Amaliy topshiriqlarni bajarish uchun zarur ma’lumotlar Asosiy belgilashlar. Silvestr kriteriylari

3-teorema. Faraz qilaylik, bo’lsin.Agar (1) masalaning optimal rejasida hisoblangan (9) vektorlar chiziqli bog’lanmagan bo’lsalar,

tenglamalar bilan berilgan gipertekislikda
(12)
kvadratik forma o’z ishorasini o’zgartirmaydi; aniqrog’i agar - minimum nuqtasi bo’lsa, ,va - maksimum nuqtasi bo’lsa, bo’ladi.
Ta’rif. Agar (1) masalaning rejasi uchun vektor topilib, (10) tengliklar bajarilsa, - (1) masalaning shartli - stasionar rejasi deyiladi.
4- teorema . Faraz qilaylik, va -(1) masalaning shartli stasionar rejasi bo’lsin. Agar (11) gipertekislikda (12) kvadratik forma musbat aniqlangan (ya’ni ) bo’lsa, -lokal minimum nuqtasi; (12) kvadratik forma manfiy aniqlangan (ya’ni ) bo’lsa, -maksimum nuqtasi bo’ladi.
Eslatma. Agar (1) masalaning bog’lanishlari chiziqli funksiyalar bilan berilgan bo’lsa, 2,3-teoremalar, (9)-vektorlarning chizikli bog’lanmaganlik shartisiz ham bajariladi.
L a g r a n j k o’ p a y t u v ch i l a r i u s u l i n i q o’ l l a sh s x ye -
m a s i. Faraz qilaylik, , bo’lsin. U holda ekstremumning zaruriy va yetarli shartlaridan (1-4-teoremalar) foydalanib, (1) masalani quyidagi tartibda yechamiz.
a) L a g r a n j k o’ p a y t u v ch i l a r i q o i d a s i d a n f o y d a l a n i sh. Bu qoidadan foydalanib, ekstremumga shubhali nuqtalarni aniqlaymiz. Agar -(1) masalaning shartli - stasionar rejasi bo’lsa, yoki vektor topilib, uchun tengliklar bajarilsa, ni ekstremumga shubhali nuqta sifatida hisobga olamiz (1-teoremaga asosan). Bog’lanishlar chiziqli bo’lganda esa, ekstremumga shubhali nuqtalar, faqat shartli-stasionar rejalardan iboratdir.
b) i k k i n ch i t a r t i b l i z a r u r i y sh a r t n i v a ye t a r l i
sh a r t n i t ye k sh i r i sh. Har bir shartli - stasionar reja uchun (2) tenglamalarni (ya’ni, gipertekislikni) va (12) kvadratik forma ni tuzamiz. 4-teoremaga ko’ra, agar bo’lsa, -lokal minumum nuqtasi; agar bo’lsa, -lokal maksimum nuqtasi bo’ladi. 3-teoremaga ko’ra, agar (yoki ) , bo’lsa, -optimallikka shubhali nuqta bo’lib qolaveradi; agar kvadratik forma gipertekislikda har xil ishorali qiymatlar qabul qilsa , -lokal minumum nuqtasi ham, lokal maksimum nuqtasi ham bo’lmaydi.
c) o p t i m a l r ye j a n i a n i q l a sh. Masala yechimining mavjudligini tekshirib ko’ramiz (Veyershtrass teoremasidan foydalanish mumkin). Agar (1) masalaning yechimi mavjud bulib, lokal optimal rejalar va optimallikka shubhali nuqtalar bo’lsa, optimal rejani shartdan topamiz.
Eslatma. Ba’zi hollarda, kvadratik formaning ishorasini gipertekslikni tuzmasdan, ixtiyoriy uchun tekshirish qulaydir. kvadratik formaning da ishorasini tekshirishni esa, matrisaning ishorasini Silvestr kriteriylari buyicha tekshirish orqali amalga oshirish mumkin.
2- m i s o l.

Ye ch i l i sh i. a) ekstremumga shubhali nuqtalarni aniqlaymiz. Bog’lanishlar chiziqli bo’lgani uchun, shartli stasionar rejalarni aniklash kifoya.
Lagranj funksiyasi uchun quyidagi sistemani tuzamiz:

Bu sistemani yechib , yagona shartli-stasionar rejani va unga mos keluvchi, Lagranj vektorini topamiz.

b) topilgan reja uchun ikkinchi tartibli zaruriy shartni va yetarli shartni tekshiramiz.
; .
(11) gipertekislik tenglamalar bilan aniqlanadi, chunki,
.
Bu gipertekislikda bo’lgani uchun, .Demak, nuqtada lokal maksimumning yetarli sharti bajariladi.
c) endi optimal rejani aniqlaymiz.Buning uchun,avvalo, masala yechimining mavjudligini tekshiramiz. ga mos keluvchi sath to’plamini quramiz:
M(0)- chegaralangan va yopiq to’plamdir. Mavjudlik teoremasiga asosan, qaralayotgan masalaning yechimi mavjud. Demak, topilgan lokal maksimum nuqtasi - absolyut maksimum nuqtasi, yani masalaning yechimi (optimal rejasi) ham bo’ladi.