Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

4-лемма. Агар Y(n) аргументи бутун сонлар n дан иборат даврий функция бўлиб даври тенг, айнан нолга тенг бўлмаган, мультипликатив, яъни бўлса ва n нинг қийматларида бажарилса, у ҳолда бирор m учун Y(n)= бўлади.

Исботи. Фараз қилайлик бўлсин, у ҳолда

Шунинг учун ҳам бирор учун ёки Y(a)= ёки барча лар учун . Лекин бу охирги ҳолда ихтиёрий учун

бажарилиши керак. Бу эса шартга зиддир. Шунинг билан лемма исбот бўлди.

Натижа. ва модуллари бўйича иккита характернинг кўпайтмаси модул бўйича характер бўлади.

Характерлар комплекс қийматли функциялардир. Характерлар орасида бош характердан фарқли фақат ҳақиқий қийматлар қабул қилувчи характерлар муҳим аҳамиятга эга. Бундай характерларга ҳақиқий характерлар дейилади.

Мисол учун агар туб сон бўлса,



характер модули бўйича ҳақиқий характер бўлади . Бу характерга Лежандр символи ҳам дейилади ва билан белгиланади. Ҳеч бўлмаса бирорта комплекс қиймат қабул қиладиган характерга комплекс характер дейилади. характерга қўшма комплекс қиймат қабул қилувчи характерга

нинг қўшмаси дейилади ва билан белгиланади.

k модул бўйича ихтиёрий характер учун

тенглик ўринли. тенгликни қаноатлантирувчи энг кичик r натурал сонига характернинг даражаси дейилади. Шундай қилиб бош характер биринчи даражали, ҳақиқий характернинг даражаси икки, комплекс характерлар эса учунчи ва ундан юқори даражага эга. Характерлар мультипликатив функция бўлгани учун

, яъни

шартни қаноатлантирувчи характерларга жуфт,

шартни қаноатлантирувчи характерларга эса тоқ характерлар дейилади.