Kasr-ratsional va irratsional funksiyalarni integrallash

Teorema (to‘g‘ri kasrni oddiy kasrlar yig‘ndisiga ajratish haqida) Maxraji (2.6) shaklda tasvirlangan har qanday to‘g‘ri ratsional kasrni I-IV turdagi oddiy kasrlar yig‘indisiga yoyish mumkin. Bu yoyilmada ko‘phadning har bir karrali haqiqiy ildiziga ( ko‘paytuvcisiga)

(7)

ko‘rinishdagi ta oddiy kasrlar yig‘indisi mos keladi. ko‘phadning har bir juft qo‘shma- kompleks ildiziga ( ko‘paytuvchisiga)

(8)

ko‘rinishdagi ta oddiy kasrlar yig‘indisi mos keladi.

Demak, integral ostidagi to‘g‘ri ratsional kasrni (7) va (8) formulalarni e’tiborga olib noma’lum koeffitsientli oddiy kasrlarga yoyiladi. So‘ng bu kasrlarga umumiy maxraj beriladi. Yoyilmadagi koeffitsientlarning qiymatlari esa

1. 
   noma’lum koeffitsientlar usuli;
   
2. 
   o‘ rniga qo‘ yish usulidan biri yoki ikkalasini qo‘llab aniqlanadi.
   

Noma’lum koeffitsientlari usulida to‘g‘ri ratsional kasrning suratidagi ko‘phad hosil bo‘lgan kasrning suratidagi ko‘phadga aynan tengligidan ning bir xil daragalari oldidagi koeffitsientlar tenglab, ta noma’lum uchun ta tenglamalar sistemasi hosil qilinib noma’lum koeffitsientlar topiladi.

O‘rniga qo‘yish usulida ko‘phadlar, ning barcha qiymatlarida aynan teng bo‘lgani uchun, ning tayin xususiy qiymatlarida tenglab noma’lum koeffitsientlar topiladi.

3-misol

Ushbu integralni hisoblang.

► Maxrajdagi ko‘phadning bir karrali haqiqiy va ikki karrali ildizlari bor bo‘lgani uchun

.

mumiy maxraj berib, suratdagi ko‘phadlarni tenglaymiz

yoki .

Noma’lum koeffitsientlari usulidan foydalanamiz, ning darajalari oldidagi koeffitsintlarni tenglaymiz:

Bundan , .

Demak,



.◄