Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi
INTERPOLYaSION KVADRATUR FORMULALAR
Download 5.01 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Tayanch iboratlar
- To’g’ri to’rtburchak, trapesiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari.
- Interpolyasion kvadratur formulalar.
INTERPOLYaSION KVADRATUR FORMULALAR Reja: 1. Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburcha, trapesiya va Simpson formulari. 2. Eng soda kvadratur formularining qoldiq hadlari. 3. Nyuton-Kotes kvadratur formulasi. Tayanch iboratlar: qoldiq had, aniq integral, kvadratur formula, yopiq yoki ochiq tipdagi kvadratur formulalar, kvadratur yig’indi. Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburchak, trapesiya va Simpson formulalari. Eng sodda kvadratur formulalarni oddiy mulohazalar asosida qurish mumkin. Aytaylik, (16.1) integralni hisoblash talab qilinsin. Agap qaralayotgan oraliqda bo’lsa, u vaqtda 13- chizma (16.2) deb olishimiz mumkin. Bu formula to’g’ri to’rtburchaklar formulasi deyiladi. b a dx x f ) ( const x f ) ( 2 ) ( ) ( b a f a b dx x f b a 140 14- chizma Faraz qilaylik, funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo’lsin, u holda tabiiy ravishda integralni balandligi ga va asoslari va ga teng bo’lgan trapesiya yuzi bilan almashtirish mumkin, u holda deb olish mumkin. Bu formula trapesiya formulasi deyiladi. Nihoyat, funksiya oraliqda kvadratik funksiyaga yaqin bo’lsin, u holda ni taqribiy ravishda o’qi va to’g’ri chiziqlar hamda funksiya grafigining abssissalari va bo’lgan nuqtalaridan o’tuvchi ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralangan yuza bilan almashtirish mumkin (15-chizma), u holda quyidagiga ega bo’lamiz: 15- chizma ) (x f a b ) (a f ) (b f ) (x f ] , [ b a b a dx x f ) ( x O b x a x , ) ( x f y 2 , b a x a x b х 141 . (16.3) Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743 yilda taklif etgan edi. Bu formulaning hosil qilinish usulidan ko’rinib turibdiki, u barcha ikkinchi darajali ko’phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda kvadratur formulalarga ega bo’ldik. (16.1) formulani tuzishda u o’zgarmas son ni aniq integrallashini talab qilgan edik. Lekin u chizikli funksiyani ham aniq integrallaydi, chunki balandligi va o’rta bo’lgan ixtiyoriy trapesiyaning yuziga teng (16-chizima). 16- chizma Shunga o’xshash Simpson formulasi ham biz kutgandan ko’ra ham yaxshiroq formuladir. U uchinchi darajali ko’phadlarni ham aniq integrallaydi. Haqiqatan ham, uchinchi darajali ko’phadni quyidagicha yozamiz: , u vaqtda . (16.4) Lekin bizga ma’lumki, 2 2 1 0 2 ) ( x a x a a x P c x f ) ( x a a x f 1 0 ) ( 2 ) ( b a f a b a b 3 3 2 2 1 0 3 ) ( x a x a x a a x P ) ( 3 x P 3 3 2 3 3 2 2 1 0 3 ) ( ) ( x a x P x a x a x a a x P ) ( 4 ) ( ) ( ) ( 4 4 3 2 3 3 2 3 a b a dx x P dx x a dx x P dx x P b a b a b a b a 142 . (16.5) Ikkinchi tomondan, (16.6) ayniyat o’rinlidir. Endi (16.5) — (16.6) ni (16.4) ga qo’yib, ni hosil qilamiz. Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko’rdik. Ulardan ikkitasi to’g’ri to’rtburchak va trapesiya formulalari — birinchi darajali ko’phad uchun aniq formula bo’lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko’phad uchun aniq formuladir. To’g’ri to’rtburchak, trapesiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari. Endi yuqorida qurilgan kvadratur formulalarning qoldiq hadlarini aniqlash bilan shug’ullanamiz. To’g’ri to’rtburchak formulasining qoldiq hadi ni topish uchun funksiya oraliqda ikkinchi tartiblk uzluksiz hosilaga ega bo’lsin deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko’ra: , bu yerda . Bu tenglikning har ikkala tomonini dan gacha integrallasak, (16.7) kelib chiqadi, chunki . Quyidagicha belgilash kiritaylik: . Integral ostidagi funksiya o’z ishorasini saqlaydi, shuning uchun (16.7) integralga umumlashgan o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llash mumkin: , (16.8) bunda uzluksiz bo’lgani uchun Koshi teoremasiga ko’ra shunday topiladiki, . Endi (16.8) tenglikni quyidagicha yozish mumkin: )] ( 2 4 ) ( [ 6 ) ( 2 2 2 2 b P b a P a P a b dx x P b a 3 3 3 3 3 3 4 4 3 2 4 6 ) ( 4 b a b a a a a a b a b a ) ( 2 4 ) ( 6 ) ( 3 3 3 3 b P b a P a P a b dx x P b a 2 ) ( ) ( ) ( 0 b a f a b dx x f f R b a ) (x f ] , [ b a ) (x f ) ( 2 2 1 2 2 2 ) ( 2 f b a x b a f b a x b a f x f 2 ) ( b a x х a b b a dx f b a x f R ) ( 2 2 1 ) ( 2 0 0 2 b a dx b a x ) ( max ), ( min x f M x f m b x a b x a 2 2 b a х 24 ) ( 2 ) ( 3 2 0 a b L dx b a x L f R b a ) ( , x f M L m b a , ) ( f L 143 . (16.9) Bu esa qoldiq hadning izlanayotgan ko’rinishidir. Endi trapesiya formulasining qoldiq hadini topaylik. Buning uchun funksiyani va nuqtalardagi qiymatlari yordamida interpolyasiyalab, interpolyasion formulani qoldiq hadi bilan yozamiz: . Bu tenglikning har ikkala tomonini dan gacha integrallaymiz, natijada hosil bo’ladi. Bu yerda [a, b] oraliqda bo’lgani uchun integralga o’rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo’llash mumkin: . (16.10) Nihoyat, Simpson formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Buning uchun deb olib, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi Ermit interpolyasion ko’phadini tuzamiz: Ravshanki, . interpolyasion formulaning qoldiq hadi bo’lib, bu yerda . Demak, (2.3) formulaning qoldiq hadi bo’lib, ko’phad [a, b] oraliqda o’z ishorasini saqlaydi va umumlashgan o’rta qiymat teoremasiga ko’ra ga ega bo’lamiz. Qoldiq hadlar uchun chiqarilgan formulalar yana bir bor shuni ko’rsatadiki, to’g’ri to’rtburchak va trapesiya formulalari birinchi darajali ko’phadlar uchun aniq bo’lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko’phadlar uchun aniq formuladir. ) ( 24 ) ( ) ( 3 0 f a b f R ) (x f a x b x ) ( ) )( ( 2 1 ) ( ) ( 1 f b x a x x L x f a b b a dx f b x a x f R ) ( ) )( ( 2 1 ) ( 1 0 ) )( ( b x a x ) ( 1 f R ) ( ) ( 12 ) ( ) )( ( ) ( 2 1 ) ( 3 1 b a f a b dx b x a x f f R b a ) ( 5 , 0 b a c ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( b f b H c f c H c f c H a f a H )]. ( ) )( ( ) ( ) )( )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) ( ) ( ) [( ) ( 4 ) ( 2 2 3 b f c x a x c f b a c x b x a x c f b a b x a x a f b x c x b a x H )] ( 2 4 ) ( [ 6 ) ( b f b a f a f a b dx x H b a ) ( ) ( ) ( x r x H x f ) ( ) ( ) ( 24 1 ) ( b a f x x r IV ) ( ) )( ( ) ( 2 b x c x a x x b a IV dx f x f R ) ( ) ( 24 1 ) ( 2 ) (x ) ( ) ( 2880 ) ( ) ( 5 2 b a f a b f R IV 144 Interpolyasion kvadratur formulalar. Bundan keyin qisqalik uchun kvadratur formulaning koeffisiyentlari va tugunlarini yuqori indekssiz va ko’rinishda yozamiz. Faraz qilaylik, bizga funkiiyaning nuqtalardagi qiymatlari berilgan bo’lib, maqsad shu qiymatlar bo’yicha nntegralning taqribiy qiymatini mumkin qadar yuqori aniqlikda topishdan iborat bo’lsin. Demak, koeffisiyentlar aniqlanishi kerak. Buning uchun ni uning berilgan qiymatlaridan foydalanib, - darajali ko’phad bilan interpolyasiyalaymiz: . (16.11) Endi bu tenglikni ga ko’paytirib, dan gacha integrallaylik: . Agar bundagi (16.12) qoldiq hadni tashlasak, (16.13) kvadratur formulaga ega bo’lamiz. Bu formula qurilish usuliga ko’ra interpolyasion kvadratur formula deyiladi. Bunday formulalar uchun ushbu teorema o’rinlidir. Teorema. Quyidagi (16.14) kvadratur formulaning interpolyasion bo’lishi uchun uning barcha -darajali algebraik ko’phadlarni aniq integrallashi zarur va kifoyadir. Isbot. Zarurligi. Agar -darajali ko’phad bo’lsa, u holda (16.11) tenglikda bo’lib, tenglik o’rinli bo’ladi va (2.14) qoida interpolyasion qoida bo’lganidan (16.13) ga ko’ra: . Demak, (16.14) formula - darajali ko’phadni aniq integrallaydi. Kifoyaligi. (16.14) formula -darajali ixtiyoriy xo’phad uchun aniq ) ( ) ( 2 ) ( 1 , . . . , , n n n n A A A ) ( ) ( 2 ) ( 1 , . . . , , n n n n x x х n A A A , . . . , , 2 1 n x x x , . . . , , 2 1 ) (x f n x x x , . . . , , 2 1 ) ( , . . . ), ( ), ( 2 1 n x f x f x f b a dx x f ) ( k A ) (x f ) 1 ( n n k k i i n k n n x f r x f x f r x L x f 1 , 1 1 ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) (x a b b a n b a n b a dx x f r x dx x L x dx x f x ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 b a n n k k k b a n dx x f r x x f A dx x f x f R ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 k i i i k i b a k n k k k b a dx x x x x x A x f A dx x f x , 1 1 ) ( , ) ( ) ( ) ( n k k k b a x f A dx x f x 1 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( n ) (x f ) 1 ( n 0 ) , ( x f r n n k k i i k i k i x f x x x x x f 1 , 1 ) ( ) ( n k k k n k i i i k i b a n k k b a x f A dx x x x x x x f dx x f x 1 , 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( n ) (x f ) 1 ( n 145 formuladir. Xususiy holda, u -darajali ushbu ko’phad uchun ham aniq bo’ladi. Download 5.01 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling