Mashg`ulot turi: Ma’ruza. Ajratilgan soat

II-asosiy savol bayoni:
To'plamlarning kesishmasi.
2-ta'rif. Ikkita A va B to'plamlarning umumiy elementlaridan tuzilgan C to'plam A va B to'plamlarning
kesishmasi (umumiy qismi) deyiladi va C = A B ko'rinishida yoziladi. Bu yerda
— to 'plamlar kesishmasining belgisi.
Umumiy elementlarga ega bo'lgan A va B to'plamlarning kesishmasi shaklda shtrixlab ko'rsatilgan (3- rasm).

Agarda A va B to'plamlar umumiy elementlarga ega bo'lmasa, u holda ularning kesishmasi bo'sh to'plam bo'ladi, ya'ni A B = .

Misollar:
1. A= {3, 5, 7, 9} va B= {1, 3, 8, 9, 10} bo'lsa, C=A B={3, 9} bo'ladi.
2. Agar A = {3, 6, 9, 12, ...}, B= {9, 18, 27, 36, ...} bo'lsa, u holda A B = {9, 18, ...}.
3. Agar A = {2, 3, 5, 6} va B= {1, 4, 7, 8} bo'lsa, u holda A B = bo'ladi.
To'plamlarning kesishmasi quyidagi xossalarga ega:
1.Istalgan ikkita A va B to'plam uchun o'rin almashtirish qonuni o'rinli: A B = B A.
2.Istalgan A, B va C to'plamlar uchun guruhlash qonuni o'rinli:
A (B C = (A B) C.
Bu xossani quyidagicha isbotlash mumkin. (1) tenglikning chap qismiga tegishli bo'lgan istalgan elementning uning o'ng qismiga va, aksincha, o'ng qismiga tegishli bo'lgan istalgan elementning uning chap qismiga tegishli bo'lishini ko'rsatish kifoya.
x — A (B C) to'plamning istalgan elementi bo'lsa, u holda x A va x (B C) bo'lib, xe Bvaxe C bo'ladi. Demak, x (A B) C. Endi y - (A B) C to'plamning istalgan elementi bo'lsin. Bunday holda y (A B) va y C bo'lib, y A va y B bo'ladi. Bundan esa y A (B C) bo'lishi kelib chiqadi. Bu xossaning o'rinli ekanligiga Eyler — Venn diagrammasi yordamida ham ishonch hosil qilish mumkin
(4- rasm).
4- rasmda (1) tenglikning chap va o'ng qismlari tasvirlangan:
a) rasmda A to'plam vertikal shtrixlangan, B C to'plam esa gorizontal shtrixlangan (bo'yalgan). Ikki marta shtrix­langan (bo'yalgan) soha A (B C) to'plamga mos keladi;
b) rasmda esa A B to'plam vertikal shtrixlangan, C to'plam esa gorizontal shtrixlangan. Ikki marta bo'yalgan soha (A B) C to'plamga mos keladi.
Diagrammalarni taqqoslab, A (B C) va (A B) C to'plamlar bir xil elementlardan tashkil topganligiga ishonch hosil qilamiz. Demak, bu to'plamlar bir-biriga teng.
3 . Agar B A bo'lsa, u holda A B= B bo'ladi. Haqiqatan, agar B to'plam A to'plamning qismi bo'lsa, u holda bu to'plamlar 5- rasmda ko'rsatilganidek tasvirlanadi.

Bir vaqtda A to'plamga ham, B to'plamga ham tegishli bo'lgan element B to'plamga tegishli bo'ladi, ya'ni A B=B.

4. Istalgan A to'plam uchun: A = vaA A = A. Bu tengliklarning to'g'riligi 3- xossadan kelib chiqadi.
5. Istalgan A, B va C to'plamlar uchun birlashmaga nisbatan to'plamlarning kesishmasi tarqatish qonuniga bo'ysunadi:
(a b) C=(A C) (B C). (2)
Bu tenglikning o'rinli ekanligini ko'rsatamiz, M_l=(A B) C, M₂ = (A C) (B C) belgilash kiritib,
M₁=M₂ bo'lishini isbotlaylik.
x M₁ yoki x (A B) C bo'lsa, u holda x A B va x C bo'lishi kelib chiqadi.
x A B bo'lishidan esa x A yoki x B bo'lishi kelib chiqadi. Agar x A bo'lsa,
u holda x A C bo'lib, x (A C) (B C) ya'ni ;x M₂. Agar x B bo'lsa, u holda x M₂ bo'lib, M_l M₂ bo'ladi.
Endi x M₂ yoki x (A C) (B C) bo'lsin. Bunday holda x A C yoki x B C bo'ladi. Agar x A C bo'lsa, u holda x A va x C bo'ladi. x A bo'lishidan x A B ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun x element A B va C to'plamlar uchun umumiy element bo'ladi. Demak, x (A B) C yoki x M₁ bo'ladi. Agar x B C bo'lsa, u holda x B va x C bo'ladi, x B bo'lishidan esa x A B ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun x (A B) C yoki x M_1.
S hunday qilib, x M₂ bo'lsa, u holda x M_l bo'ladi, ya'ni M₂ M₁ bo'ladi. Olingan M₁ M₂ va M₂ M₁ munosabatlardan M₁ = M₂ bo'lishi kelib chiqadi, (2) tenglik to'la isbotlandi.