Amaliy topshiriqlarni bajarish uchun zarur ma’lumotlar Asosiy belgilashlar. Silvestr kriteriylari

TAKRORLASh UChUN SAVOLLAR

1. 
   Shartsiz ekstremum masalasi uchun optimallikning zaruriy shartlari ; stasionar nuqtalar; optimallikka shubhali nuqtalar .
   
2. 
   Qavariq (botiq) funksiya uchun optimallikning zaruriy va yetarli shartlari nima?
   
3. 
   Shartsiz ekstremum masalasi uchun optimallikning yetarli sharti .
   
4. 
   Lokal optimal rejani va optimal rejani topish qanday bajariladi?
   

Adabiyotlar: [2], III-bob 2-§, [3], 6-§, [7], 9-bob 3-§.
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
Quyidagi berilgan masalalarda lokal optimal rejalarni va optimal rejani (agar u mavjud bo’lsa,) toping.



7-§. Shartli ekstremum masalasi

Shartli ekstremum uchun qo’yilgan klassik masalani,ya’ni

(1)
ekstremal masalani qaraymiz.
(1)masalani yechishning quyidagi klassik usullari mavjud:
o’zgaruvchilarni yo’qotish usuli; Lagranj ko’paytuvchilari usuli.
1. O’zgaruvchilarni yo’qotish usuli
Bu metod yordamida n-o’zgaruvchili (1) shartli ekstremum masalasi, ta o’zgaruvchili funksiyaning shartsiz ekstremumini topish masalasiga keltiriladi.Bu quyidagicha bajariladi.Faraz qilaylikki,
(2)
tenglamalardan m ta o’zgaruvchilar , masalan, lar, qolganlari orqali ifodalansin:
(3)
(3) ifodalarni maqsad funksiyasiga keltirib qo’yib, n-m o’zgaruvchili,

funksiyaga ega bo’lamiz.Endi
(4)
shartsiz ekstremum masalasini qaraymiz.
Agar - (4) masalaning yechimi bo’lsa,
- (1) masalaning yechimi bo’ladi.
1- m i s o l.
. (5)
Ye ch i l i sh i. Masaladagi bog’lanishdan ni topib , funksiyaga qo’yamiz va

shartsiz ekstremum masalasiga kelamiz.Uni yechamiz:
.
Demak, funksiyaning stasionar nuqtasidir.Bu stasionar nuqta (6) masala uchun absolyut minimum nuqtasi bo’ladi, chunki qat’iy qavariq Funksiyadir.Haqiqatan ham,
.
Endi ni ga keltirib qo’yib, ekanligini topamiz. Demak, o’zgaruvchilarini yo’qotish usuliga ko’ra, - (5) masala uchun absolyut minimum nuqtasi bo’ladi. Absolyut maksimum nuqtasi esa, mavjud emas, chunki,
.


Eslatma. funksiyalar chiziqli bo’lmaganda (2) tenglamalardan (3) ifodalarni aniqlash qiyinchilik tug’diradi. Shuning uchun, bunday xollarda, o’zgaruvchilarni yo’qotish usulini qo’llab bo’lmaydi.
2.Lagranj ko’paytuvchilari usuli.
Quyidagi funksiyalarni tuzamiz;

- Lagranj ko’paytuvchilari , - Lagranj vektori, - umumlashgan Lagranj vektori, (7) - klassik Lagranj funksiyasi, (8) - umumlashgan Lagranj funksiyasi deyiladi.
1-teorema. Faraz qilaylik , bo’lsin. U holda,
(1) masalaning optimal rejasi uchun shunday umumlashgan Lagranj vektori mavjudki,

bo’ladi.
2-teorema. Faraz qilaylik, bo’lsin, va (1) masalaning optimal rejasida hisoblangan
(9)
vektorlar chiziqli bog’lanmagan bo’lsin.U holda shunday yagona Lagranj vektori topiladiki,
(10)
bo’ladi.
1,2- teoremalarga Lagranj ko’paytuvchilari qoidasi deyiladi.