Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

3-teorema  (ildizning  yagonaligi  haqida).  Faraz  qilaylik, 
  funksiya  uchun 
1-teoremaning shartlari bajarilsin. Agar 
 bo’lsa, u holda 
 tenglama 
.                                        (5.24) 
oraliqda yagona   yechimga ega bo’ladi. Agar 
 bo’lsa,   yechim  
                                               (5.25) 
oraliqda yagona bo’ladi. 
 
Isbot.  1-teoremaning  shartlari  bajarilganligi  uchun 
  tenglam  (5.24) 
oraliqda 
  yechimga  ega  (chunki  (5.24)  oraliq  (5.7)  oraliqning  qismidir).  Biz  bu 
yerda 
  tenglamning  har  qanday  boshqa 
  yechimi 
  bilan  ustma-ust 
tushishini  ko’rsatamiz.  Faraz  qilaylik, 
  bo’lsin.  Bu  holda  (5.13)  kvadrat 
tenglama  ikkita  har  xil 
  va 
  ildizlarga  ega.  Endi 
  (1)  tenglamaning  (5.7) 
oraliqdagi biror ildizi bo’lsin. (5.24) tengsizlikka ko’ra  
                                               (5.26) 
bo’ladi. 
 bo’lganligi uchun 
. 
Teylor formulasiga ko’ra 
. 
1-teoremani  isbot  qilish  jarayonida  hosil  bo’lgan 
  tengsizlikni  nazarda 
tutib, (8) va (25) dan quyidagiga ega bo’lamiz: 
. 
 
Osonlik bilan ko’rish mumkinki, 
. 
Bundan esa, 
. 
 
Buni oldingi tengsizlikka qo’yib, kerakli bahoni chiqaramiz: 
                                                 (5.27) 
tengsizlikka  ega  bo’lamiz.  Bundan 
  miqdor 
  ga  bog’liq  bulganligi  sababli 
. Endi 
 munosabatdan 
 kelib chiqadi. 
)
( x
f
2
1

h
0
)
(

x
f


h
h
t
x
x
2
1
1
|
|
0









2
1

h



2
|
|
0






t
x
x
0
)
(

x
f

0
)
(

x
f

~

2
1

h

t


t

)
1
0
(
|
~
|
0









t
x
0
)
~
(


f
)]
~
)(
(
)
(
)
~
(
[
)
(
1
~
0
0
0
0
1
x
x
f
x
f
f
x
f
x










))
,
~
(
(
)
~
(
2
)
(
)
(
1
~
0
2
0
0
1
x
c
x
c
f
x
f
x









|
)
(
)
(
|
t
P
x
f
n



2
2
0
2
0
0
1
|
)
(
|
2
|
~
|
2
1
|
)
(
|
1
|
~
|









t
t
P
K
x
K
x
f
x



)
(
)
)(
(
2
1
)
(
0
0
0
2
t
P
t
t
t
P
t
K
t
P





























t
t
t
P
t
P
t
t
t
P
t
t
t
P
t
P
t
P
t
K
t
P
1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
)
(
)
(
)]
(
)
(
)
(
)
(
[
)
(
1
)
(
2
1








t
t
t
x
n
n
n
2
2
1
)
(
|
~
|



1


n

~

n
x
0
|
|
|
~
|
|
~
|








n
n
n
x
x







~

 
70
 
Agar 
 bo’lsa, u holda (5.25) tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak, 
 
ning  har  ikkala  ildizi  ustma-ust  tushadi: 
  va 
.  Shuning  uchun  ham, 
(5.27)  tengsizlikdan  biz  yana 
  ga  ega  bo’lamiz.  Shu  bilan  teorema 
isbotlandi. 
 
Misol. 
 tenglamaning musbat ildizi 
 aniqlik 
bilan topilsin. 
 
Yechish. 
  va 
  bo’lganligi  uchun  dastlabki  yaqinlashish 
 sifatida shu oraliqning o’rtasini olamiz: 
. Bu nuqtada 
 
Demak, 
  va 
  deb  olishimiz  mumkin, 
  bo’lganda, 
  bo’ladi,  shuning  uchun 
  deb  olib 
  ni 
 
oraliqda  baholaymiz.  Osonlik  bilan  ko’rish  mumkinki, 
  oraliqda 
 monoton o’suvchi funksiya, shuning uchun ham 
 ni 
 
nuqtada  hisoblaydi: 
.  Demak, 
  deb  olishimiz  mumkin, 
.  Bundan  ko’ramizki,  3-teoremaning  hamma  shartlari 
bajariladi, ya’ni qaralayotgan oraliqda yagona yechim  mavjud va 
 ketma-ketlik bu 
yechimga  yaqinlashadi.  Xatoni  baholash  uchun  1-jadvaldan  foydalanamiz, 
 
bo’lganda 
 bo’lgani uchun 
 
tengsizlik  o’rinli  bo’ladi.  Demak,  uchinchi  qadamda  ildizni  hatto  12  xona  aniqlik 
bilan  topgan  bo’lamiz.  Bizga  8  xona  aniqlik  yetarli  edi,  bu  aniqlikka  erishish  uchun 
  deb  olish  kifoyadir. 
  uchun  1-jadvalda 
  ning  qiymati 
ko’rsatilmagan, shuning uchun ham biz 2-teoremadan foydalanamiz: 
. 
 
Hisoblash natijasida quyidagi qiumatlarga ega bo’lamiz: 
 
 
Karrali ildizlar uchun nyuton metodi. 
Nyuton  metodi  tenglamalarni  yechish  metodlari  orasida  eng  dastlabkilaridan 
biridir.  Shuning  uchun  ham  yaqinlashish  tezligini  ortirish  yoki  hisoblashlarni 
2
1

h
)
(
,
1
t
P





 t
t

 t
t
n
0
|
~
|


n
x

0
15
12
2
4
)
(
2
3
4






x
x
x
x
x
f
8
10

9375
,
0
)
5
,
1
(


f
1
)
2
(

f
0
x
75
,
1
0

х
.
272
,
0
)
75
,
1
(
1
;
02939629
,
0
)
75
,
1
(
)
75
,
1
(
;
68725
,
3
)
75
,
1
(
;
10859375
,
0
)
75
,
1
(







f
f
f
f
f
0294
,
0


272
,
0

B
2
1
0

 h
2
2
1
1
1




h
h


2

)
( x
f 

2
|
75
,
1
|


x
8088
,
1
6912
,
1

 x
4
24
12
)
(
2




x
x
x
f
)
( x
f 
81
,
1

x
1468
,
0
)
81
,
1
(



f
147
,
0

K
05
,
0
00118
,
0




BK
h
n
x
05
,
0

h
11
3
10
877
,
0







12
11
3
10
3
,
0
10
877
,
0
0294
,
0
|
|









x
3

n
0012
,
0

h
2

 

10
1
2
1
2
2
10
1
,
2
0294
,
0
)
0012
,
0
2
(
2
1
|
|
2










x
.
732050807
,
1
;
732050807
,
1
;
732020918
,
1
)
72060371
,
1
(
)
72060371
,
1
(
72060371
,
1
;
72060371
,
1
02939629
,
0
75
,
1
)
75
,
1
(
)
75
,
1
(
75
,
1
;
75
,
1
3
2
1













x
x
f
f
x
f
f
x
x

 
71
soddalashtirish  maqsadida  bu  metodni  o’zgartirish  yo’lida  juda  ko’p  urinishlar 
bo’lgan. Shularning ayirmalariga to’xtalib o’tamiz. 
 
Shu vaqtgacha 
 ketma-ket yaqinlashishlar yotgan oraliqda 
 deb faraz 
qilingan  edi,  bundan  tashqari 
,  ya’ni 
  tub  ildiz  bo’lgan  hol  qaralgan  edi. 
1870 yil E.Shreder   ildiz 
-karrali bo’lgan holni ko’rib chiqdi. Biz hozir anna shu 
hollarni  ko’rib  chiqamiz.  Biz  avval 
  bo’lganda  Nyuton  ketma-ketligi 
yaqinlashishining  sekinlashishini,  so’ngra  bu  ketma-ketlikni  kerakli  ravishda 
o’zgartirilganda  uning  tez  yaqinlashishini  ko’rsatamiz. 
  ning 
-karrali  ildizi 
bo’lgani  uchun, 
  yechim  atrofidagi 
  ning  Teylor  qatoridagi  yoyilmasi 
quyidagicha bo’ladi: 
, 
.                                           (5.28) 
Faraz  qilaylik, 
  lar 
  ga  yaqin  bo’lsin,  u  holda 
  kichik  miqdor  bo’ladi. 
Nyuton qoidasidan 
 bilan 
 orasidagi munosabatni chiqaramiz: 
.                                                    (5.29) 
(28) yoyilmada faqat ikkita bosh hadlarini saqlab, quyidagilarni hosil qilamiz: 
 
Oxirgi tenglikni (29) ga olib borib qo’yamiz: 
 
Bunda  faqat  shuni  ko’rsatadiki, 
  taqriban  maxraji 
  ga  teng  bo’lgan 
geometrik  progressiya  qonuni  bo’yicha  kamayadi.  Buni 
  bo’lgan  hol  Bilan 
solishtirib  ko’rsak, 
  bo’lganda  yaqinlashish  tezligining  sustlashishini  ko’ramiz. 
Haqiqatan ham,  
 
tenglikdan va (29) dan 
                                                   (5.30) 
ni hosil qilamiz, bunda 
 ni yetarlicha kichik deb olib, 
 bilan 
 orasidagi  
n
x
0
)
(

 x
f
0
)
(



f


p
1

p
)
(x
f

p

)
( x
f
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
1
1
x
R
x
c
x
c
x
c
x
f
m
m
m
p
p
p
p













)
,
...
,
1
,
(
!
)
(
)
(
m
p
p
k
k
f
c
k
k




n
х

n
n
x




n

1

n

)
(
)
(
1
n
n
n
n
f
f












.
...
1
)
(
)
(
,
...
)
1
(
1
)
1
(
)
(
1
...],
)
1
(
[
)
1
(
)
(
...],
[
)
1
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1



















































n
p
p
n
n
n
n
p
p
p
n
p
p
n
p
n
p
p
n
p
p
n
p
n
p
p
n
p
p
n
c
c
p
f
f
c
pc
p
c
p
f
c
p
c
p
f
c
c
f


















...
1
1
2
2
1
1












n
p
p
n
n
c
p
c
p



n

p
q
1
1

0
)
(



f
1

p
)
1
0
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
0
2





















n
n
n
n
n
f
f
f
f
2
1
)
(
)
(
2
1
n
n
n
n
f
f













n

1

n

n


 
72
                                                         (5.31) 
munosabatni  hosil  qilamiz.  Bu  yerda 
  kvadratik  qonun  bilan  kamayadi. 
 
bo’lganda yaqinlashish tezligini orttirish uchun Nyuton qoidasini  
                                                         (5.32) 
ga almashtiramiz. U holda (30) dan 
 bilan 
 orasidagi quyidagi munosabatga ega 
bo’lamiz: 
.                                              (5.33) 
Bundan  ko’ramizki, 
  ildiz 
  karrali  bo’lganda  (5.33)  qoida  uchun  yaqinlashish 
taqriban Nyuton qoidasining yaqinlashishiga teng. 
 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar  
1.  Nyuton metodining asosiy g’oyasi. 
2.  Nyuton metodining geometrik ma’nosi. 
3.  O’zgartirilgan Nyuton metodi. 
4.  Nyuton metodining yaqinlashishi.  
5.  Yaqinlashish tezligini baholash. 
 
2
1
)
(
)
(
2
1
n
n
f
f









n

1

p
)
(
)
(
1
n
n
n
n
x
f
x
f
p
x
х




1

n

n

2
)
(
)
1
(
2
1
1
)
(
)
1
(
)
(
n
p
p
n
p
p
n
f
p
p
f
pc
c














p

 
73
6-ma’ruza 
 
MODIFIKASIYaLANGAN NYuTON METODI. TENGLAMALAR 
SISTEMASI UChUN NYuTON METODI 
 
Reja: 
1.  Modifikasiyalangan Nyuton metodi. 
2.  Vatarlar metodi. 
3.  Tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodi 
 
 
Tayanch iboralar: Sistema, boshlang’ich yaqinlashish, xato, bosh qism, Teylor 
formulasi, Yakobi matrisasi. 
 
 
Modifikasiyalangan  Nyuton metodi.  Agar 
 ning  hosilasi juda  murakkab 
funksiya  bo’lib, 
  ni  hisoblash  katta  qiyinchiliklar  tug’dirsa,  u  vaqtda  Nyuton 
metodining quyidagi modifikasiyasi ishlatiladi: 
.                                     (6.1) 
 
 
 
 
                                                                    
12 - chizma.
 
)
(x
f
)
(
n
х
f 
...)
,
2
,
1
,
0
(
,
,
)
(
)
(
0
0
0
1










n
x
x
x
f
x
f
x
x
n
n
n
 Bu  qoida  bo’yicha  hisoblash  ancha 
qulay,  chunki 
  faqat  bir  marta 
hisoblanadi. 
Lekin 
modifikasiyalangan 
metod 
Nyutonning 
asosiy 
metodiga 
nisbatan 
sekin 
yaqinlashadi. 
Modifikasiyalangan 
metodning 
geometrik 
ma’nosi 
quyidagidan 
iborat: 
  taqribiy  yaqinlashish  bu 
  nuqtadan  o’tuvchi  va 
burchak  koeffisiyenti 
  ga  teng 
bo’lgan  to’g’ri  chiziqning 
  o’qi 
bilan kesishgan nuqtasidir.
 
)
(х
f 
1


n
x
))
(
,
(
n
n
x
f
x


)
(
0
x
f 
OX

 
74
   Bu  to’g’ri  chiziq  faqat  birinchi  qadamdagina 
  egri  chiziqqa  o’tkazilgan 
urinma  bilan  ustma-ust  tushadi  (12-chizma).  Bu  yerda  ham  yaqinlashish  haqidagi 
teoremani isbot qilish mumkin. 
 
4-teorema.  Agar 
  funksiya  va  dastlabki  yaqinlashish 
    1-teorema  (5-
ma’ruzadagi 1-teorema) shartlarini qanoatlantirsa, u holda 
 
ketma-ket yaqinlashishlar (5.1) tenglamaning   ildizga yaqinlashadi, shu bilan birga 
xato uchun quyidagi baho o’rinli bo’ladi: 
 
                                                                
(6.2)
 
bu  yerda   (5.13) kvadrat tenglama  uchun qurilgan Nyutonning  modifikasiyalangan 
ketma-ketligi, 
 esa (5.13) tenglamaning kichik musbat ildizi. 
 
Bu  yerdagi  (6.2)  baho  yuzaki  qaralganda  1-teoremadagi  (5.12)  bahoga 
o’xshash,  lekin  uning  nolga  intilish  tezligi  ancha  sekindir.  Biz  hozir  ana  shu  bahoni 
keltiramiz. Faraz qilaylik, 
 bo’lsin. (5.13) tenglamadan ko’rinadiki, aniq yechim  
 
bo’lib, 
 va 
 ketma-ket yaqinlashishlar 
 
tenglik bilan bog’langan. Bu tengliklardan 
 
ni topamiz, 
 bo’lganligi sababli  
. 
Bu  tengsizlikni  ketma-ket  qo’llab, 
  ga  ega  bo’lamiz,  bu  yerda 
.  Oxirgi  baho  shuni  ko’rsatadiki, 
  ketma-ketlik 
  ga  cheksiz 
kamayuvchi geometrik progressiya tezligida intilar ekan.