Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

2-§. Дзета функциянинг ноллари ҳақидаги баъзи бир теоремалар.

нинг функционал тенгламасидан кўринадики, нуқталарда бўлади, чунки бу нуқталарда Ҳақиқатан ҳам таърифга асосан

(2.1)

бу ерда Эйлер доимийси.

(1.2) нинг ўнг томони юқорида кўрсатилган қийматларда нолга айланади. бўлганда , чунки бу ҳолда нинг ноли нинг қутби билан қисқариб кетади. нинг бу нолларига унинг тривиал ноллари дейилади. функцияси булардан ташқари йўлакда (критик йўлакда) ётувчи тривиал бўлмаган чексиз кўп нолларга ҳам эга.

(2.2)

деб олсак (1.1-§ га қаранг) ушбу теорема ўринли:

2.1-теорема. функцияси биринчи тартибли бутун функция бўлиб шартни қаноатлантирувчи чексиз кўп ноллар га эга;

қатор узоқлашувчи;

-қатор эса ихтиёрий учун яқинлашувчи бўлади;

нинг ноллари нинг тривиал бўлмаган нолларидан иборатдир.

Исботи. Агар бўлса функция ва демак ҳам нолларга эга эмас (1.1.1-лемманинг натижасига қаранг). 1.1.1-теоремадан бўлганда ҳам эканлиги келиб чиқади. бўлгани учун нинг ноллари фақат нинг тривиал бўлмаган нолларидан иборат бўлади.

Эндининг тартибини аниқлайлик. Бунинг учун ни да баҳолаймиз.

1.1.2-леммадан бўлганда қуйидагини ҳосил қиламиз:

яъни .

[5] даги 2.1-теореманинг 1-натижасига асосан



бўлганидан нинг тартиби бирдан катта эмас деган хулосага келамиз. Лекинда да бўлгани учун ҳам нинг тартиб 1 га тенг. [5] даги 1.3-теоремадан қаторнинг узоқлашувчи эканлиги (бу ерда лар нинг ноллари) келиб чиқади ва шунинг учун ҳам чексиз кўп нолларга эга бўлади. У ҳолда

қатор эса ихтиёрий сони учун яқинлашувчи бўлади. Теорема тўлиқ исбот бўлди.