Mavzu: Arifmetik va geometrik progressiya Ketma-ketliklarni o’qitishda kasbiy mazmunli masalalardan foydalanish. Ketma-ketlik arifmetik va geometrik progressiyadir progressiya formulalari. Arifmetik progressiya

RAQAMLI KETAKLIKLAR
ARIFMETIK VA GEOMETRIK PROGRESSIYALAR
Agar har bir natural son n raqam mos keldi Xn, keyin shunday deyishadi raqamli ketma-ketlik X 1, X 2, …, Xn, ….
Raqamlar ketma-ketligini belgilash {X n } .
Shu bilan birga, raqamlar X 1, X 2, …, Xn, … deyiladi ketma-ketlik a'zolari .
Raqamli ketma-ketlikni belgilashning asosiy usullari
1. Eng ko'plaridan biri qulay usullar ketma-ket topshiriqdir uning umumiy atamasining formulasi : Xn = f(n), n Î N.
Misol uchun, Xn = n 2 + 2n+ 3 X 1 = 6, X 2 = 11, X 3 = 18, X 4 = 27, …
2. to'g'ridan-to'g'ri uzatish birinchi a'zolarning cheklangan soni.
Masalan, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">
3. Takroriy munosabat , ya'ni, oldingi bir yoki bir nechta a'zolar orqali n-termni ifodalovchi formula.
Misol uchun, Fibonachchi yaqinida raqamlar ketma-ketligi deyiladi
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., bu rekursiv tarzda aniqlanadi:
X 1 = 1, X 2 = 1, Xn+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).
Ketma-ketliklar ustidagi arifmetik amallar
1. summa (farq) ketma-ketliklar ( lekinn) va ( bn cn } = { a ± bn}.
2. ish ketma-ketliklar ( lekinn) va ( bn) ketma-ketlik deyiladi ( cn } = { a× bn}.
3. Shaxsiy ketma-ketliklar ( lekinn) va ( bn }, bn¹ 0, ketma-ketlik deyiladi ( cn } = { a×/ bn}.
Raqamli ketma-ketliklarning xossalari
1. Ketma-ket ( Xn) deyiladi yuqoridan chegaralangan M n tengsizlik Xn £ M.
2. Ketma-ket ( Xn) deyiladi pastdan chegaralangan agar shunday haqiqiy raqam bo'lsa m, bu barcha tabiiy qadriyatlar uchun n tengsizlik Xn ³ m.
3. Ketma-ket ( Xn) deyiladi ortib boradi n tengsizlik Xn < Xn+1.
4. Ketma-ket ( Xn) deyiladi susayish, agar barcha tabiiy qadriyatlar uchun n tengsizlik Xn > Xn+1.
5. Ketma-ket ( Xn) deyiladi oshmaydigan, agar barcha tabiiy qadriyatlar uchun n tengsizlik Xn ³ Xn+1.
6. Ketma-ket ( Xn) deyiladi kamaymaydigan, agar barcha tabiiy qadriyatlar uchun n tengsizlik Xn £ Xn+1.
O'suvchi, kamayuvchi, o'smaydigan, kamaymaydigan ketma-ketliklar deyiladi. monoton ketma-ketliklar, ortib borayotgan va kamaygan holda - qat'iy monoton.
Monotonlik uchun ketma-ketlikni o'rganishda qo'llaniladigan asosiy usullar
1. Ta'rifdan foydalanish.
a) o'rganilayotgan ketma-ketlik uchun ( Xn) farqidir
Xn – Xn+1, va keyin bu farq har qanday uchun doimiy belgini saqlab qoladimi yoki yo'qmi aniqlanadi n Î N, agar shunday bo'lsa, qaysi biri. Bunga qarab ketma-ketlikning monotonligi (nonmonotonligi) haqida xulosa chiqariladi.
b) doimiy ishorali ketma-ketliklar uchun ( Xn) munosabat o'rnatishingiz mumkin Xn+1/Xn va uni bittasi bilan solishtiring.
Agar bu munosabat hamma uchun n birdan katta bo'lsa, qat'iy musbat ketma-ketlik uchun uning ko'payishi va qat'iy manfiy uchun uning kamayishi haqida xulosa chiqariladi.
Agar bu munosabat hamma uchun n birdan kam bo'lmasa, qat'iy musbat ketma-ketlik uchun u kamaymaydi, qat'iy manfiy uchun esa mos ravishda o'smaydi, degan xulosaga keladi.
Agar bu munosabatlar ba'zi raqamlarda bo'lsa n bir nechta va boshqa raqamlar bilan n birdan kam bo'lsa, bu ketma-ketlikning monotonik bo'lmagan xususiyatini ko'rsatadi.
2. Haqiqiy argument funktsiyasiga o'tish.
Raqamli ketma-ketlikni monotonlik uchun tekshirish kerak bo'lsin
lekinn = f(n), n Î N.
Haqiqiy argument funktsiyasini ko'rib chiqaylik X:
f(X) = lekin(X), X³ 1,
va uni monotonlik uchun tekshiring.
Agar funktsiya ko'rib chiqilayotgan intervalda differentsial bo'lsa, biz uning hosilasini topamiz va ishorani tekshiramiz.
Agar hosila ijobiy bo'lsa, u holda funktsiya ortib bormoqda.
Agar hosila manfiy bo'lsa, u holda funktsiya kamayadi.
Argumentning tabiiy qiymatlariga qaytsak, biz ushbu natijalarni asl ketma-ketlikka kengaytiramiz.
Raqam lekin chaqirdi ketma-ketlik chegarasi Xn, agar har qanday ixtiyoriy kichik musbat e soni uchun shunday natural son mavjud bo'lsa N bu barcha raqamlar uchun n > N tengsizlik | xn – a | < e.
Yig'indini hisoblash n ketma-ketlikning birinchi a'zolari
1. Ketma-ketlikning umumiy hadini ikki yoki undan ortiq iboralarning ayirmasi sifatida shunday ifodalash, almashtirilganda oraliq hadlarning aksariyati qisqaradi va yig‘indisi sezilarli darajada soddalashtiriladi.
2. Ketma-ketliklarning birinchi hadlari yig‘indilarini topish uchun allaqachon mavjud formulalarni tekshirish va isbotlash uchun matematik induksiya usulidan foydalanish mumkin.
3. Ketma-ketliklarga oid ayrim masalalarni arifmetik yoki geometrik progressiyalarga oid masalalarga keltirish mumkin.


Arifmetik va geometrik progressiyalar

Arifmetik progressiya