Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

Р=(в_щоз; а)/(в_ыт; а)*100% (1)
Бу муносабатдан Р(в_ыт; а)=100(в_щоз; а) ёки (100в_щоз-рв_ыт ; а)=0
Демак, бащо индексини а ва 100в_щоз-рв_ыт векторларни ызаро ортогонал векторларга айлантирувчи сонли коэффициент шаклида ани=лаш мумкин экан.
Инфляция индексини ани=лаш формуласи =уйидагича:
i=p-100=(b_щ; а)/(в_ы; а)*100-100=(в_щ-в_ы; а)/(в_ы; а)*100 (2)
Бу формулаларни =ылланилишига мисол келтирамиз:

Истеъмол молларини турлари.	Истеъмол =илинадиган ми=-дори.	Бир бирлик махс. ытган ой бащоси, сым.	Ытган ой учун хара-жатлар сым.	Бирлик мащс. Щозирги ва=т бащоси,сым.	Щозирги харажат-лар сым.
1. Нон	3 дона	22	66	27	81
2. Гышт	0,5 кг	300	150	340	170
3. Ёг	0,5 кг	200	100	250	140
4. Тухум	6 дона	12	72	16	96
5. Гурунч	0,5 кг	60	30	90	45
6. Картошка	1 кг	25	25	32	16
7. Пиёз	2 кг	20	40	30	60
8. Бош=а бар-ча мащсулот-ларга	1 кун.	100	100	150	150
Бир кунлик-жами хара-жат сым			583 сым		758 сым

Жадвалдан а ва в векторлар =уйидагича былади: а=(3; 0,5; 0,5; 6; 0,5; 1; 2; 1) b_ыт=(22; 300; 200; 12; 60; 25; 20; 100) b_щоз=(27; 340; 280; 16; 90; 32; 30; 150)

(1) бащо индексини щисоблаш формуласидан щамда координаталари билан берилган векторларни скаляр кыпайтмаларини топиш =оидасидан фойдаланиб =уйидагига эга быламиз: Р=(в_щ; а)/(в_ы; а)*100%=130% (2) формулага асосан инфляция индекси i=p-100=130-100=30%. Демак, бизни мисол учун инфляция индекси 30% экан.
Икки а ва в векторни векторли кыпайтмаси шундай с векторга тенгки, унинг узунлиги шу векторларга =урилган параллелограмм юзасига тенг былиб, у параллелограмм текислигига перпендикуляр йыналган былади. с= ах в=[a b]
Мисол: a=3i+4j-6k ва b=i-4j+2k векторларга =урилган учбурчак юзасини щисобланг.
Ечиш: a={3; 4; -6}, b={1; -4; 2} былганлигидан:


i j k 4 -6 3 -6 3 4
ax в = c = 3 4 -6 = i -4 2 -j 1 2 +k 1 -4 =-16i-12j-16k=c
1 -4 2
 axb=c =(-16)²+(-12)²+(-16)²=256+144+256= 656;
S _  1/2*(656)=1/2*4*41=241 кв. бир.
Уч векторни а=[х₁; у₁; z₁], b={x₂; y₂; z₂},c={x₃; y₃; z₃} аралаш кыпайтмаси сон былиб, агар а, в ва с - векторлар компланар былмаса, унинг =иймати шу векторларга =урилган параллелипипеднинг щажмига тенг былади ва =уйидаги формула билан щисобланади:


х₁ y₁ z₁
([ ах в] c) = x₂ y₂ z₂ = V_пар
x₃ y₃ z₃
Саволлар:

1. 
   Вектор ми=дор нима?
   
2. 
   Векторни модули =андай ани=ланади?
   
3. 
   Икки вектор орасидаги бурчакни топиш формуласи.
   

7-МАВЗУ:ДЕТЕРМИНАНТЛАР ВА УЛАРНИНГ
ХОССАЛАРИ. ЧИЗИ+ЛИ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИНИ КРАМЕР УСУЛИ БИЛАН ЕЧИШ.
Режа.

1. 
   Кириш.
   
2. 
   Иккинчи ва учинчи тартибли детерминантлар.
   
3. 
   Детерминантларнинг асосий хоссалари.
   
4. 
   Минор ва алгебраик тылдирувчи тушунчалари.
   
5. 
   Чизи=ли тенгламалар системасини Крамер усули билан ечиш.
   

Адабиётлар: 1, 3, 8.
1. Кириш. Кыпгина и=тисодий масалаларни ечиш чизи=ли тенгламалар системасини ечишга келтирилади. Тенгламалар системасини ечиш билан бизлар мактаб математикасидан танишмиз. Аммо системадаги тенгламалар ва номаълум сони учтадан кып былганда уларни ечимини топиш бироз мураккаблашади. Бундай щолларда детерминантлардан фойдаланиш ма=садга мувофи= былади. Шу ма=садда детерминантлар тушунчаси, хоссалари ва улар ёрдамида чизи=ли тенгламалар системасини ечиш формулалари билан танишамиз.
2. Иккинчи ва учинчи тартибли детерминантлар.


1-Таъриф. Ушбу а₁₁ а₁₂
а₂₁ а₂₂ кыринишдаги символ иккинчи тартибли детерминант дейилади. Бу ерда а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ - лар сонлар былиб, детерминантнинг элементлари дейилади. Детерминантнинг ынг ва чап томондаги параллел вертикал чизи=лар детерминант белгиси дейилади. Иккинчи тартибли детерминант сондан иборат былиб, у =уйидаги тенглик ёрдамида ани=ланади:
а₁₁а₁₂
а₂₁а₂₂ =а₁₁  а₂₂ - а₁₂  а₂₁


2-Таъриф. Ушбу а₁₁ а₁₂ а₁₃
а₂₁ а₂₂ а₂₃
а₃₁ а₃₂ а₃₃ кыринишдаги символ учинчи тартибли детерминант дейилади. Бу ердаги а_ij (i= ,3, j= ,3) сонлардан иборат былиб, детерминантнинг элементларидир. Учинчи тартибли детерминантда 3 та сатр ва 3 та устун былиб, жами 9 та элементдан иборат былади.
n та сатр ва n та устундан ташкил топган =уйидаги детерминантга (ташкил топган =уйидаги детерминантга) n тартибли детерминант дейилади. а₁₁ а₁₂ ... а_1n
a₂₁ a₂₂ ... a_{2n
.... ..... .... ....}
a_n1 a_n2 ... a_nn

3. 
   Детерминантларнинг асосий хоссалари.
   

1-хосса. Детерминантда сатрларини мос устунлари билан алмаштириб ёзилса, детерминантнинг =иймати ызгармайди.
2-хосса. Детерминантни исталган икки сатрини (устуни) ызаро алмаштирилса, детерминантнинг фа=ат ишораси ызгаради.
3-хосса. Детерминантда бирор устун (сатр) нинг щамма элементлари бош=а устун (сатр)нинг мос элементларига тенг былса, бундай детерминантнинг =иймати нолга тенг былади.
4-хосса. Детерминантда бирор устун (ёки сатр)нинг щамма элементлари m умумий кыпайтувчиларга эга былса, m-ни кыпайтувчи =илиб, детерминантнинг белгисидан таш=арига чи=ариш мумкин.
Натижа 1. Агар детерминантда айрим устун ва сатрларнинг элементлари умумий кыпайтувчиларга эга былса, уларнинг барчасини детерминант белгисидан таш=арига чи=ариш мумкин.
Натижа 2. Детерминантни бирор m (m0) сонига кыпайтириш учун унинг бирор устунидаги ёки сатридаги барча элементларни шу m сонига кыпайтириш кифоядир.
Натижа 3. Детерминантда бирор устун (сатр) элементлари бош=а устун (сатр)нинг мос элементларига пропорционал былса, бундай детерминантни =иймати нолга тенг былади.
5-хосса. Детерминантда бирор устун (сатр) нинг щамма элементларини битта m(m0) сонига кыпайтириб, бу кыпайтмаларни бош=а устун (сатр)нинг мос элементларига =ышилса, детерминантнинг =иймати ызгармайди.

4. 
   Минорлар ва алгебраик тылдирувчилар.
   

3-Таъриф. n-чи тартибли Д детерминантнинг ихтиёрий r-та сатр ва r-та устунларини ажратайлик (14-Таъриф. Д детерминантда ажратилган r-та сатр ва r-та устунни ычирайлик. Д детерминантнинг =олган элементларини шу Д дагидек олиб, улардан (n-r)-чи тартибли М детерминантни тузамиз. М детерминантни М га =ышимча минор дейилади.
Агар детерминантда к-чи сатр ва ^е-чи устун ажратилса, уларнинг кесишган жойида а_кl элемент тургани учун М=а_кl былади. Бу щолда =ышимча М минорни а_кl элементнинг минори дейилади ва М_кl билан белгиланади.
5-Таъриф. (Алгебраик тылдирувчининг таърифи).
₁+₂...+r+₁+₂+...+r
даражанинг М =ышимча минорга кыпайтмаси r-чи тартибли М минорнинг алгебраик тылдирувчиси дейилади, бу ерда ₁,₂,..., _r ва ₁, ₂,.., _r мос равишда, Д детерминантнинг М га тегишли сатр ва устунларининг номерини билдиради. Алгебраик тылдирувчини А щарфи билан белгиланади. У щолда таърифга кыра
А=(-1)^₁^+₂^+...+_r^+₁^+₂^+...+_r М
Агар М минор битта а_кl элементдан иборат былса, унга мос алгебраик тылдирувчи А_кl билан белгиланади. Бу щолда А_кl=(-1)^k+l M_kl

5. 
   Чизи=ли тенгламалар системасини Крамер усули билан ечиш.
   

Айтайлик а₁х+в₁у=с₁

а₂х+в₂у=с₂ (1) Икки номаълумли иккита чизи=ли тенгламалар системаси берилган былсин. Чизи=ли тенгламалар системаси (ЧТС)ни ечиш (1) ни =аноатлантирувчи (х, у) жуфтлик ягона чексиз кып ёки мавжуд эмаслигини кырсатишдан иборатдир. Геометрик ну=таи назаридан эса (1) системани ечиш шу системага кирувчи ты`ри чизи=лар ызаро кесишади, параллел ёки устма-уст тушишини ани=лашдан иборат былади. (1) системани ечиш усуллари бизга мактаб математикасидан маълум, аммо номаълум ва тенгламалар сони иккитадан кып былганда ЧТС-ни детерминантлар ёрдамида ечиш =улай былади. (1) системани асосий  ва ёрдамчи х, у детерминантларини тузамиз:
_x= а₁ в₁ _y= с₁ в₁ _z= а₁ с₁
а₂ в₂ с₂ в₂ а₂ с₂
Бу ерда =уйидаги щолларни =араймиз:

1. 
   Агар 0, яъни а₁/а₂=в₁/в₂ былса, у щолда (1) система ягона ечимга эга былади ва бу ечимлар х=х/ ва у=у/ формулалар ор=али топилади. Бу щолда (1) системага кирувчи ты`ри чизи=лар ягона ну=тада кесишади.
   
2. 
   Агар  =0 былиб, а₁/а₂=в₁/в₂с₁/с₂ , былса (1) система ечимга эга былмайди. Бу щолда (1) системага кирувчи ты`ри чизи=лар ызаро параллел былади.
   
3. 
   Агар =0 былиб, а₁/а₂=в₁/в₂=с₁/с₂ былса (1) система чексиз кып ечимга эга былади. Бу щолда
   

(1) системага кирувчи ты`ри чизи=лар устма-уст тушади. Агар (1) системада с₁=с₂=0 былса, бир жинсли системага щосил былиб, =0 былса, у ягона нолдан фар=ли ечимларга эга былади. Аксинча =0 былса, ягона х=0, у=0 ечимга эга былади. Айтайлик ушбу учта чизи=ли тенгламалар системаси берилган былсин:
а₁х+в₁у+с₁z=d₁
a₂x+в₂y+c₂z=d₂
a₃x+в₃y+c₃z=d₃ (2)
(2) системани детерминантлар ёрдамида ечимини топиш талаб этилади. Асосий ва ёрдамчи детерминантларни тузамиз:
а₁ в₁ с₁ d₁ в₁ с₁ а₁ d₁ с₁ а₁ в₁ d₁
= а₂ в₂ с₂ _x= d₂ в₂ с₂ _y= а₂ d₂ с₂ _z= а₂ в₂ d₂
а в₃ с₃ d₃ в₃ с₃ а₃ d₃ с₃ а₃ в₃ d₃


Агар  0 былса, (2) система ягона х=х/ , у=у/, z=z/ ечимларга эга былади.