Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

Теорема. (1) система ечимга эга былишлиги (биргаликда былиш) учун А асосий матрица рангини В кенгайтирилган матрица рангига тенг былишлиги зарур ва етарлидир. Хусусан 1) r(A)=r(B)=n, яъни номаълумлар сонига тенг былса, у щолда (1) система ягона ечимга эга былади. 2) Агар r(A)=r(B)Агар r (А)  r (В) былса (1) система ечимига эга былмайди.
Саволлар:

1. 
   Чизи=ли тенгламалар системасини матрицавий кыринишда ёзилишини келтиринг.
   
2. 
   Кронеккер-Капелли теоремасига кыра система =айси щолда ягона ечимга эга былади?
   

10-МАВЗУ:МАТРИЦАЛАР АЛГЕБРАСИНИ И+ТИСОДИЙ МАСАЛАЛАРНИ ЕЧИШГА +ЫЛЛАНИЛИШИ.
Режа.

1. 
   Кириш.
   
2. 
   Леонтьевни чизи=ли и=тисодий модели.
   
3. 
   Леонтьев моделини мащсулдорлиги.
   
4. 
   Тыли= харажатлар вектори.
   

Адабиётлар: 6, 4.
1. Кириш. Ишлаб чи=ариш жараёнларини му=обил математик моделини яратиш шу жараёнларни ривожланиш =онуниятларини кырсатиш билан бир =аторда и=тисодий самарадорлигини щам ани=лаш имкониятини беради. Маълумки барча ишлаб чи=ариш корхоналари истеъмол =илувчи ва мащсулот ишлаб чи=арувчи щисобланади. Масалан фермер хыжалиги пахта, дон ва бош=а мащсулотларни ишлаб чи=арса бу мащсулотларни етиштириш жараёнида техника воситалари, ё=ил`и, минерал ы`ит ва бош=а мащсулотларни истеъмол =илади. Ишлаб чи=аришда бу ало=адорлик жараёнини маълум бир жадвал шаклида ифодалаш мумкин, яъни тармо=лараро баланс мавжуд былади. Тармо=лараро баланс жараёнларини математик моделини тузиб уни чу=ур тащлил =илиш масалаларига Америкалик олим В Леонтьев асос солган ва бу илмий тад=и=от ишлари учун 1963 йилда Нобель мукофатига сазовор былган. Биз ишлаб чи=ариш жараёнларини Леонтьев моделини энг содда щолларини баён этамиз.
2. Леонтьевни чизи=ли и=тисодий модели.
Мащсулот ишлаб чи=арувчи п та хыжаликни =араймиз, бу хыжаликлар мащсулотларини ишлаб чи=ариш жараёнида ызаро мащсулотлар алмашишади. Фараз =илайлик i хыжаликни жами ишлаб чи=арган мащсулоти х₂ былсин яъни бир хыжалик йилида ялпи ишлаб чи=арган мащсулоти ми=дори; x_ij i- хыжаликни j хыжалик мащсулотидан фойдаланиб ишлаб чи=арган жами мащсулотини щажми; y_{i -i} ишлаб чи=армайдиган сощалар фойдаланиши учун тайёрланган мащсулоти щажми. Бунга хыжаликни етиштирган мащсулотини захирадаги =исми, ащолини шахсий манфаатларида фойдаланиши маъориф, фан, со`ли=ни са=лаш, экспортга жынатиши киради (Одатда бу ми=дор жами ишлаб чи=арилган мащсулотни камида 75 % ташкил этади). Бу ми=дорлар =уйидаги баланс муносабатларни i=1,n да =аноатлантиради: x<sub>i</sub>=x<sub>i1</sub>+x<sub>i2</sub>+...+x<sub>in</sub>+y<sub>i</sub>, (1)
В.Леонтьев Америка и=тисодиётини тащлил =илиб ани=ладики а<sub>ij</sub>=x<sub>ij</sub>/x<sub>i</sub> ми=дор йиллар давомида ызгармас былишини, бу ишлаб чи=ариш технологиясини ызгармай =олганини характерлайди. Бош=ача айтганда хыжалик щажми Х<sub>i</sub> мащсулот тайёрлаши учун i хыжаликдан а<sub>ij</sub>Х<sub>i</sub> ми=дордаги мащсулотни олиши керак , бу ерда а<sub>ij</sub> - ызгармас коэффициент. Реал чи=им (сарф харажат) ишлаб чи=арилган мащсулот щажмига пропорционал былиши керак, бу мавжуд ишлаб чи=ариш технологиясини чизи=лилигини билдиради яъни
х<sub>ij</sub>=а<sub>ij</sub>х<sub>j</sub> (i ,j=1, n) (2)
Бу ерда а<sub>ij</sub> - бевосита харажатлар коэффициенти дейилади.
Натижада хыжаликлараро (1) баланс тенгламасини куйидагича ёзиш мумкин:
х<sub>1</sub>=а<sub>11</sub>х<sub>1</sub>+а<sub>12</sub>х<sub>2</sub>+...+а<sub>1n</sub>х<sub>n</sub>+у<sub>1</sub>
х<sub>2</sub>=а<sub>21</sub>х<sub>1</sub>+а<sub>22</sub>х<sub>2</sub>+...+а<sub>2n</sub>х<sub>n</sub>+у<sub>2</sub> (3)
 ............................................
х<sub>n</sub>=а<sub>n1</sub>х<sub>1</sub>+а<sub>n2</sub>х<sub>2</sub>+...+а<sub>nn</sub>х<sub>n</sub>+у<sub>n</sub>
Буни матрицавий формада ёзсак
Х=АХ+У (4) А = (a<sub>ij</sub>) i, j=1, n
x<sub>1</sub> y<sub>1</sub>
Х= x<sub>2</sub> У = y<sub>2</sub>
x<sub>n</sub> y<sub>n</sub>
Бу ерда Х - яъни (жами) мащсулот , У - якуний истеъмол векторлари ва А - бевосита харажатлар матрицаси дейилади , (4) хыжаликлараро чизи=ли бо`ланиш баланс тенгламаси ёки Леонтьев модели дейилади. Леонтьев моделидан режалаштириш масалаларида фойдаланиш мумкин. Масалан [0,T] ва=т орали`и учун У якуний истеъмол вектори берилган щолда жами етиштириши лозим былган мащсулот хажми Х ни ани=лаш талаб этилади.
Хыжаликлараро баланс тенгламаси и=тисодий маънога эга былиши учун А=(a_ij) матрица ва векторларни барча элементлари номанфий булиши керак яъни А>0, Y>0, X>0.
Агар =иймат (бащо) маъносида ишлаб чи=ариш жараёнини ыргансак х_j=1 сым былса, (2) тенгликдан x_ij=a_ij эканлиги келиб чи=ади ва а_ij j хыжаликни 1 сымлик мащсулотидан фойдаланиб i хыжалик ишлаб чи=арган мащсулоти =ийматини билдиради.
3. Леонтьев моделини мащсулдорлиги.
А>0 матрица мащсулдор дейилади, агар хар =андай У>0 вектор учун Х=АХ+У тенглама Х>0 ечимига эга былса. А матрицани мащсулдорлигидан Леонтьев моделини мащсулдорлиги келиб чи=ади.
Леонтьев тенгламасини Х= АХ+У =уйидагича ёзиш мумкин:
( Е - А )Х = У (5) бу ерда Е - бирлик матрица.
Агар det ( Е - А ) > 0 былса (5) тенглама ечимга эга былади.
Х=( Е - А )^-1 У (6) ва бу холда А > 0 матрица мащсулдор былади.
Хусусан А матрицани мащсулдорлиги уни барча элементлари а_ij>0 былса, матрицани ихтиёрий устуни элементлари йи`индиси (ёки сатр элементлари йи`индиси) бирдан кичик былса щам са=ланади, яъни =ийматли баланс щол =аралганда ырганилаётган j хыжалик мащсулотини таннархи 1 сымдан ошмаслиги уни рентабеллигини билдиради. Масалан =уйидаги А матрица мащсулдор матрицадир
0,2 0,3 0,2
А= 0,4 0,1 0,4
0,3 0,5 0,1
4. Тыли= харажатлар вектори.
Фараз =илайлик А>0 мащсулдор матрица былсин, у щолда =уйидаги тенглик келиб чи=ади :