Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

1-Теорема. lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B.
^{xx0 xx0 xx0}
2-Теорема. lim(f(x)g(x))=limf(x)limg(x)=AB.
^{xx0 xx0 xx0}
3-Теорема. Агар limg(x)0 былса, у щолда lim(f(x)/g(x))=AВ (B0).
^{xx0 xх}
4-Теорема. lim[f(x)]^U=[limf(x)]^U=A^{U
xx0 xx0}
5-Теорема. limcf(x)=climf(x)=cA с-ызгармас.
^{xx0 xx0}
6-Теорема. Агар f₁(x)₂(x) былиб, limf₁(x)=limf₂(x)=c былса, limf(x)=c былади.
^{xx0 xx0 xx0}
5. Биринчи ажойиб лимит.
Таъриф. Ушбу лимит ыринлидир: lim_х0(sinx/x)=1 ёки lim(sinkx/kx)=1 k0, бу лимит биринчи ажойиб лимит дейилади.
^х
Саволлар:

1. 
   Сонлар кетма-кетлиги ва унинг лимитига таъриф беринг.
   
2. 
   Функцияни лимитига таъриф беринг.
   
3. 
   Биринчи ва иккинчи ажойиб лимитларни келтиринг.
   

13-МАВЗУ: АРГУМЕНТ ВА ФУНКЦИЯ ОРТТИРМАСИ. ФУНКЦИЯНИНГ УЗЛУКСИЗЛИГИ ВА УЗИЛИШ НУ+ТАЛАРИНИНГ ТУРЛАРИ.
Режа:

1. 
   Кириш.
   
2. 
   Аргумент ва функция орттирмаси.
   
3. 
   Функциянинг узлуксизлиги.
   
4. 
   Функцияни узилиши ва узилиш турлари.
   

Адабиётлар: 1, 2, 4, 5.
1. Кириш. Функциянинг узлуксизлиги - математиканинг мущим тушунчаларидан бири былиб, у функциянинг лимити тушунчаси билан узвий боглангандир. +ишло= хыжалигини турли жараёнлари, масалан, микро-организмларни кыпайишини, гуза поясини ысиши, гыштга бо=илаётган =орамол вазнининг ысиши ва=тнинг маълум даврида узлуксиз жараёнлар былади. Шунингдек сакраб-сакраб ызгарадиган, яъни узилишга эга былган ми=дорлар щам ырганилади.

2. 
   Аргумент ва функция орттирмаси.
   

Айтайлик Х сощада ани=ланган у=f(х) функция берилган былсин. х₀Х ва х₁Х ну=таларни олайлик. х₁-х₀ айирмани аргумент орттирмаси дейилади ва х билан белгиланади, яъни х=х₁-х₀, f(x₀+x)-f(x₀) айирмага эса f(х) функцияни х=х₀ ну=тадаги орттирмаси дейилади ва уни У, f(x₀) кыринишида белгиланади, яъни у=f(х₀+х)-f(х₀). f(x) функцияни узлуксизлигига таъриф беришдан аввал лимитик ну=та тушунчасини келтирамиз.
Агар х₀Х ну=танинг исталган {x; x₀-0+}  > 0, атрофида Х сощанинг чексиз кып элементлари ётса, у щолда х₀ ну=тани Х - сощанинг лимитик ну=таси дейилади.
3. Функция узлуксизлиги.
1-Таъриф. Агар lim_хх0f(x)=f(x₀) (1) тенглик ыринли былса, у щолда f(х) функцияни х=х₀ ну=тада узлуксиз дейилади.
2-Таъриф. Агар >0 учун шундай  > 0 сон топилсаки х-х₀ <  тенгсизликни =аноатлантирувчи барча х ларда f(x)-f(x₀)< тенгсизлик ыринли былса, f(x) функцияни х=х₀ ну=тада узлуксиз дейилади.
Функциянинг ну=тадаги узлуксизлигига аргумент ва функция орттирмалари ёрдамида щам таъриф бериш мумкин.
3-Таъриф. Агар f(x) функциянинг х=х₀ ну=тадаги f=f(х₀+х)-f(х₀), орттирмаси х0 да , яъни lim_x0f(x)=lim_х0(f(x₀+x)-f(x₀))=0 былса, у щолда f(x) функцияни х=х₀ ну=тада узлуксиз дейилади. Ю=орида келтирилган таърифлар тенг кучли (эквивалент) таърифлардир.
4-Таъриф. Агар f(x) функция Х соннинг щар бир ну=тасида узлуксиз былса, функция шу сощада узлуксиз дейилади.
Мисол 1. y=f(x)=x², xR да узлуксиз функциядир. R да ихтиёрий х₀; х₀+хR ну=таларини оламиз, у щолда f=f(x₀+x)-f(x₀)=(x₀+x)²-x₀²=x₀²+2x₀x+(x)²-x₀²=2x₀x+x²; limf=0. Демак, f(х)=х² функцияси х=х₀ ну=тада узлуксиздир. +аралаётган х=х₀ ну=танинг ихтиёрий эканлигидан f(x) функцияни узининг ани=ланиш сощаси R да узлуксиз эканлиги келиб чи=ади.
Умуман кырсатиш мумкинки, бутун рационал функциялар, каср рационал функциялар, даражали, кырсаткичли ва логарифмик функциялар ызларининг ани=ланиш сощасида узлуксиздир. Функциянинг ну=тадаги узлуксизлиги функция графигининг х₀ ну=тада узилмаслигини англатади.

4. 
   Функциянинг узилиши ва унинг турлари.
   

Таъриф. Агар lim f(x)=f(x₀) (1) тенглик бажарилмаса, у щолда
^хх0
f(x) функция х=х₀ ну=тада узилишга эга дейилади.
(1) тенглик бажарилмайдиган 3 та щол мавжуд: 1) f(x) функциянинг х=х₀ ну=тадаги ынг ва чап лимитлари мавжуд былиб, улар бир-бирига тенг былмаган щол; 2) х=х₀ ну=тада f(х) функциянинг лимити мавжуд былсада, х=х₀ ну=та f(х) нинг ани=ланиш сощасига тегишли былмаган щол; 3) xx₀ да f(х) функциянинг лимити мавжуд былмаган щол.
1 ва 2 щолларда f(x) функция биринчи тур узилишга эга дейилади ва f(x₀+0)-f(x₀-0) айирмани f(х) ни х=х₀ ну=тадаги сакраши дейилади. 3 щолда, яъни f(x) нинг х=х₀ даги лимити мавжуд былмаса, яъни  былса, f(х) функцияни х=х₀ да иккинчи тур узилишга эга дейилади.
Мисол 2. у=f(x)=1/х функция х=0 ну=тада ани=ланмаган х0-0 1/х- интилади, x  0+0 да 1/х+, даги ынг ва чап лимитлар чексиз ва ызаро тенг эмас.Демак х=0 ну=тада f(x) функция иккинчи тур узилишга эга.
Саволлар:

1. 
   Функцияни узлуксизлиги ва узилишига таъриф беринг.
   
2. 
   Узилиш турларини келтиринг.