Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

INTERPOLYaSION KVADRATUR FORMULALAR 
 
Reja: 
1. 
Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburcha, trapesiya va Simpson 
formulari.
 
2. 
Eng soda kvadratur formularining qoldiq hadlari.
 
3.  Nyuton-Kotes kvadratur formulasi. 
 
Tayanch  iboratlar:  qoldiq  had,  aniq  integral,  kvadratur  formula,  yopiq  yoki 
ochiq tipdagi kvadratur formulalar, kvadratur yig’indi. 
 
Eng  sodda  kvadratur  formulalar:  to’g’ri  to’rtburchak,  trapesiya  va 
Simpson formulalari.  Eng sodda kvadratur  formulalarni oddiy  mulohazalar asosida 
qurish mumkin. Aytaylik, 
 
 
 
 
 
(16.1) 
integralni hisoblash talab qilinsin. Agap qaralayotgan oraliqda 
 bo’lsa, u 
vaqtda
 
 
   
13- chizma
 
 
   
 
 
(16.2) 
deb olishimiz mumkin. Bu formula to’g’ri to’rtburchaklar formulasi deyiladi. 
 
  
 

b
a
dx
x
f
)
(
const
x
f

)
(





 



2
)
(
)
(
b
a
f
a
b
dx
x
f
b
a

 
140
 
14- chizma
 
  
  
Faraz qilaylik, 
 funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo’lsin, u holda tabiiy 
ravishda integralni balandligi 
 ga va asoslari 
 va 
 ga teng bo’lgan 
trapesiya yuzi bilan almashtirish mumkin, u holda deb olish mumkin. Bu formula 
trapesiya formulasi deyiladi. Nihoyat, 
 funksiya 
 oraliqda kvadratik 
funksiyaga yaqin bo’lsin, u holda 
 ni taqribiy ravishda 
 o’qi va 
 
to’g’ri chiziqlar hamda 
 funksiya grafigining abssissalari 
 va 
 bo’lgan nuqtalaridan o’tuvchi ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralangan 
yuza bilan almashtirish mumkin (15-chizma), u holda quyidagiga ega bo’lamiz: 
  
  
15- chizma
 
)
(x
f
a
b 
)
(a
f
)
(b
f
)
(x
f
]
,
[
b
a

b
a
dx
x
f
)
(
x
O
b
x
a
x

 ,
)
( x
f
y 
2
,
b
a
x
a
x



b
х 

 
141
 
  
. 
 
 
(16.3) 
Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743 yilda taklif etgan edi. 
Bu  formulaning  hosil  qilinish  usulidan  ko’rinib  turibdiki,  u  barcha  ikkinchi 
darajali 
 
ko’phadlar  uchun  aniq  formuladir.  Shunday  qilib,  biz  uchta  eng  sodda  kvadratur 
formulalarga ega bo’ldik. (16.1) formulani tuzishda u o’zgarmas son 
 ni aniq 
integrallashini  talab  qilgan  edik.  Lekin  u 
  chizikli  funksiyani  ham  aniq 
integrallaydi,  chunki 
  balandligi 
  va  o’rta  bo’lgan  ixtiyoriy 
trapesiyaning yuziga  teng (16-chizima). 
 
   
16- chizma
 
 
Shunga  o’xshash  Simpson  formulasi  ham  biz  kutgandan  ko’ra  ham  yaxshiroq 
formuladir. U uchinchi darajali 
 
ko’phadlarni ham aniq integrallaydi. 
Haqiqatan ham, uchinchi darajali 
 ko’phadni quyidagicha yozamiz: 
, 
u vaqtda 
.  (16.4) 
Lekin bizga ma’lumki,  
2
2
1
0
2
)
(
x
a
x
a
a
x
P



c
x
f

)
(
x
a
a
x
f
1
0
)
(







 

2
)
(
b
a
f
a
b
a
b 
3
3
2
2
1
0
3
)
(
x
a
x
a
x
a
a
x
P




)
(
3
x
P
3
3
2
3
3
2
2
1
0
3
)
(
)
(
x
a
x
P
x
a
x
a
x
a
a
x
P






)
(
4
)
(
)
(
)
(
4
4
3
2
3
3
2
3
a
b
a
dx
x
P
dx
x
a
dx
x
P
dx
x
P
b
a
b
a
b
a
b
a










 
142
. 
 
   (16.5) 
Ikkinchi tomondan, 
   
                          
       (16.6) 
 
ayniyat o’rinlidir. Endi (16.5) — (16.6) ni (16.4) ga qo’yib, 
 
ni hosil qilamiz. 
Shunday  qilib,  biz  uchta  kvadratur  formulani  ko’rdik.  Ulardan  ikkitasi  to’g’ri 
to’rtburchak va trapesiya formulalari — birinchi darajali ko’phad uchun aniq formula 
bo’lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko’phad uchun aniq formuladir. 
To’g’ri  to’rtburchak,  trapesiya  va  Simpson  formulalarining  qoldiq 
hadlari.  Endi  yuqorida  qurilgan  kvadratur  formulalarning  qoldiq  hadlarini  aniqlash 
bilan shug’ullanamiz. To’g’ri to’rtburchak formulasining qoldiq hadi 
 
ni topish uchun 
 funksiya 
 oraliqda ikkinchi tartiblk uzluksiz 
 hosilaga 
ega bo’lsin deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko’ra: 
, 
bu  yerda 
.  Bu  tenglikning  har  ikkala  tomonini 
  dan 
  gacha 
integrallasak, 
 
 
 
 
(16.7) 
kelib chiqadi, chunki 
. Quyidagicha belgilash kiritaylik: 
. 
Integral  ostidagi  funksiya 
  o’z  ishorasini  saqlaydi,  shuning  uchun  (16.7) 
integralga umumlashgan o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llash mumkin: 
, 
 
 
(16.8) 
bunda 
  uzluksiz  bo’lgani  uchun  Koshi  teoremasiga  ko’ra  shunday 
 topiladiki, 
. 
Endi (16.8) tenglikni quyidagicha yozish mumkin: 
)]
(
2
4
)
(
[
6
)
(
2
2
2
2
b
P
b
a
P
a
P
a
b
dx
x
P
b
a






 




















 




3
3
3
3
3
3
4
4
3
2
4
6
)
(
4
b
a
b
a
a
a
a
a
b
a
b
a












 




)
(
2
4
)
(
6
)
(
3
3
3
3
b
P
b
a
P
a
P
a
b
dx
x
P
b
a





 




2
)
(
)
(
)
(
0
b
a
f
a
b
dx
x
f
f
R
b
a
)
(x
f
]
,
[
b
a
)
(x
f 
)
(
2
2
1
2
2
2
)
(
2

f
b
a
x
b
a
f
b
a
x
b
a
f
x
f















 















 

2
)
(
b
a
x
х






a
b











b
a
dx
f
b
a
x
f
R
)
(
2
2
1
)
(
2
0

0
2










b
a
dx
b
a
x
)
(
max
),
(
min
x
f
M
x
f
m
b
x
a
b
x
a








2
2








b
a
х
24
)
(
2
)
(
3
2
0
a
b
L
dx
b
a
x
L
f
R
b
a












)
(
,
x
f
M
L
m



b
a




,
)
(

f
L



 
143
. 
 
 
 
(16.9) 
Bu esa qoldiq hadning izlanayotgan ko’rinishidir. 
Endi  trapesiya  formulasining  qoldiq  hadini  topaylik.  Buning  uchun 
 
funksiyani 
  va 
  nuqtalardagi  qiymatlari  yordamida  interpolyasiyalab, 
interpolyasion formulani qoldiq hadi bilan yozamiz: 
. 
Bu tenglikning har ikkala tomonini   dan   gacha integrallaymiz, natijada 
 
hosil bo’ladi. Bu yerda [a, b] oraliqda 
 bo’lgani uchun 
 integralga 
o’rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo’llash mumkin: 
.                             (16.10) 
Nihoyat, Simpson formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Buning uchun 
 
deb olib, quyidagi 
 
shartlarni qanoatlantiruvchi Ermit interpolyasion ko’phadini tuzamiz: 
 
Ravshanki, 
. 
 interpolyasion formulaning qoldiq hadi 
 
bo’lib, bu yerda 
. 
Demak, (2.3) formulaning qoldiq hadi 
 
bo’lib, 
  ko’phad  [a,  b]  oraliqda  o’z  ishorasini  saqlaydi  va  umumlashgan  o’rta 
qiymat teoremasiga ko’ra 
 
ga ega bo’lamiz. 
Qoldiq  hadlar  uchun  chiqarilgan  formulalar  yana  bir  bor  shuni  ko’rsatadiki,  to’g’ri 
to’rtburchak  va  trapesiya  formulalari  birinchi  darajali  ko’phadlar  uchun  aniq  bo’lib, 
Simpson formulasi uchinchi darajali ko’phadlar uchun aniq formuladir. 
)
(
24
)
(
)
(
3
0

f
a
b
f
R



)
(x
f
a
x 
b
x 
)
(
)
)(
(
2
1
)
(
)
(
1

f
b
x
a
x
x
L
x
f





a
b





b
a
dx
f
b
x
a
x
f
R
)
(
)
)(
(
2
1
)
(
1

0
)
)(
(



b
x
a
x
)
(
1
f
R
)
(
)
(
12
)
(
)
)(
(
)
(
2
1
)
(
3
1
b
a
f
a
b
dx
b
x
a
x
f
f
R
b
a














)
(
5
,
0
b
a
c


)
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
b
f
b
H
c
f
c
H
c
f
c
H
a
f
a
H






)].
(
)
)(
(
)
(
)
)(
)(
)(
(
)
(
)
)(
)(
(
)
(
)
(
)
[(
)
(
4
)
(
2
2
3
b
f
c
x
a
x
c
f
b
a
c
x
b
x
a
x
c
f
b
a
b
x
a
x
a
f
b
x
c
x
b
a
x
H

















)]
(
2
4
)
(
[
6
)
(
b
f
b
a
f
a
f
a
b
dx
x
H
b
a






 




)
(
)
(
)
(
x
r
x
H
x
f


)
(
)
(
)
(
24
1
)
(
b
a
f
x
x
r
IV






)
(
)
)(
(
)
(
2
b
x
c
x
a
x
x








b
a
IV
dx
f
x
f
R
)
(
)
(
24
1
)
(
2

)
(x

)
(
)
(
2880
)
(
)
(
5
2
b
a
f
a
b
f
R
IV








 
144
Interpolyasion  kvadratur  formulalar.  Bundan  keyin  qisqalik  uchun 
kvadratur  formulaning 
  koeffisiyentlari  va 
 
tugunlarini yuqori indekssiz 
 va 
 ko’rinishda yozamiz. Faraz 
qilaylik,  bizga 
  funkiiyaning 
  nuqtalardagi 
 
qiymatlari berilgan   bo’lib,   maqsad   shu qiymatlar   bo’yicha 
 nntegralning 
taqribiy  qiymatini  mumkin  qadar  yuqori  aniqlikda  topishdan  iborat  bo’lsin.  Demak, 
  koeffisiyentlar  aniqlanishi  kerak.  Buning  uchun 
  ni  uning  berilgan 
qiymatlaridan foydalanib, 
- darajali ko’phad bilan interpolyasiyalaymiz: 
.  
 
(16.11) 
Endi bu tenglikni 
 ga ko’paytirib,   dan   gacha integrallaylik: 
. 
Agar bundagi 
 
 
(16.12) 
qoldiq hadni tashlasak, 
   
(16.13) 
kvadratur formulaga ega bo’lamiz. 
Bu formula qurilish usuliga ko’ra interpolyasion kvadratur formula deyiladi. Bunday 
formulalar uchun ushbu teorema o’rinlidir. 
Teorema. Quyidagi 
   
 
 
 (16.14) 
kvadratur  formulaning  interpolyasion  bo’lishi  uchun  uning  barcha 
-darajali 
algebraik ko’phadlarni aniq integrallashi zarur va kifoyadir. 
Isbot.  Zarurligi.  Agar 
 
-darajali  ko’phad  bo’lsa,  u  holda  (16.11) 
tenglikda 
 bo’lib, 
 
tenglik  o’rinli  bo’ladi  va  (2.14)  qoida  interpolyasion  qoida  bo’lganidan  (16.13)  ga 
ko’ra: 
. 
Demak, (16.14) formula 
- darajali 
 ko’phadni aniq integrallaydi. 
Kifoyaligi.  (16.14)  formula 
-darajali  ixtiyoriy  xo’phad  uchun  aniq 
)
(
)
(
2
)
(
1
,
.
.
.
,
,
n
n
n
n
A
A
A
)
(
)
(
2
)
(
1
,
.
.
.
,
,
n
n
n
n
x
x
х
n
A
A
A
,
.
.
.
,
,
2
1
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
2
1
)
(x
f
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
2
1
)
(
,
.
.
.
),
(
),
(
2
1
n
x
f
x
f
x
f

b
a
dx
x
f
)
(
k
A
)
(x
f
)
1
( 
n
 








n
k
k
i
i
n
k
n
n
x
f
r
x
f
x
f
r
x
L
x
f
1
,
1
1
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(x

a
b






b
a
n
b
a
n
b
a
dx
x
f
r
x
dx
x
L
x
dx
x
f
x
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1










b
a
n
n
k
k
k
b
a
n
dx
x
f
r
x
x
f
A
dx
x
f
x
f
R
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1













k
i
i
i
k
i
b
a
k
n
k
k
k
b
a
dx
x
x
x
x
x
A
x
f
A
dx
x
f
x
,
1
1
)
(
,
)
(
)
(
)
(






n
k
k
k
b
a
x
f
A
dx
x
f
x
1
)
(
)
(
)
(

)
1
( 
n
)
(x
f
)
1
( 
n
0
)
,
(

x
f
r
n
 






n
k
k
i
i
k
i
k
i
x
f
x
x
x
x
x
f
1
,
1
)
(
)
(













n
k
k
k
n
k
i
i
i
k
i
b
a
n
k
k
b
a
x
f
A
dx
x
x
x
x
x
x
f
dx
x
f
x
1
,
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(


)
1
( 
n
)
(x
f
)
1
( 
n

 
145
formuladir. Xususiy holda, u 
-darajali ushbu 
 
ko’phad   uchun   ham   aniq   bo’ladi.