Andijon mashinasozlik instituti "oliy matematika" kafedrasi oliy matematikadan sirtqi

2§.Fazoda to‟g‟ri chiziq. 
 
 
.
     
 
   
 
   
 
   nuqtadan o‟tuvchi va               yo‟naltiruvchi vektorga 
ega bo‟lgan to‟g‟ri chiziqning kanonik tenglamasi: 
     
 
 
 
     
 
 
 
     
 
 
                       
 
 
   (1)  tenglamadagi  har  bir  nisbatni     parametrga  tenglab,  to‟g‟ri 
chiziqning  
{
          
 
          
 
          
 
                                           
parametrik tenglamasini hosil qilamiz. 
 
 
    Berilgan     
 
   
 
   
 
        
 
   
 
   
 
   nuqtalardan  o‟tuvchi  to‟g‟ri 
chiziq tenglamasi: 
     
 
 
 
   
 
 
     
 
 
 
   
 
 
     
 
 
 
   
 
                
 
 
  Fazodagi to‟g‟ri chiziqning umumiy tenglamasi: 
{
 
 
     
 
     
 
     
 
     
 
 
     
 
     
 
     
 
     
               

---

45 
 
bu yerda 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bu to‟g‟ri chiziqning yo‟naltiruvchi vektori  
      
⃗⃗     ⃗    |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|                
 
 
   (4)  tenglamadan  bir  marta     ni,  ikkinchi  marta     yo‟qotib,  to‟g‟ri 
chiziqning parametrlari bo‟yicha yozilgan tenglamasiga ega bo‟lamiz: 
{
          
 
          
 
                            
(6) tenglamani ushbu  
     
 
 
 
     
 
 
 
     
 
 
 
kanonik ko‟rinishda yozish mumkin. 
 
 
 
     
 
 
 
 
     
 
 
 
 
     
 
 
 
      
     
 
 
 
 
     
 
 
 
 
     
 
 
 
    
to‟g‟ri  chiziqlar  orasidagi  burchak,  ularning  yo‟naltiruvchi  vektorlari 
 
 
⃗⃗⃗   
 
   
 
   
 
          
 
⃗⃗⃗   
 
   
 
   
 
  orasidagi burchakka teng: 
      
 
 
⃗⃗⃗       
 
⃗⃗⃗ 
| 
 
⃗⃗⃗ |   | 
 
⃗⃗⃗ |
 
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
√ 
 
 
   
 
 
   
 
 
√ 
 
 
   
 
 
   
 
 
           
a) Ikki to‟g‟ri chiziqning perpendikulyarlik sharti: 
 
 
⃗⃗⃗     
 
⃗⃗⃗                
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
                         
b) Ikki to‟g‟ri chiziqning parallellik sharti: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                                             
c) Ikki to‟g‟ri chiziqning ustma-ust tushish sharti: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
         
 
 
   
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
           
d) Ikki to‟g‟ri chiziqning kesishish sharti: 
|
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|                                              
e) Ikki to‟g‟ri chiziqning ayqash bo‟lishlik sharti: 

---

46 
 
|
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|                                            
 
 
          
 
  
 
   
 
   
 
               
     
 
 
 
     
 
 
 
     
 
 
   
to‟g‟ri chiziqqacha bo‟lgan masofa: 
   
|      
 
 
 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|  |
 
√|
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
|
 
  |
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
|
 
|
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
|
 
√ 
 
   
 
   
 
          
bu  yerda
   
 
  
 
   
 
   
 
  to‟g‟ri  chiziqqa  tegishli  nuqta  va                  vektor 
to‟g‟ri chiziqning yo‟naltiruvchi vektori. 
     
     
 
 
 
 
     
 
 
 
 
     
 
 
 
     
     
 
 
 
 
     
 
 
 
 
     
 
 
 
   
ikki ayqash to‟g‟ri chiziqlar orasidagi eng qisqa masofa: 
   
| 
 
 
 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗     
 
⃗⃗⃗     
 
⃗⃗⃗ |
| 
 
⃗⃗⃗     
 
⃗⃗⃗ |
 
|
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|
√|
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
  |
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
  |
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
            
bu  yerda 
 
 
  
 
   
 
   
 
        
 
  
 
   
 
   
 
    nuqtalar  mos  ravishda  to‟g‟ri 
chiziqlarga 
tegishli,
   
 
⃗⃗⃗   
 
   
 
   
 
         
 
⃗⃗⃗   
 
   
 
   
 
   lar 
esa 
ularning 
yo‟naltiruvchi vektorlari. 
3§.To‟g‟ri chiziq va tekislik. 
 
 
.
  
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
  to‟g‟ri  chiziq  va                        tekislik 
orasidagi burchak: 
      
            
√ 
 
   
 
   
 
√ 
 
   
 
   
 
                      
Bu  yerda 
             to‟g‟ri  chiziqning  yo‟naltiruvchi  vektori,  
⃗          -
tekislikning normal vektori. 
a) To‟g‟ri chiziq va tekislikning parallellik sharti: 
                                                                         
b) Ularning perpendikulyarlik sharti: 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                             

---

47 
 
c) To‟g‟ri chiziqning tekislikda yotish sharti: 
                           
 
    
 
    
 
               
d) To‟g‟ri chiziq bilan tekislikning kesishgan nuqtasi. To‟g‟ri chiziq tenglamalarini 
parametrik
               
 
               
 
                  
 
  ko‟rinishda 
yozib, 
tekislikning 
                      tenglamasidagi              larni  o‟rniga 
qo‟yamiz.  Natijada       ga  nisbatan  tenglama  hosil  bo‟ladi.  Hosil  bo‟lgan 
tenglamadan 
  
 
   ni  topib,  so‟ngra  kesishgan  nuqta  koordinatalari     
 
   
 
   
 
   
topiladi. 
e) Ikki to‟g‟ri chiziqning bir tekislikda yotish sharti: 
|
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|                     
 
ANALITIK GEOMETRIYAGA DOIR NAZORAT ISHI. 
Variant 1 
1.  Uchburchak  uchlari  berilgan:
                                            .  A 
uchidagi ichki burchagi kosinusini toping. 
2. 
                                         nuqtalar  berilgan.  ABC  uchburchakning 
yuzini toping. 
3. 
         nuqtadan  o‟tib,                     to‟g‟ri  chiziqqa  parallel;                          
                     to‟g‟ri  chiziqqa  perpendikulyar  bo‟lgan  to‟g‟ri  chiziq 
tenglamasini tuzing. 
4.  Uchburchak  uchlarining    koordinatalari  berilgan:
                         
          a) A uchidan tushirilgan balandlik tenglamasini, b) C uchidan tushirilgan 
mediana tenglamasini, c) B burchakni  toping. 
5. M(5;-2) nuqtani  
                    to‟g‟ri chiziqqa proyeksiyasini toping. 
6. 
Parallelogrammnining 
ikkita 
tomoni 
tenglamasi 
berilgan:                                            
                                       va  diagonallari  kesishish  nuqtasi           
Uning qolgan ikki tomoni va diagonallari tenglamasini tuzing. 
7. 
     o‟qiga parallel va             nuqtadan o‟tuvchi to‟g‟ri chiziq tenglamasini 
tuzing. 

---

48 
 
8.  Koordinatalar  boshidan  tekislikka  tushirilgan  perpendikulyar  asosidagi  nuqta 
             ga teng bo‟lsa, shu tekislik tenglamasini tuzing. 
9. Tekisliklarning parallellarini ko‟rsating va ular orasidagi masofani toping:
  
                                                               . 
10. 
{
                     
                  
to‟g‟ri  chiziq  tenglamasini  kanonik  ko‟rinishga 
keltiring. 
Javoblar:  1.  J  :
        
 
 √  
  2  J  :
√  .  3.  J  :                                 
     . 4. J :                                                (
  
√   
)  5. J :           
6. J:
                                                                      
7.  J:
                        8.  J:                           9.  J:   
 
 √ 
  10.  J: 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
Variant 2 
1. 
                                       nuqtalar berilgan. ABC uchburchak yuzini 
toping. 
2.  Piramida  uchlarining  koordinatalari  berilgan  :
                           
                           Piramidaning  hajmini       qirraga  tushirilgan  balandlik 
uzunligini toping.. 
3. 
 
 
        nuqtadan  o‟tib,  a)                  to‟g‟ri  chiziqqa  parallel;                       
b)
                 ga perpendikulyar bo‟lgan to‟g‟ri chiziq tenglamasini tuzing. 
4.  Uchburchak  uchlarining  koordinatalari  berilgan: 
                     
         .a)  C  uchidan  tushirilgan  balandlik  tenglamasini,  b)       uchidan 
tushirilgan mediana tenglamasini, c) B va C burchaklarini  toping. 
5. M(-1;-5) nuqtani 
                     to‟g‟ri chiziqqa proyeksiyasini toping. 
6.  ABCD  parallelogrammning 
         va           uchlari  va  diagonallarini 
kesishish  nuqtasi 
          berilgan.  Parallelogramm  tomonlari  tenglamasini 
tuzing. 

---

49 
 
7. 
             nuqtadan  o‟tib,     
 
             
 
            
 
           
nuqtalardan o‟tuvchi tekislikka parallel tekislik tenglamasini tuzing. 
8.  Koordinatalar  boshidan  tekislikka  tushirilgan  perpendikulyar  asosidagi  nuqta 
              bo‟lsa, shu tekislik tenglamasini tuzing. 
9. Tekisliklarning parallellarini ko‟rsating va ular orasidagi masofani toping: 
                                                                   
10. 
{
                    
                    
  to‟g‟ri  chiziq  tenglamasini  kanonik  ko‟rinishga 
keltiring.