Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Mustaqil ishlash uchun savollar 
1.  Iterasion usullarning asosiy mohiyati. 
2.  Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi. 
3.  Iterasiya usulini yaqinlashishini baholash. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1

q

 
58
4-ma’ruza 
 
QISQARTIRIB AKS ETTIRISh PRINSIPI.  
ChIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR SISTEMASI UChUN ITERASIYa 
METODI 
 
Reja: 
1.  Metrik fazo haqida tushuncha. 
2.  Qisqartirib aks ettirish prinsipi. 
3.  Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya metodi bilan yechish. 
 
Tayanch  iboralar:  metrik  fazo  tushunchasi,  kubik,  oktaedrik  va  sferik 
masofalar, yopiq shar, qisqartirib aks ettirish tushunchasi. 
 
Iterasiya metodi bilan 
                                                (4.1) 
tenglamalar  sistemasini  yechish  masalasiga  o’tamiz.  Buning  uchun  avval  (4.1) 
sistemani biror usul bilan quyidagi kanonik shaklga keltirib olamiz: 
                                              (4.2) 
Faraz  qilaylik, 
  dastlabki  yaqinlashish  topilgan  bo’lsin,  u 
holda keyingi yaqinlashishlar quyidagicha topiladi: 
                                     (4.3) 
Bu  iterasion  jarayon  yaqinlashishining  yetarli  shartlarini  aniqlash  uchun  qisqartirib 
aks  ettirish  prinsipini  qullaymiz.  Shu  maqsadda  p  o’lchovli  vektorlar  fazosi 
  da 
  vektor  va  (4.2)  sistemaning  o’ng  tomonidagi 
 
funksiyalarning  qiymatlaridan  tuzilgan 
  vektorni  olib 
 
operatorni  aniqlaymiz.  Bu  operator 
  ni 
  ga  yoki 
  ning  biror  qismiga 
akslantiradi. Bu operator yordamida (4.2) sistema 
,                                   (4.4) 
(4.3)   iterasion jarayon esa 










0
)
,
.
.
.
,
,
(
.
.
.
.
.
.
.
.
,
0
)
,
.
.
.
,
,
(
,
0
)
,
.
.
.
,
,
(
2
1
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f










).
,
.
.
.
,
,
(
.
.
.
.
.
.
.
.
),
,
.
.
.
,
,
(
),
,
.
.
.
,
,
(
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



)
,
.
.
.
,
,
(
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
)
0
(
n
x
x
x
x














).
,
.
.
.
,
,
(
.
.
.
.
.
.
.
.
),
,
.
.
.
,
,
(
),
,
.
.
.
,
,
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
1
(
)
(
)
(
2
)
(
1
2
)
1
(
2
)
(
)
(
2
)
(
1
1
)
1
(
1
k
n
k
k
n
k
n
k
n
k
k
k
k
n
k
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



n
R
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
х 
n



,...,
,
2
1
)
,...,
,
(
2
1
n



 
)
( x
y


n
R
n
R
n
R
)
(x
x



 
59
                                     (4.5) 
ko’rinishda yoziladi. Endi (4.4) tenglamaga 1-teoremani qo’llash uchun teoremaning 
(4.11) shartida qatnashadigan   ni 
 
lar orqali ifodalash kerak. Bunday ifoda 
masofaga  bog’liqdir.  Biz  yuqorida 
  fazoda  uch  xil  masofa  tushunchasini  kiritgan 
edik. Har bir masofada   ning ifodasini topamiz. 
1.  t  masofada: 
  shartdagi  ixtiyoriy  ikkita 
  va 
  vektor  olib  va 
  funksiyalar  bu  sharda  uzluksiz 
xususiy  hosilalarga  ega  deb  faraz  qilib,  bu  nuqtalar  tasvirlarining 
  va 
 
koordinatalarini ko’ramiz: 
 
Bu yerda hosilaning kiymati   va 
 nuqtalarni birlashtiradigan to’g’ri chiziqning   
nuqtasida hisoblangan. Bu nuqta x, u va   ga bog’liqdir. Yuqoridagi baho x, u va   ga 
bog’liq bo’lmasligi uchun 
 ni 
 
ga  almashtiramiz,  bu  yerda  x  bo’yicha  maksimum 
  shardagi  eng  katta 
qiymatni bildiradi. Natijada biz 
 
ga ega bo’lamiz. Bundan ko’rinadiki, 1-teoremaning (4.11) shartidagi   sifatida 
                            (4.6) 
ni olishmiz mumkin. 
II. 
  masofada.  Yuqoridagiga  o’xshash  ishlarni 
  sharda  bajarib 
quyidagini hosil qilamiz: 
. 
Bundan esa 
 
kelib chiqadi. 
III.   masofada. Qaralayotgan 
 shar Yevklid fazosidagi 
 
,...)
1
,
0
(
)
(
)
(
)
1
(



k
x
х
k
k

q
n



,...,
,
2
1
n
R
q



)
,
(
)
0
(
x
x
m
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
х 
)
,...,
,
(
2
1
n
y
y
y
y 
)
(
,
.
.
.
),
(
),
(
2
1
x
x
x
n



)
(x
i

)
( y
i

).
,
(
)
~
(
|
|
max
)
~
(
)
~
(
|
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
|
|
)
(
)
(
|
1
1
1
1
2
1
2
1
y
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
y
y
x
x
x
y
x
m
n
i
j
i
k
k
n
k
n
i
j
i
n
i
j
i
n
i
n
i
i
i






































х
y
x
i
i




n
i
j
i
x
x
1
)
~
(





n
i
j
i
x
i
x
1
max
max




)
,
(
)
0
(
x
x
m
)
,
(
max
max
))
(
),
(
(
1
y
x
x
y
x
m
n
j
j
i
x
i
m










q





n
j
j
i
x
i
m
x
q
1
max
max

s



)
,
(
)
0
(
x
x
s











n
i
j
j
n
i
j
i
x
j
n
i
i
i
y
x
x
y
x
1
1
1
|
|
max
max
|
)
(
)
(
|









n
i
j
i
x
j
s
s
s
s
x
q
y
x
q
y
x
1
max
max
),
,
(
))
(
),
(
(





l



)
,
(
)
0
(
x
x
i











2
/
1
1
2
)
0
(
)
(
n
i
i
i
x
x

 
60
shardan  iboratdir.  Bu  shardan  ixtiyoriy  ikkita  x  va  u  nuqtalarni  olib  quyidagilarni 
hosil qilamiz: 
 
Shunday  qilib,  uchala  masofada  ham 
  ning  ifodasini  topdik.  Endi  1-teoremadan 
foydalanib, iterasiya jarayoni yakinlashishining yetarli   shartini berish  mumkin. Biz 
buni    faqat  t  masofa  uchun  ta’riflaymiz,  qolgan  ikkita  masofa  uchun  teoremani 
ta’riflashni o’quvchilarga havola qilamiz.  
2- teorema. Faraz qilaylik: 
1) 
 funksiyalar 
                                                    (4.7) 
sohada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin; 
2) bu sohada 
                                            (4.8) 
tengsizliklarni qanoatlantirsin; 
3) dastlabki yaqinlashish 
 uchun 
 
shartlar  bajarilsin.  U  holda  (4.2)  tenglamalar  sistemasi  (4.7)  sohada  yagona 
  yechimga  ega  bo’lib,  (4.3)  tengliklar  bilan  aniqlanadigan  ketma-ket 
yaqinlashishlar bu yechimga intiladi va intilish tezligi 
 
tengsizliklar bilan baholanadi. 
  
  
Mustaqil ishlash uchun savollar 
1.  Qisqartirib aks ettirish prinsipi. 
2.  Sistema uchun usulining yaqinlashishining yetarli sharti. 
3.  Qisqartirib aks ettirish prinsipiga asoslangan teoremalar. 
 
  
 
 
.
max
),
,
(
)]
(
)
(
[
))
(
),
(
(
);
,
(
max
)
(
)
~
(
|
)
(
)
(
|
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1
)
2
(
2
2
1
2








































n
j
j
i
n
i
l
l
l
n
i
i
i
l
n
j
l
j
i
x
n
j
j
j
j
i
i
i
x
q
y
x
q
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
x
y
x












q
)
,
1
(
)
,...,
,
(
2
1
n
i
x
x
x
n
i





|
|
max
)
0
(
x
x
i
)
,
1
(
1
max
1
n
i
q
x
n
j
j
i
x








)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
,
.
.
.
,
,
n
x
x
x









q
n
i
x
x
x
x
n
i
i
1
),
,
1
(
|
)
,...,
,
(
|
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
)
0
(
)
,...,
,
(
2
1
n



 
)
,
1
(
1
|
|
)
(
n
i
q
q
х
n
k
i
i







 
61
5-ma’ruza 
 
NYuTON METODI 
 
Reja: 
1.  Bitta sonli tenglama bo’lgan hol Nyuton metodi. 
2.  Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalar. 
3.  Karrali ildizlar uchun nyuton metodi. 
 
Tayanch iboralar: iterasiya, xato, Teylor qatori, ketma-ket yaqinlashish. 
 
 
Bitta  sonli  tenglama  bo’lgan  hol.  Nyuton  metodi  sonli  tenglamalarni 
yechishning  juda  ham  effektiv  metodidir.  Bu  metodning  afzalligi  shundan  iboratki, 
hisoblash  sxemasi  murakkab  bo’lmagan  holda  ketma-ket  yaqinlashishlar  ildizga  tez 
yaqinlashadi.  Nyuton  metodi  iterasiya  metodi  kabi  universal  metoddir.  Bu  metod 
yordamida sonli tenglamalarning  haqiqiy  va kompleks  ildizlarini  topish  hamda keng 
sinfdagi chiziqli bo’lmagan funksional tenglamalarni yechish mumkin. Formal nuqtai 
nazardan  qarlaganda  Nyuton  metodi  iterasiya  metodining  xususiy  holidir,  aslida  esa 
bu  metodning  asl  g’oyasi  iterasiya  metodining  g’oyasidan  tamoman  farqlidir.  Bu 
metod  chiziqli  masalalarning  ketma-ketligini  yechishga  olib  keladi.  Buning  uchun 
berilgan  tenglamadan  uning  bosh  chiziqli  qismi  ajratib  olinadi.  Biz  avval  bita  sonli 
tenglama uchun Nyuton metodini ko’rib chiqamiz. Faraz qilaylik, bizga 
  
                                                              (5.1) 
tenglama  va  uning  ildiziga  dastlabki  yaqinlashish  qiymati 
  berilgan  bo’lsin.  Bu 
yerda 
  ni  yetarlicha  silliq  funksiya  deb  olamiz.  Odatdagidek,  (1)  tenglamaning 
aniq  ildizini 
  orqali  belgilaymiz.  Endi 
  deb  olib, 
  funksiyaning 
 
nuqta  atrofidagi    Teylor  qatori  yoyilmasidagi  dastlabki  ikkita  hadini  olib  nolga 
tenglashtirsak,   ga nisbatan quyidagi 
 
  
chiziqli tenglama ega bo’lamiz. Bu tenglamani yechib,   xatoning taqribiy qiymatini 
topamiz: 
. 
 
Bu tenglamani 
 ga keltirib qo’yib, navbatdagi yaqinlashish 
 
ni topamiz. Xuddi shunga o’xshash 
0
)
(

x
f
0
x
)
(x
f

h
x 

0

)
(x
f
0
х
h
h
x
f
x
f
h
x
f
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0





h
)
(
)
(
0
0
0
x
f
x
f
h



h
x 

0

)
(
)
(
0
0
0
1
x
f
x
f
x
x




 
62
                                              (5.2) 
  
ketma-ket  yaqinlashishlarni  hosil  qilamiz.  Bu  formulalar  yordamida  Nyuton  ketma-
ketligini  hosil  qilish  uchun 
  lar 
  funksiyaning  aniqlanish  sohasida  yotish  va 
ular uchun 
 bo’lishi kerak. 
 
Nyuton  metodi  judda  ham  sodda  geometrik  ma’noga  ega.  Haqiqattan  ham, 
 funksiyani  
                           (5.3) 
to’g’ri  chiziq  bilan  almashtiramiz,  bu  to’g’ri  chiziq  esa 
  nuqtada 
  egri  chiziqqa  o’tkazilgan  urinmadir  (10-chizma).  Bu  urinmaning  abssissa 
o’qi  bilan  kesishgan  nuqtasini 
  bilan  belgilasak,  (5.3)  dan  (5.2)  kelib  chiqadi. 
Shuning  uchun,  Nyuton  metodi  urinmalar  metodi  deb  ham  yuritiladi.  Nyuton 
metodini  iterasiya  metodidan  keltirib  chiqarish  ham  mumkin,  buning  uchun  (5.1) 
tenglamaning 
 kanonik ko’rinishida 
 
deb olish kifoyadir. 
 
Nyuton  metodining  yaqinlashishi  haqidagi  teoremalar.  Biz  yuqorida 
aytganimizdek,  Nyuton  metodidan  umumiy  ko’rinishdagi  funksional  tenglamalarni 
yechishda ham foydalanish mumkin. Bunday tadqiqotlar L.V.Kantorovich tomonidan 
olib  borilgan.  Quyida  keltirilgan  teoremalar  ham  L.V.Kantorovichga  tegishlidir.  Bu 
teoremalarni isbotlashda  
                                                     (5.4) 
 
 
10 - chizma
 
.)
.
.
,
1
,
0
(
)
(
)
(
1





n
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
n
x
)
( x
f
0
)
(


n
x
f
)
( x
f
y 
)
)(
(
)
(
n
n
n
x
x
x
f
x
f
y




))
(
,
(
n
n
n
x
f
x
M
)
( x
f
y 
1

n
x
)
(x
x


)
(
)
(
)
(
x
f
x
f
x
x




0
)
(
2




c
bt
at
t
P

 
63
kvadrat tenglama uchun tuzilgan 
 Nyuton ketma-ketligining yaqinlashishi muhim 
ahamiyatga egadir, bu yerda 
 lar haqiqiy sonlar bo’lib, 
. Bu 
tenglama haqiqiy ildizlarga ega. Ularning kichigini 
 va kattasini 
 bilan belgilab 
olamiz (11-chizma). Dastlabki yaqinlashish sifatida ixtiyoriy 
 ni olamiz. 
Chizmada ko’rinib turibdiki, 
 da yotsa, hisoblashning bir qadamidan keyin 
u bu oraliqdan chiqib ketadi va   bu oraliqdan tashqarida yotsa, N’yutonning 
 
ketma-ketligi   ga yaqin ildizga monoton yaqinlashadi.
 
 
11 - chizma
 
 
1-teorema. Agar  
 va daslabki qiymat 
 quyidagi shartlarni qanoatlantirsa; 
1. 
 va 
;                              
 
(5.5) 
2. 
                                                                                                             
 
(5.6) 
 
tengsizlik o’rinli bo’lsa; 
1. 
 funksiya  
                                                   (5.7) 
oraliqda  ikkinchi  tartibli  uzluksiz 
  hosilaga  ega  va  bu  oraliqning  barcha 
nuqtalarida 
  
                                                  (5.8) 
bo’lsa; 
}
{
n
t
c
b
a
,
,
0
4
2


c
a
b

t


t
a
b
t
2
0


)
,
(
0




t
t
t
0
t
 
n
t
0
t
)
( x
f
0
x
)
( x
f



|
|
0
x
x
)
(x
f 
K
x
f


|
)
(
|

 
64
4. 
 sonlar uchun  
                                                 (5.9) 
shart bajarilsa; 
5. hamda  
                                             (5.10) 
tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda: 
1)  (5.1) tenglama (5.7) oraliqda   yechimga ega bo’ladi; 
2) 
                                                                                          
 
(5.11)
 
ketma-ket yaqinlashishlarni ko’rish mumkin va ular   ga yaqinlashadi: 
; 
3)  yaqinlashish tezligi uchun 
                                                      (5.12) 
baho o’rinli bo’lib, bu yerda   esa 
                                                  (5.13) 
kvadrat  tenglamaning  kichik  ildizi 
  uchun 
  dan  boshlab  qurilgan  Nyuton 
ketma-ketligining   - elementidir: 
  
.