Elektromagnetizm

Potensialni zaryadlar taqsimotiga binoan hisoblash. Zaryadlar bir nechta
bo‘lganida maydon potensiali superpozitsiya prinsipiga muvofiq topiladi.
i
Zaryadlarni koordinatalari r→ bo‘lsin, unda (4.14) ni o‘rniga quyidagi ifoda o‘rinli
bo‘ladi:
i
r  ri
r→  k →Qi → .
(4.15)
i
koordita boshini maydon hisoblanayotgan nuqtaga joylashtirsak, r→  0 ,
(0)  kQi / ri .
(4.16)
Uzluksiz taqsimlangan zaryadlar uchun (4.15) tenglikda nuqtaviy zaryadni
 (r→' )dV ' bilan, yig‘indi belgisisi integral belgisi bilan almashtiriladi:
(r )  k 
(r→')dV '
r→  r→'
V
 →
. (4.17)
(4.15)-(4.17) ifodalar ixtiyoriy zaryadlar sistemasini potensiali zaryadlar taqsimotiga ko‘ra hisoblanishi mumkinligini ko‘rsatmoqda.
Potensial uchun Puasson tenglamasi. Gauss teoremasiga (8-§) ko‘ra
0

divE  
→
.
(4.18)
tenglikdan foydalansak,
Bu tenglamaga (4.6) ni qo‘ysak, va div grad  
potensial uchun Puasson tenglamasini hosil qilamiz:
0
   
. (4.19)
Bu yerda    2 / x 2   2 / y 2   2 / z 2 - Laplas operatori. Bu (4.19) tenglamaning yechimi (4.15) - (4.17) ifodalardan iborat k  1/ 40  .
Ayrim masalarda umumiy yechimlardan foydalanmasdan, (4.18), yoki (4.19) tenglamani echish qulay bo‘lishi mumkin. Jumladan R radiusli sirti  zichlik bilan tekis zaryadlangan cheksiz uzun silindr maydonini o‘rganaylik. Masala simmetriyasiga muvofiq, maydon kuchlanganligi radius bo‘ylab yo‘nalgan va faqat qutbli koordinata r ga bog‘liqdir. shuning uchun (4.18) tenglama silindrik koordinatalarda quyidagicha ifodalanadi:
0
1  rE  
r r
. (4.20)
Zichlik doimiy bo‘lganida tenglama elementar integrallanadi:
0
2r
 r 2  C
E 
. (4.21)
Bu yerda s – integrallash doimiysi. silindrni uch sohaga bo‘lib o‘rganamiz. Ichki va tashqi sohada zaryadlar yo‘q, va (4.21) yechimga   0 ni qo‘yish mumkin. Zaryadlar joylashgan soha kengligi  , zaryadlar zichligi   const deb hisoblaylik. Yechimni uch soha uchun ayrim – ayrim yozamiz:
E  C0 / 2r0 ,