Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Isbot. (5.9) shartga ko’ra 
 bo’lganligi uchun 
 ko’phadning  
 
diskriminanti manfiy emas, shuning uchun ham tenglamning har ikkala ildizi haqiqiy 
va  osonlik  bilan  ko’rish  mumkin,  ular  musbatdir.  Dastlabki  yaqinlashish 
  (5.13) 
tenglamaning kichik ildizi  
 
ga  yaqin  turganligi  uchun 
  ketma-ketligi 
  ga  yaqinlashadi  vash  u 
bilan birga 
 bo’ladi. 
 
Induksiya  metodini  qo’llab, 
  ketma-ketlikni  qurish  mumkinligini,  uning 
barcha elementlarining (5.7) oraliqda yotishini va  
 
  

,
, K
B
2
1



BK
h





n
h
2
1
1

.)
.
.
,
1
,
0
(
)
(
)
(
1





n
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n





n
n
x
lim
n
n
t
t
x




|
|

n
t
0
2
)
(
2




B
B
t
t
K
t
P


t
0
0

t
n
)
(
)
(
1
n
n
n
n
t
P
t
P
t
t




2
1
0

 h
)
(t
P
2
2
2
1
2
1
4
1
B
h
B
K
B






0
t

h
h
t
2
1
1




...)
,
2
,
1
,
0
( 
n
t
n

t
...
2
1
0



t
t
t
}
{
n
x
n
n
n
n
t
t
x
x





1
1
|
|

 
65
baho  o’rinli  ekanligini  ko’rsatamiz.  Avval 
  holni  ko’raylik, 
  (5.7)  oraliqda 
yotganligi  va 
  bo’lganligi  uchun 
  ni  topamiz. 
 
bo’lganda 
 
kasrning 
 da yotishi ko’rinib turibdi. Demak, (10) ga ko’ra  
, 
ya’ni   (5.7) oraliqda yotadi. Shartga ko’ra 
 
 
va 
 bo’lganligi uchun, (5.12) tengsizlik 
 uchun o’rinlidir. 
 
Faraz qilayliq, 
 lar qurilgan bo’lib, (5.7) oraliqda yotsin va ular uchun  
  
                                          (5.15) 
tengsizliklar bajarilsin. 
 
Farazga ko’ra, 
 (5.7) da yotadi va 
 ma’noga ega. Faqat 
 
ekanligini  ko’rsatish  kerak.  11-chizmadan  ko’rinib  turibdiki, 
.  Buni 
nazarda tutib quyidagi  
 
munosabatlardan 
 ni hosil qilamiz. 
 
Endi 
  ni  baholaymiz.  Buning  uchun 
  ning 
  atrofidagi  Teylor 
qatori yoyilmasidan foydalanamiz: 
 
 
Bunda esa, (5.11) ga ko’ra 
 
 
Endi (5.8) va induksiya sharti (5.15) dan 
                                          (5.16) 
0

n
0
x
0
)
(
0

 x
f
)
(
)
(
0
0
0
1
x
f
x
f
x
x



2
1
0

 h
h
h
h
2
1
1
2
2
1
1





]
2
,
1
(











h
h
x
f
x
f
x
x
2
1
1
)
(
)
(
|
|
0
0
0
1
1
x
0
0

t










0
1
0
0
0
1
,
1
)
(
)
(
t
t
B
B
t
P
t
P
t
t



|
|
0
1
x
x
0

n
n
x
x
x
,...,
,
1
0
)
1
,
...
,
1
,
0
(
|
|
1
1







n
k
t
t
x
x
k
k
k
k
n
x
)
(
),
(
n
n
x
f
x
f

0
)
(


n
x
f
0
)
(



n
t
P
)
(
1
)
(
1
|
)
(
...
)
(
)
(
|
1
|
)
(
...
)
(
)
(
|
1
|
|
1
|
)
(
)
(
|
|
)
(
|
0
0
1
2
1
1
0
1
2
1
1
0
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
t
P
t
K
B
t
t
K
B
t
t
t
t
t
t
K
B
x
x
x
x
x
x
K
B
x
x
K
B
dt
t
f
x
f
x
f
n










































0
)
(
|
)
(
|





n
n
t
P
x
f
)
(
n
x
f
)
(
n
x
f
1

n
x




.
,
)
)(
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
c
x
x
c
f
x
f
x
x
x
f
x
f













.
)
)(
(
2
1
)
(
2
1




n
n
n
x
x
c
f
x
f
2
1
2
1
)
(
2
)
(
2
|
)
(
|






n
n
n
n
n
t
t
K
x
x
K
x
f

 
66
kelib chiqadi. 
 
Shunga o’xshash hisoblashlarni 
 uchun bajarsak: 
                                          (5.17) 
hosil bo’ladi. 
 
(5.16)-(5.17) lardan 
 
tengsizlik kelib chiqadi. Demak, 
, 
ya’ni  (5.15)  baho 
  uchun  o’rinli  ekanligini  ko’ramiz.  Endi  faqat 
  ning 
(5.7)  oraliqda  yotishligini  ko’rsatsak  kifoya.  Bu  esa  quyidagi  tengsizliklardan  kelib 
chiqadi: 
 
  ketma-ketlik  yaqinlashuvchi  bo’lganligi  uchun  u  fundamental  ketma-ketlikni 
tashkil etadi. 
 ketma-ketlikning fundamentalligi quyidagi  
 
tengsizlikdan  kelib  chiqadi.  Demak, 
  ketma-ketlikning  limiti  mavjud,  bu  limitni 
  orqali  belgilaymiz: 
.  Agar 
  tengsizlikda 
  limitga 
o’tsak, 
 ning   ga intilishi tezligi uchun (5.12) bahoga ega bo’lamiz. 
 
Nihoyat,  (5.11)  tengsizlikda 
  da  limitga  o’tib, 
  ni  hosil 
qilamiz,  bundan  esa 
  ning  chegaralanganligini  hisobga  olsak, 
  kelib 
chiqadi. Shunday qilib, teorema to’la isbot bo’ldi.  
 
Izoh. Teoremadagi (5.12) baho aniq bahodir, chunki u (5.13) kvadrat tenglama 
 uchun aniq tenglikka aylanadi. 
 
Yuqoridagi  (5.12)  bahodan  foydalanish  uchun   
  tenglamaning 
yechimini  topi  shva  bu  tenglama  uchun 
  Nyuton  ketma-ketligini  qurish  kerak. 
Qulaylik uchun kvadrat tenglamada 
 deb olib, yangi   o’zgaruvchini kiritamiz. 
Natijada  
 
bo’ladi. Endi 
                                                   (5.18) 
kvadrat tenglama uchun Nyuton ketma-ketligini tuzamiz: 
, 
)
(
n
t
P
2
1
2
1
)
(
2
)
)(
(
2
1
)
(







n
n
n
n
n
t
t
K
t
t
c
P
t
P
)
(
|
)
(
|
n
n
t
P
x
f

n
n
n
n
n
n
n
n
t
t
x
P
x
P
x
f
x
f
x
x










1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
|
|
1

 n
k
1

n
x
.
2
1
1
)
(
...
)
(
|
)
(
...
)
(
|
|
|
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1




























h
h
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
}
{
n
t
}
{
n
x
n
p
n
n
n
p
n
p
n
n
n
p
n
p
n
n
p
n
t
t
t
t
t
t
x
x
x
x
x
x
























)
(
...
)
(
|
)
(
...
)
(
|
|
|
1
1
1
1
}
{
n
x

n
n
x


 lim

n
p
n
n
p
n
t
t
x
x





|
|


p
n
x



n
)
(
)
(




f
f



)
(

f 
0
)
(



f
0
)
(

t
P
0
)
(

t
P
}
{
n
t


t










1
2
1
)
(
2




h
B
P
0
1
2
1
)
(
2








h
0
0



 
67
.                                             (5.19) 
Bu  tenglamaning  kichik  ildizi 
  bo’lib, 
  ketma-ketlik  unga 
yaqinlashadi. Osongina ko’rish mumkinki 
. 
 
2-teorema. Agar 1-teoremaning shartlari bajarilsa, 
 ayirma uchun  
 
baho o’rinlidir. 
 
Isbot. 
 ning ta’rifidan kelib chiqadigan  
 
tenglikni nazarda tutib, Teylor formulasidan 
 
                                              (5.20) 
ni hosil qilamiz. Bundan tashqari  
                                   (5.21) 
tengliklarga ega bo’lamiz. Endi 
 lar uchun  
 va 
                                             (5.22) 
ekanligini  ko’rsatamiz.  Buning  uchun  induksiya  metodidan  foydalanamiz. 
  va 
  bo’lganligi  sababli 
  uchun  (5.22)  o’rinlidir.  Endi  faraz  qilaylik, 
 uchun  
             
bajarilsin. U holda 
 ekanligini nazarda tutib, (5.21) dan 
 
va  
 
larni hosil qilamiz. So’ngra (5.19) va 
 dan  
 
kelib chiqadi. Teylor formulasidan esa  
 
larga ega bo’lamiz. Demak, 
. 
...)
,
2
,
1
,
0
(
)
(
)
(
1





n
n
n
n
n






h
h
2
1
1





}
{
n

n
n
t


n
x





1
2
1
)
2
(
2
1
|
|




n
h
x
n
n

0
)
(
)
(
)
(
1
1
1







n
n
n
n














)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
n
n
n
n
n








2
1
2
1
)
(
2
)
)(
(
2
1







n
n
n
n
h






2
1
1
1
)
(
1
2
1
)
(
)
(
,
1
)
(












n
n
n
n
n
n
n
n
h
h
h












...
,
2
,
1

n
)
2
1
(
2
n
n




n
n
n




1
1
2


0
0


1
1


1

n
n
k
,
...
,
2
,
1

k
k
k
k
k







1
1
2
),
2
1
(
2



2
1
0

 h
n
n
n
n
n
n
n
n
h
h
h
h














2
)
2
1
(
2
1
2
2
1
)
(
1
2
1
1
2
3
2
1
1





)
2
1
(
2
2
)
2
1
(
2
)
(
1
1
1














n
n
n
n
n
n
n




0
)
(






)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1























n
n
n
n
n
n
n


















1
)
(
,
)
(
2
1
)
)(
~
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
1
2
1
1
1
1























n
n
n
n
n
n
n
h
h

















1
2
1
1
)
(
2








n
n
n
h
h






 
68
 
(22) tengsizlikka ko’ra  
. 
Shuning uchun ham  
.                                                 (5.23) 
Bu tengsizlikni 
 lar uchun ketma-ket qo’llaymiz. Yuqorida 
 
ekanligini aytib o’tgan edik, shuning uchun ham (5.23) dan 
 bo’lganda  
 
kelib chiqadi, 
 bo’lganda esa 
. 
Bu baholashlarni davom ettirib,   - qadamda 
 
ga ega bo’lamiz. Shu bilan teorema isbot bo’ladi, chunki  
. 
 
Izoh.  Bu  teoremadan  ko’ramizki, 
  bo’lganda 
  juda  tez  nolga 
intiladi,  qo’pol  qilib  aytganda 
  dan 
  ga  o’tganda  xato  o’zining  kvadratiga 
o’zgaradi, ya’ni yaqinlashish kvadratik qonunga bo’ysunadi. 
 
Amalda qo’llashga qulay bo’lsin uchun 
 ning   va   ga bog’liq bo’lga 
valini  tuzish  mumkin.  Bundan jadval quyida (1-jadval) 
 va 
 lar uchun 
keltirilgan. 
1-jadval 
 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
0,05 
0,10 
0,15 
0,20 
0,25 
0,30 
0,35 
0,40 
0,45 
0,50 
 
 
1,026 
1,056 
1,089 
1,127 
1,172 
1,225 
1,292 
1,382 
1,519 
2 
 
2,63∙10-2 
5,57∙10-2 
8,89∙10-2 
1,27∙10-1 
7,20∙10-1 
2,25∙10-1 
2,92∙10-1 
3,82∙10-1 
5,19∙10-1 
1 
 
1,83∙10-5 
1,73∙10-4 
6,98∙10-4 
2,02∙10-3 
4,91∙10-3 
1,09∙10-2 
2,30∙10-2 
4,96∙10-2 
1,10∙10-1 
5,00∙10-1 
 
8,77∙10-12 
1,66∙10-9 
4,66∙10-8 
5,25∙10-7 
4,25∙10-6 
2,78∙10-5 
1,66∙10-4 
1,01∙10-3 
7,49∙10-3 
2,50∙10-1 
 
2,03∙10-24 
1,55∙10-19 
1,77∙10-16 
3,56∙10-14 
3,19∙10-12 
1,84∙10-10 
8,85∙10-9 
4,59∙10-7 
3,95∙10-5 
1,25∙10-1 
 
 
 
 
 
1,80∙10-24 
8,02∙10-21 
2,50∙10-17 
9,42∙10-14 
1,11∙10-9 
6,25∙10-2 
 
n
n
n
h









1
1
1
2
)
2
1
(
2
2
1
1
1

2
1
2
)
(
2







n
n
n
h




...
,
2
,
1

n
2
2
1
1





h
h

1

n
h
h
2
)
(
2
2
0
1
1











2

n
3
2
2
1
2
)
2
(
2
1
)
2
(
)
(
h
h
h
h











n
1
2
1
)
2
(
2
1





n
h
n
n





1
2
1
)
2
(
2
1
)
(
|
|











n
h
t
t
t
x
x
n
n
n
n
1
2 
h
n




n
1

n
n




n
h
2
1
0

 h
5
,
1

n
n
h

 
69