Amaliy topshiriqlarni bajarish uchun zarur ma’lumotlar Asosiy belgilashlar. Silvestr kriteriylari

2-teorema (klassik Lagranj ko’paytuvchilari qoidasi). (1) masalaning har bir lokal optimal rejasi uchun, shunday noldan farqli Lagranj vektori topiladiki, quyidagi shartlar bajariladi:
1) Manfiymaslik:
2) Stasionarlik:
3) Passivlikni to’ldiruvchi: .
Ta’rif. Agar uchun shunday topilib,
(2)
shartlar bajarilsa, ga (1) masalaning shartli -stasionar rejasi deyiladi.
2-teoremaga ko’ra, shartli - stasionar rejalar optimallikka shubhali nuqtalardir.
3 – teorema.Faraz qilaylik, - oddiy lokal optimal reja, - unga mos keluvchi Lagranj vektori bo’lsin. U vaqtda
(3)
sistemani qanoatlantiruvchi har bir vektorda

bo’ladi, bu yerda -klassik Lagranj funksiyasi.
4-teorema(yetarli shart). (1) masalaning shartli-stasionar rejasi lokal optimal reja bo’lishi uchun, (3) sistemani qanoatlantiruvchi har bir vektorda shartning bajarilishi yetarlidir.
Eslatma. Agar (1) masaladagi funksiyalar chiziqli bo’lsalar, 2-3-teoremalar, rejaning oddiylik shartisiz ham o’rinli bo’ladi.
2. (1) masalani yechish sxemasi.
Faraz qilaylik, bo’lsin.U holda, (1) masalani quyidagi tartibda tekshirib, optimal rejani topish mumkin.
a) m a s a l a n i s o d d a l a sh t i r i sh( o’ z g a r u v ch i l a r n i
y o’ q o t i sh).Agar tenglikdan o’zgaruvchini qolganlari orqali oson ifodalash mumkin bo’lsa, yani
, (4)
bo’lsa, ni (1) masaladan chiqarish mumkin. Buning uchun, funksiyalarda o’rniga (4) ifodani qo’yamiz. Natijada, (1) masalaga ekvivalent bo’lgan,ammo o’zgaruvchilari va bog’lanishlari bittaga kamaygan masalaga ega bo’lamiz.Shu ishni davom etdirib, (1) masalani imkoni boricha soddalashtiramiz.
b) ye ch i m m a v j u d l i g i n i t ye k sh i r i sh.
Veyershtrass teoremasidan va funksiyalarning xossalaridan foydalanib, optimal rejaning mavjudligini tekshirib ko’ramiz.Agar u mavjud bo’lmasa, yoki mavjudlik masalasiga aniq javob berilmasa,faqat lokal optimal rejalarni izlash bilan cheklanish mumkin.
c) u m u m l a sh g a n v a k l a s s i k L a g r a n j k o’ p a y t u v ch i –
l a r i q o i d a l a r i d a n f o y d a l a n i sh. Bu qoidalardan foydalanib, optimallikka shubhali rejalarni aniqlaymiz. Agar (1) masalaning bog’lanishlari chiziqli bo’lsalar,optimallikka shubhali rejalar faqat shartli - stasionar rejalardan iborat bo’ladi.Umumiy holda esa, shartli - stasionar rejalardan tashqari,

sistemaning

shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlari izlanadi va shunday yechim mavjud bo’lsa, ham (1 teoremaga asosan) optimallikka shubhali deb hisobga olinadi.
d) i k k i n ch i t a r t i b l i z a r u r i y v a ye t a r l i sh a r t l a r-
n i t ye k sh i r i sh. 3 - teoremadan foydalanib, optimallikka shubhali nuqtalarni kamaytirish mumkin. Agar (3) sistemani qanoatlantiruvchi har bir vektorda bo’lsa, shartli - stasionar reja optimallikka shubhali nuqta sifatida qoladi.Aks holda esa, - lokal optimal reja bo’la olmaydi(demak, uni optimallikka shubhali nuqtalar safidan chiqaramiz).
4-teoremadan foydalanib, lokal optimal rejani aniqlash mumkin: agar shartli - stasionar reja uchun tuzilgan (3) sistemani qanoatlantiruvchi har bir vektorda bo’lsa, - (1) masalaning lokal optimal rejasi bo’ladi.
e) o p t i m a l r ye j a n i t o p i sh. Agar (1) masalaning yechimi mavjud bo’lsa va optimallikka shubhali bo’lgan barcha nuqtalar aniqlangan bo’lsa, optimal rejani

munosabatdan aniqlaymiz.
Eslatma. Agar (1) masalaning rejalar to’plami chegaralanmagan bo’lib, Veyershtrass teoremasini ko’llab bo’lmasa , har xil yo’nalishlar bo’yicha
da funksiyaning o’zgarishini tekshirib ko’rish kerak bo’ladi. Agar biror yo’nalish bo’yicha olingan rejalarda bo’lsa, (1) masalaning yechimi mavjud emas.
3 – m i s o l.
(5)
Ye ch i l i sh i. 1).Dastlab (5) masalani soddalashtiramiz.Buning uchun
bog’lanishdan ni topib, uni qolgan bog’lanishlarga va maqsad funksiyasiga keltirib qo’yamiz.Natijada quyidagi masalaga kelamiz:
(6)
2). (6) masala yechimining mavjudligini tekshiramiz.Bu masalaning rejalar to’plami chegaralanmagan sohadir (6-chizma).
(6) masala maqsad funksiyasining sath to’plami

chegaralangan va yopiq to’plamdir.Veyershtrass teoremasiga asosan, (6) masalaning yechimi mavjud.

6 – chizma.

3). (6) masala uchun Lagranj ko’paytuvchilari qoidasidan foydalanamiz. Bog’lanishlar chiziqli bo’lgani uchun faqat shartli - stasionar nuqtalarni aniqlasak bo’ladi. Buning uchun klassik Lagranj funksiyasini tuzamiz:

va bu funksiya uchun stasionarlik hamda passivlikni to’ldiruvchi shartlarni yozamiz:

Bu sistemaning shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz.
Passivlikni to’ldiruvchi shartlarning bajarilishida quyidagi 8 ta hol bo’lishi mumkin:

a),b) hollarda stasionarlik shartini qanoatlantiruvchi nuqta yo’q
( mustaqil ravishda isbotlang!). Qolgan hollarda stasionarlik shartini qanoatlantiruvchi juftlar bor, ammo ular hamma vaqt ham shartlarni qanoatlantiravermaydi.Faqat c) holdan aniqlanuvchi
nuqta barcha shartlarni qanoatlantiradi.
Demak, yagona shartli - stasionar rejadir.
4). Optimallikning ikkinchi tartibli zaruriy va yetarli shartlarini tekshiramiz.

bo’lgani uchun optimallikning ikkinchi tartibli zaruriy sharti bajariladi.
shartli - stasionar rejada faqat ikkinchi bog’lanish aktiv:
,
bundan tashqari, . Demak, ,shuning uchun (3) sistema
ko’rinishda bo’ladi.
Bu sistemani qanoatlantiruvchi har bir vektorda

Demak, nuqtada lokal minimumning yetarli sharti bajariladi.
5). (6) masalaning yechimi mavjud bo’lgani uchun, yagona lokal optimal reja optimal reja ham bo’ladi.
6).(5) masalaning yechimini topamiz. Buning uchun larni ga keltirib qo’yamiz: Demak, (5) masalaning optimal rejasidir.
TAKRORLASh UChUN SAVOLLAR
1.Chiziqli bo’lmagan programmalashtirish umumiy masalasining qo’yilishi.Aktiv bog’lanishlar,oddiy rejalar.
2.Klassik va umumlashgan Lagranj ko’paytuvchilari qoidalari.Shartli- stasionar rejalar.
3. Optimallikning ikkinchi tartibli zaruriy va yetarli shartlari.
4.Chiziqli bo’lmagan programmalashtirish umumiy masalasini yechish sxemasi.
Adabiyotlar : [1],IV-bob ,2 -§ ;[2], III-bob , 4 - §; [6], V-bob , 3-§ .

MUSTAQIL BAJARISh UChUN TOPShIRIQLAR.

Chiizqli bo’lmagan programmalash umumiy masalasini yeching