy qiymat va vektorlar. 
 
Ta’rif.  Agar 
-tartibli 
  kvadrat  matrisa 
  ta  chiziqli  erkli  xos  vektorlarga 
ega bo’lsa, bunday matrisa oddiy strukturaga ega deyiladi. 
Chiziqli  algebradan  ma’lumki,  matrisalarning  quyidagi  sinflari  oddiy 
strukturaga ega: 
1.  Simmetrik  matrisa,  chunki  uning  xos  qiymatlari  haqiqiy  sonlar  bo’lib,  xos 
vektorlardan tuzilgan ortogonal bazis mavjuddir. 
2.  Ermit  matrisasi,  uning  barcha  xos  sonlari  haqiqiy  bo’lib,  xos  vektorlaridan  mos 
ravishdagi   o’lchovli kompleko fazoda ortonormal bazis tuzish mumkin. 
3.  Normal  matrisa.  Agar  A  matrisa  o’zining  qo’shmasi 
  bilan  kommutativ,  ya’ni 
  bo’lsa,  u  holda  A  matrisa  normal  deyiladi.  Umuman  olganda,  bu  uchta 
sinfga tegishli matrisalardan tashqari oddiy strukturaga ega bo’lgan boshqa matrisalar 
xam  mavjud.  Biz  avval  moduli  bo’yicha  eng  katta  xos  son  va  unga  mos  kelgan  xos 
vektorni  topish  bilan  shug’ullanamiz.  Keyin  esa  moduli  bo’yicha  kattalik  jihatdan 
ikkinchi o’rinda turgan xos son va unga mos keladigan xos vektorni topamiz. 
Eng  katta  xos  son  va  unga  mos  keladigan  xos  vektorni  topishda  darajali 
metod.  Faraz  qilaylik,  A  matrisa  oddiy  strukturaga  ega  va  uning  xos  sonlari 
  bo’lib,  ularga  mos  keladigan  chiziqli  erkli  xos  vektorlar 
 bo’lsin. Bu yerda to’rt holni ko’rib chiqamiz: 
1-hol.  A  matrisaning  xos sonlaridan bittasi  moduli bo’yicha eng katta bo’lsin. 
Umumiylikka  zarar  yetkazmasdan  xos  sonlar  quyidagi  tartibda  joylashgan  deb  faraz 
qilishimiz mumkin: 
. 
 
 
 
(12.1) 
Biz 
, ning taqribiy qiymatini topish usulini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy noldan farqli 
 
vektorni olib, uni A matrisa xos vektorlari bo’yicha yoyamiz: 
. 
Bu  yerdan 
  lar  o’zgarmas  sonlar  bo’lib,  ayrimlari  nol  bo’lishi  ham  mumkin. 
 
vektor ustida 
 matrisa yordamida almashtirish bajaramiz: 
n
А
n
n

A
A
A
AA



n



,
.
.
.
,
,
2
1
)
(
)
2
(
)
1
(
,
.
.
.
,
,
n
x
x
x
|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
3
2
1
n








1

)
0
(
y
)
(
)
2
(
2
)
1
(
1
)
0
(
.
.
.
n
n
x
b
x
b
x
b
y




i
b
)
0
(
y
k
A

 
121
. 
Bu yerdan 
 ekanligini hisobga olib, 
   
 
 
 
(12.2) 
ga ega bo’lamiz.  
Endi   o’lchovli vektorlar fazosi 
 da ixtigriy 
 bazis olamiz. Shu 
bazisda 
,  
 
bo’lsin. (12.2) tenglikni koordinatalarda yozib chiqamiz: 
   
 
 
    (12.3) 
Shunga o’xshash 
   
 
 
 
 (12.4) 
Bu yerda 
 deb belgilab, (12.4) ni (12.3) ga bo’lamiz:  
. 
 
 
(12.5) 
Faraz  qilaylik, 
  bo’lsin,  bunga  erishish  uchun  dastlabki  vektor 
  va 
  bazisni  kerakli  ravishda  tanlash  kerak.  Endi 
  va 
  deb 
(12.5) ni quyidagicha yozamiz: 
. 
 
     (12.6) 
Bu yerdan esa (12.1) ni hisobga olsak, 
 da 
 kelib chiqadi. 
Demak, (12.6) ni quyidagicha yozishimiz mumkin: 
. 
Bu yerdan esa yetarlicha katta   lar uchun 
    
 
 
 
(12.7) 
deb olishimiz  mumkin. Odatda 
 vektorning bir necha koordinatalari noldan farqli 
bo’ladi.  Shuning  uchun  (12.7)  da  nisbatni    ning  bir  necha  qiymatida  hisoblash 
mumkin.  Agar  bu  nisbatlar  yetarli  aniqlikda  ustma-ust  tushsa,  u  holda  biz 
,  ni 
yetarli aniqlik bilan topgan bo’lamiz. Ravshanki, bu jarayonning yaqinlashish tezligi 
 ning kichikligiga bog’liqdir. 
Eslatma.  Yuqoridagi  iterasion  jarayonning  yaqinlashishini  tezlashtirish  uchun 




n
j
j
k
j
k
k
x
A
b
y
A
y
1
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
(
j
k
j
j
k
x
x
A





n
j
j
k
j
j
k
x
b
y
1
)
(
)
(

n
n
R
n
e
e
e
,
.
.
.
,
,
2
1
)
,
.
.
.
,
,
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(


k
n
k
k
k
y
y
y
y
)
,
.
.
.
,
,
(
2
1
)
(


nj
j
j
j
x
x
x
x
)
,
1
(
1
)
(
n
i
x
b
y
n
j
k
j
ij
j
k
i










n
j
k
j
ij
j
k
i
x
b
y
1
1
)
1
(

ij
j
ij
х
b
c 
k
n
in
k
i
k
i
k
n
in
k
i
k
i
k
i
k
i
c
c
c
c
c
c
y
y

















.
.
.
.
.
.
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
)
(
)
1
(
0
1

i
c
)
0
(
y
n
e
e
e
,
.
.
.
,
,
2
1
1
i
ij
ij
c
c
d 
1
1



i

k
n
in
k
i
k
n
in
k
i
k
i
k
i
d
d
d
d
y
y















.
.
.
1
.
.
.
1
2
2
1
1
2
2
1
)
(
)
1
(


k
0
.
.
.
2



k
k
n


)
|
|
(
0
)]
|
|
(
0
1
[
)]
|
|
(
0
1
[
)]
|
|
(
0
1
[
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
)
1
(
k
k
a
k
k
k
i
k
i
y
y
















k
)
(
)
1
(
1
k
i
k
i
y
y



)
1
(
x
i
i

2


 
122
ayrim hollarda quyidagi matrisalar ketma-ketligini tuzish foydalidir: 
 
Bu yerdan esa 
 deb olib, 
 
va 
 
ga ega bo’lamiz. 
Topilgan  eng  katta  xos  son 
  ga  mos  keladigan  xos  vektor  sifatida 
  ni 
olishimiz mumkin. Haqiqatan ham, (12.2) formuladan 
 
ga ega bo’lamiz. Bu yerdan 
. 
Agar biz 
 ekanligini hisobga olsak, u holda yetarli aniqlik bilan  
 
ga ega bo’lamiz, ya’ni 
 xos vektor 
 dan sonli ko’paytuvchi bilan farq qilyapti 
va, demak, u 
 xoc songa mos keladigan xos vektordir.  
2-hol.  A  matrisa  xos  sonining  moduli  bo’yicha  eng  kattasi  karrali  bo’lsin. 
Faraz qilaylik, 
 
bo’lsin. Bu holda (12.5) tenglik quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: 
. 
 
(12.8) 
Bu yerda ham 
 deb faraz qilamiz va  
 
belgilashlarni kiritib, (12.8) ni quyidagicha yozamiz: 
. 
Bundan esa, 
 ni hisobga olib, 
 
ga ega bo’lamiz. Shunday qilib, yuqorida keltirilgan jarayon bu yerda ham o’rinlidir. 
.
.
.
.
.
.
,
,
1
2
1
2
2
2
2
4
2








m
m
m
A
A
A
A
A
A
A
A
A
m
k
2

)
0
(
)
(
y
A
y
k
k

)
(
)
1
(
k
k
y
A
y


i

)
(k
y




n
j
j
k
j
j
k
k
x
b
x
b
y
2
)
(
)
1
(
1
1
)
(












n
j
j
k
j
j
k
k
x
b
b
x
b
y
2
)
(
1
)
1
(
1
1
)
(


0



k
k
j

)
1
(
1
1
)
(
x
b
y
k
k


)
(k
y
)
1
(
х
1

|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
,
.
.
.
2
1
1
2
1
n
s
s
s
















k
n
in
k
s
s
i
k
is
i
k
n
in
k
s
s
i
k
is
i
k
i
k
i
c
c
c
c
c
c
c
c
y
y

























.
.
.
)
.
.
.
(
.
.
.
)
.
.
.
(
1
1
,
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
)
(
)
1
(
0
.
.
.
1



is
i
c
c
1
1
),
(
.
.
.



i
i
is
i
ij
ij
s
j
c
c
c
d





k
n
in
k
s
s
i
k
n
in
k
s
s
i
k
i
k
i
d
d
d
d
y
y



















.
.
.
1
.
.
.
1
1
1
,
1
1
1
1
,
1
)
(
)
1
(
0
0
1



k
k
s

)
|
(|
0
1
)
(
)
1
(
1
k
s
k
i
k
i
y
y







 
123
1)  holdagidek  A  matrisaning 
,  xos  soniga  mos  keladigan  xos  vektor  sifatida 
taqribiy ravishda 
 ni olishimiz mumkin. Umuman aytganda, boshqa dastlabki 
 
vektorni  tanlab  boshqa 
  xos  vektorga  ega  bo’lamiz.  Shunday  kilib, 
  ga  mos 
keladigan boshqa xos vektorlarni ham topish mumkin.  
3-hol.  Faraz  qilaylik,  A  matrisaning  xos  sonlari  quyidagi  shartlarni 
qanoatlantirsin: 
 
va 
. 
Bu  yerda  yuqoridagi  iterasion  jarayonni  qo’llab  bo’lmaydi.  Haqiqatan  ham,  (12.3) 
tenglikni quyidagicha yozish mumkin: 
 
Bu  yerda 
  va 
  hadlar  bir  xil  tartibga  ega  bo’lib, 
  ning  o’zgarishi 
bilan ikkinchisi o’z ishorasini o’zgartiradi. Demak, 
 
nisbat 
  da  limitga  ega  bo’lamaydi.  Lekin  bu  yerda 
  va 
  yoki 
 
va 
 dan foydalanib, 
 ni topishimiz mumkin: 
 
Shunday  qilib,  bu  holda 
  matrisaning  moduli  bo’yicha  eng  katta  xos  sonini 
topishimiz  mumkin.  A  matrisaning 
  va 
  xos  sonlarga  mos  keladigan  xos 
vektorlarini topish uchun 
 va 
 vektorlarni tuzamiz: 
 
A  matrisaning 
  xos  soniga 
  xoc  vektor  va 
  xoc  soniga 
  xos  vektor  mos  keladi.  Shuning  uchun  ham, 
  ga  mos 
keladigan xos vektor sifatida 
 ni olshshshiz mumkin. Arap   va 
 yoki 
bularning birortasi birdan katta bo’lsa, u holda boshqa dastlabki 
 vektorni tanlab 
shu jarayonni takrorlash kerak. 
4-hol. Bu holga A matrisaning  moduli bo’yicha eng katta xos sonlari qo’shma 
kompleks bo’lgan hol yoki modullari bilan o’zaro juda yaqin bo’lgan hol kirali. Faraz 
qilaylik, 
  va 
  xos  sonlar  qo’shma  kompleks  sonlar  bo’lib,  quyidagi  shartni 
qanoatlantirsin: 
i

)
(k
y
)
0
(
y
)
0
(
y
A
k
i

p
r
r
r
i













.
.
.
.
.
.
1
|
|
.
.
.
|
|
|
|
.
.
.
|
|
1
1
n
p
r
p
r












.
.
.
.
)
1
(
.
.
.
)
)(
.
.
.
(
)
.
.
.
(
1
1
,
1
1
,
1
1
1
1
,
1
1
,
1
,
1
1
1
1
)
(
k
n
in
k
p
r
p
r
i
k
k
r
i
k
i
k
n
in
n
k
p
r
p
r
i
p
r
k
p
r
i
p
r
r
i
r
k
ir
r
i
k
i
d
d
d
d
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
y








































k
i
d
1
1

k
k
r
i
d
1
1
,
)
1
(



k
)
(
)
1
(
k
i
k
i
y
y



k
)
2
( k
i
y
)
2
2
(

k
i
y
)
1
2
(

k
i
y
)
1
2
(

k
i
y
2
1

).
|
|
(
0
),
|
|
(
0
2
1
2
1
)
1
2
(
)
1
2
(
2
1
2
1
)
2
(
)
2
2
(
k
p
k
k
i
k
i
k
p
k
k
i
k
i
y
y
y
y















A
1

1


)
(
1
)
1
(
k
k
y
y



)
(
1
)
1
(
k
k
y
y



)].
|
|
(
0
)
.
.
.
(
2
[
)
(
)],
|
|
(
0
)
.
.
.
(
2
[
)
(
.
.
.
)
(
)
.
.
.
(
2
1
)
(
)
1
(
1
1
1
)
(
1
)
1
(
1
)
(
)
1
(
1
)
1
(
1
)
(
1
)
1
(
1
1
1
1
)
(
)
1
(
1
1
1
)
(
1
)
1
(
k
p
r
p
r
p
r
r
r
k
k
k
k
p
r
r
r
k
n
n
k
n
n
p
r
k
p
r
p
r
p
r
r
r
k
k
k
x
b
x
b
y
y
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
y
y






















































1

)
(
)
1
(
1
.
.
.
r
r
x
b
x
b


1


)
(
)
1
(
1
.
.
.
p
r
p
r
r
r
x
b
x
b






1

)
(
1
)
1
(
k
k
y
y



r
p
)
0
(
y
1

2


 
124
. 
Bu  holda,  quyidagi  taqribiy  tengliklarning  o’rinli  ekanligiga  osongina  ishonch  hosil 
qilish mumkin: 
 
 
 
 
 (12.9) 
Demak, bu vektorlar orasida quyidagi taqribiy chiziqli bog’lanish mavjud:  
. 
Agar hisoblash jarayonida 
 vekterlar orasida 
   
 
 
 
(12.10) 
chiziqli bog’lanish o’rinli bo’lsa, u holda 
 va 
 lar 
 
 
 
 
 
(12.11) 
kvadrat  tenglamani  qanoatlantiradi.  Bu  tenglamaning 
  va 
  koeffisiyentlarini 
quyidagi  mulohazalar  yordamida  topish  mumkin.  (12.10)  tenglikda  komponentlarga 
o’tsak, 
 
bo’lib, 
  deb  olamiz.  Bu  yerdan  r  va  q  ni  topib,  (12.11)  ga  qo’ysak,  u  holda 
(12.11) ni quyidagicha yozsak bo’ladi: 
.  
 
(12.12) 
(12.11)  tenglikdan 
 va 
 topilgandan  keyin  ularga  mos keladigan  xos  vektorlarni 
ham topish mumkin, (12.9) dan 
 
ga  ega  bo’lamiz.  Bu  natijalarni,  modullari  teng  yoki  yaqin  bo’lgan  xos  sonlarning 
soni bir juftdan ko’p bo’lgan hol uchun ham umumlashtirish mumkin.