Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Vatarlar  metodi.  Endi  Nyuton  metodidagi  hisoblashlarni  soddalashtirishning 
yana bir usulini ko’ramiz. Nyuton metodida mehnatning asosiy qismi 
 va 
 
larni  hisoblash  uchun  sarflanadi.  Shularning  birortasi,  masalan, 
  ni 
hisoblashdan  qutulish  mumkin  emasmikin  degan  savol  tug’iladi.  Bu  bizni  vatarlar 
usuliga olib keladi, ya’ni agar 
 ni taqribiy ravishda almashtirsak: 
, 
u holda navbatdagi yaqinlashishni topish qoidasi quyidagicha bo’ladi: 
 
)
(x
f
y 
)
(x
f
0
x
...)
,
2
,
1
,
0
(
,
)
(
)
(
0
0
0
1










n
x
x
x
f
x
f
x
х
n
n
n

n
t



t
t
,
0
0
2
1

h
2
2
1




BKt
t

}
{
1


n
t
}
{
n
t
2
1
2
1
)
0
(
)
(
n
n
n
n
t
BK
P
t
P
t
t











)
)(
(
2
1
)
(
2
1
2
2
1















t
t
t
t
BK
t
t
BK
t
t
n
n
n
n

h
h
t
t
n
2
1
1






)
)(
2
1
1
(
)
(
1
n
n
n
t
t
h
t
t
t
BK
t
t















)
(
t
t
q
t
t
n
n







1
2
1
1




h
q
}
{
n
t

t
)
(
n
x
f
)
(
n
x
f 
)
(
n
x
f 
)
(
n
x
f 
1
1
)
(
)
(
)
(






n
n
n
n
n
x
x
x
f
x
f
x
f

 
75
.
 
Bu qoidaning geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: 
 funksiyaning grafigida 
ikkita 
  va 
  nuqtalardan  vatar  o’tkazamiz.  Vatar 
tenglamasi esa quyidagicha: 
. 
Agar bu vatarning 
 o’qi bilan kesishgan nuqtasini 
 deb olsak, (6.3) qoida kelib 
chiqadi. 
 
Vatarlar  metodi  ikki  qadamli  metod  bo’lib 
  ni  topish  uchun 
  va 
  ni 
bilishimiz kerak. (6.3) qoidani qo’llash uchun: 
1)  barcha 
 lar 
 ning aniqlanish sohasida yotishi va  
2) 
 shartlar bajarilishi kerak. 
Avval 
 bo’lgan holni ko’rib chiqaylik, bu yerda ikki hol 
bo’lishi mumkin: a) 
 va b) 
. 
Agar 
 bo’lsa, 
 
                                                  
tenglikdan 
 ligini ko’ramiz. Shuning uchun ham 
 va navbatdagi  
 
yaqinlashishni qurish mumkin bo’lmaydi. Prosess shu yerda uziladi va yechimga olib 
kelmaydi.  
 
Agar 
  bo’lsa, 
  larni  qurish  mumkin, 
  lar 
o’zaro  farqli  va 
 
  deb  hisoblaymiz.  (6.4)  tenglikdan 
ko’ramizki, 
 va 
 berilgan tenglamaning  yechimi ekanligi  kelib chiqadi. 
Bu  holda  ketma-ket  yaqinlashishlarni 
  gacha  bajarish  qiymatlar  berilgan 
tenglamaning  yechimi  bo’ladi.  Ildiz  rasional  son  bo’lganda,  shunday  hol  bo’lishi 
mumkin. 
 
Endi  biz  yuqoridagi  1),  2)  shartlar  bajarilgan  deb  faraz  qilib,  vatarlar 
metodining yaqinlashishiga to’xtab o’tamiz. Xato 
 uchun (6.3) ni  
 
munosabatni  chiqaramiz.  Agar  biz  bu  yerda 
  va 
  larning  xatolar 
darajalariga nisbatan yoyilmalari 
)
(
)
(
)
)(
(
1
1
1







n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x
)
(x
f
y 
)]
(
,
[
1
1
1



n
n
n
x
f
x
M
)]
(
,
[
n
n
n
x
f
x
M
)
(
)
(
)
(
1
1







n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
y
x
x
x
x
OX
1

n
x
1

n
x
1

n
x
n
x
n
x
)
( x
f
...)
,
2
,
1
(
0
)
(
)
(
1




n
x
f
x
f
n
n
0
)
(
)
(
1



n
n
x
f
x
f
1


n
n
x
x
1


n
n
x
x
1


n
n
x
x
)
(
)
(
)
)(
(
2
1
2
1
1
1










n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x
0
)
(
1


n
x
f
0
)
(

n
x
f
)
(
)
(
)
)(
(
1
1
1







n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x
1


n
n
x
x
n
n
x
x
x
x
,
,
...
,
,
1
1
0

1
1
0
...,
,
,

n
x
x
x
0
)
(
)
(
1



k
k
x
f
x
f
)
1
,
1
(


n
k
0
)
(
1


n
x
f
1

n
x
n
x
n
n
x




)
(
)
(
)
)(
(
1
1
1










n
n
n
n
n
n
n
f
f










)
(
n
f

 
)
(
1


n
f



 
76
 
ni qo’yib, tegishli amallarni bajarsak, quyidagi taqribiy  
                                                      (6.5) 
tenglikka  ega  bo’lamiz.  Agar  bu  tenglikni  Nyuton  metodi  uchun  chiqarilgan  (31) 
tenglik  bilan  solishtirsak,  vatarlar  metodida  xatoning  o’zgarish  qonuni  Nyuton 
qoidasidagi qonunga yaqinligini ko’ramiz. 
 
Nyuton  metodining  yaqinlashishi  haqidagi  1-teoremaga  o’xshash  quyidagi 
teorema ham o’rinlidir. 
 
5-teorema.  Agar 
  funksiya  va  dastlabki  yaqinlashish 
  1-teorema  (5-
ma’ruzadagi 1-teorema) shartlarini  qanoatlantirsa va bundan tashqari   uchun  
 va 
 
tengsizliklar bajarilsa, u hoda: 
1)  (6.3) qoida bilan aniqlangan 
 yaqinlashishlar chekli qadamdan keyin yechiga 
olib  keladi,  yoki 
  larni  barcha 
  lar  uchun  qurish  mumkin  bo’lib,  ular 
yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tashkil etadi 
; 
2)  limitdagi qiymat 
 tenglamaning yechimi bo’ladi; 
3)  yaqinlashish  tezligi 
  tengsizlik  bilan  baholanadi,  bu  yerda 
 
(5.13)  tenglamaning  kichik  ildizi  uchun 
  va 
  dan  boshlab 
vatarlar usuli bilan qurilgan ketma-ket yaqinlashishlardir. 
Endi bu metodni misol yechishga tadbiq qilamiz. 
 
Misol.  
 
tenglamaning musbat ildizi 
 aniqlik bilan topilsin. 
 
Yechish.  Biz  yuqorida  ko’rgan  edikki,  izlayotgan  ildiz  (1,5;  1,75)  oraliqda 
yotadi va 
 nuqtaning yaqin atrofida 5-teoremaning barcha shartlari bajariladi. 
Bu yerda 
 deb olamiz. U vaqtda 
 va 
 
ekanligini ko’rsatish mumkin. 
Shunday  qilib,  5-teoremaning  hamma  shartlari  bajariladi.  Demak, 
  ketma-ketlik 
 ildizga intiladi. (36) qoidaga asosan 
 ni topamiz: 
. 
Yana uchta yaqinlashishlari quyidagidan iborat: 
. 
...
)
(
2
1
)
(
)
(
...,
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
1
1
2

















n
n
n
n
n
n
f
f
f
f
f
f












n
n
n
f
f





1
1
)
(
)
(
2
1






)
( x
f
0
x
1
x






t
h
h
x
x

2
1
1
|
|
0
1
)
(
)
|
|
(
|
)
(
|
1
0
1
1
t
P
x
x
P
x
f



n
x
n
x
n




n
n
x
lim
0
)
(

x
f

n
n
t
t
x




|
|

n
t
0
0

t
|
|
0
1
1
x
x
t


0
15
12
2
4
)
(
2
3
4






x
x
x
x
x
f
6
10

75
,
1
0

x
72
,
1
1

x
588
,
0
2
03
,
0
|
|
0
1





x
x
)
03
,
0
(
)
72
,
1
(
P
f

}
{
n
x

2
x
7188829
,
1
)
75
,
1
(
)
72
,
1
(
)
75
,
1
72
,
1
)(
72
,
1
(
75
,
1
2





f
f
f
x
7320508
,
1
;
7320508
,
1
;
7320622
,
1
5
4
3



x
x
x

 
77
Tenglamalar  sistemasi  uchun  nyuton  metodi.  Bu  yerda 
  ta 
 
noma’lumli   ta 
                                                          (6.6) 
tenglamalar  sistemasini  yechish  uchun  Nyuton  metodini  ko’rib  chiqamiz.  Yozuvni 
qisqaroq qilish maqsadida   orqali 
 vektorni va 
 orqali 
 
vektor-funksiyani belgilaymiz. U holda, (6.6) sistemani bitta  
 
vektor-tenglama  shaklida  yozish  mumkin.  (6.6)  sistemasini  yechish  uchun  Nyuton 
metodi,  tabiiyki  bitta  sonli  tenglama  uchun  yuqorida  ko’rib  o’tilgan  metodning 
umumlashganidir.  Yuqoridagidek  bu  yerda  ham  metodning  asosiy  g’oyasi  chiziqli 
bo’lmagan  (6.6)  sistemani  ketma-ket  chiziqli  sistemaga  keltirishdan  iboratdir.  Agar 
aniq  yechim  Bilan  taqribiy  yechim  orasidagi  xato  yetarlicha  kichik  bo’lsa,  ajratib 
olingan qism tenglamalar sistemasining bosh qismi bo’ladi. 
 
Faraz  qilaylik,  bizga  (6.6)  sistemaning  taqribiy  yechimi 
 
ma’lum  bo’lsin, 
  oraqali 
  vektor 
xatoni  belgilaymiz.  (6.6)  sistemada 
  o’rniga 
  ni  qo’yib,  hosil  bo’lgan 
sistemaning  chap  tomonini 
  larning  darajalariga  nisbatan  Teylor  qatoriga 
yoyib, 
  ga  nisbatan  chiziqli  qismini  saqlab,  quyidagi  taqribiy  sistemaga 
ega bo’lamiz: 
                                  (6.7) 
Bu sistemani yechib, xatoning taqribiy qiymati 
 ni topamiz. 
 
ni 
 ga qo’shib, navbatdagi yaqinlashish vektorini hosil qilamiz: 
. 
O’z  navbatida 
  ni  yaxshilashimiz  mumkin,  buning  uchun 
  o’rniga 
  ni 
qo’yib,  (6.7)  ko’rinishdagi  sistemani  tuzish  kerak.  Shunday  qilib,  agar  (6.7) 
ko’rinishdagi  sistemalar  yechimga  ega  bo’lsa,  biz  ketma-ket  yaqinlashishlar 
vektorlarini topamiz. 
 
Qulaylik uchun Yakobi matrisasini kiritamiz: 
n
n
x
x
x
,
...
,
,
2
1
n










0
)
,
...
,
,
(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
0
)
,
...
,
,
(
,
0
)
,
...
,
,
(
2
1
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
x 
)
(x
f
))
,
...
,
,
(
,
.
.
.
),
,
...
,
,
(
(
)
(
2
1
2
1
1
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f

0
)
(

x
f
)
,
...
,
,
(
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
)
0
(
n
x
x
x
x

)
,
...
,
,
(
2
1
n



 
)
,
...
,
,
(
)
0
(
)
0
(
2
2
)
0
(
1
1
)
0
(
n
n
x
x
x
x









х


)
0
(
x
n



,
...
,
,
2
1
n



,
...
,
,
2
1

























).
(
)
(
.
.
.
)
(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
),
(
)
(
.
.
.
)
(
)
0
(
)
0
(
1
1
)
0
(
)
0
(
1
)
0
(
1
1
1
)
0
(
1
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
n
n
n
n
n
n
n




)
,
...
,
,
(
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
)
0
(
n





)
0
(

)
0
(
x
)
,
.
.
.
,
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
1
)
0
(
1
)
0
(
)
0
(
)
1
(
n
n
x
x
x
х








)
1
(
х
)
0
(
х
)
1
(
х

 
78
                                           (6.8) 
Bu  matrisa  yordamida  (40)  sistemani  quyidagi  bitta  vektor-sistema  shaklida 
yozishimiz mumkin: 
. 
Faraz  qilaylik, 
  nuqtada 
  maxsusmas  matrisa  bo’lsin.  Determinant  o’z 
elementlarining  uzluksiz  funksiyalari  bo’lganligi  uchun 
  nuqtaning  biror 
 
atrofida (6.7) maxsusmas matrisa bo’lib, uning teskarisi 
 mavjud bo’ladi. 
 
Faraz  qilaylik, 
,  u  vaqtda  (6.8)  ning  har  ikkala  tomonini 
  ga 
ko’paytirib, 
 
yoki  
 
ni hosil qilamiz. Agar 
 lar 
 atrofida yotsa, u holda 
 ni  
                          (6.9) 
tenglikdan  topamiz.  Bu 
  ketma-ket  yaqinlashishlarni  topish  uchun  Nyuton 
qoidasidir.  Bu  qoidaning  amalga  oshishi  uchun 
  lar 
  ning 
aniqlanish sohasida yotishi va 
 matrisalar maxsusmas bo’lishi kerak. 
 
Biz  hozir  L.V.Kantarovichning  (6.9)  Nyuton  jarayonining  yaqinlashishi 
haqidagi teoremasini isbotsiz keltiramiz. 
 
6-teorema.  Agar 
  vektor-funksiya  va  dastlabki  yaqinlashish  vektori 
 
quyidagi shartlarni qanoatlantirsa: 
 1) 
  nuqtada 
  Yakobi  matrisasining  determinanti 
 
noldan farqli va 
 elementning algebraik to’ldiruvchisi 
 bo’lib va 
 
baho o’rinli bo’lsa; 
2) 
 
3) 
 ning  
 
atrofidagi barcha nuqtalar uchun  
 
tengsizliklar bajarilsa; 
.
)
(
.
.
.
)
(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
(
.
.
.
)
(
)
(
)
0
(
1
)
0
(
)
0
(
1
1
)
0
(
1

























n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
)
(
)
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
x
f
x
f
x





х
)
(

х
f


x
G
)
(
1
x
f
x

G
x

)
0
(
)
(
)
0
(
1
x
f
x

)
(
)
(
)
0
(
)
0
(
1
)
0
(
x
f
x
f
x




)
(
)
(
)
0
(
)
0
(
1
)
0
(
)
1
(
x
f
x
f
x
х
x




)
(
)
2
(
)
1
(
,
.
.
.
,
,
k
x
x
x
G
)
1
( 
k
х
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
1
(
k
k
x
k
k
x
f
x
f
x
x




)
(k
x
...)
,
2
,
1
,
0
(
)
(

k
x
k
)
(х
f
)
(
)
(k
x
x
f
)
( x
f
)
0
(
x
)
0
(
x
)
(
)
0
(
x
f
х
))
(
(
)
0
(
x
f
х



k
i
х
f


jk

)
,
1
(
|
|
|
|
1
1
n
k
B
n
j
jk






;
)
,
1
(
|
)
(
|
)
0
(
1
n
i
x
f



)
0
(
х
)
,
1
(
2
|
|
)
0
(
1
n
i
B
x
х
i












n
k
n
j
n
j
i
n
i
L
x
x
x
f
1
1
2
)
,
1
(
)
(

 
79
 
4) 
 miqdorlar  
 
shartni qanoatlantirsa, u holda 
 nuqtaning  
 
atrofida  (6.6)  sistema  yagona 
  yechimga  ega  bo’lib,  (6.9)  bilan 
aniqlangan 
  Nyuton  ketma-ketligi  yaqinlashadi  va  shu  bilan 
birga, yaqinlashish tezligi  
 
tengsizlik bilan baholanadi.  
 
Shunga  o’xshash  teoremani  Nyutonning  modifikasiyalangan  metodi  uchun 
ta’riflash va isbot qilish mumkin.  
 
Shuni  ham  ta’kidlab  o’tish  kerakki,  (6.7)  sistemada  tenglamalar  soni  ikkita 
bo’lganda  bu  sistemani  determinatlar  yordamida  yechish  kerak.  Tenglamaning  soni 
ikkitadan ko’p bo’lsa, bunday sistemalarni keyingi bobda keltiriladigan metodlarning 
birortasi bilan yechish ma’quldir. Agar bizga ikkita  
 
tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsa, u hoda (6.9) qoida quyidagicha yoziladi: